Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 trang 23 24 sgk Hình học 11

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §6. Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau, Chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng, sách giáo khoa Hình học 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 trang 23 24 sgk Hình học 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.

Lý thuyết

1. Khái niệm về phép dời hình

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

Ký hiệu: $F$

– Nếu $F(M) = M’$ và $F(N) = N’$ thì $MN = M’N’$

Nhận xét:

– Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, quay đều là phép dời hình.

– Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.

2. Tính chất của phép dời hình

Phép dời hình:

Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm.
Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.
Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Chú ý:

Nếu một phép dời hình biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A’B’C’$ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường trọn nội tiếp, ngoại tiếp.. của tam giác $ABC$ tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường trọng nội tiếp, ngoại tiếp… của tam giác $A’B’C’$.

3. Khái niệm về hai hình bằng nhau

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong mục hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 20 sgk Hình học 11

Cho hình vuông $ABCD$, gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Tìm ảnh của các điểm $A, B, O$ qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm $O$ góc $90^0$ và phép đối xứng qua đường $BD$ (h.1.41).

Trả lời:

– Ảnh của$ A, B, O$ qua phép quay tâm $O$ góc $90^0$ lần lượt là: $D, A, O.$

– Ảnh của $A, B, O$ qua phép đối xứng qua đường thẳng $BD$ là: $C, B, O.$

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 21 sgk Hình học 11

Hãy chứng minh tính chất 1.

Gợi ý. Sử dụng tính chất điểm B nằm giữa hai điểm A và C khi và chỉ khi AB + BC = AC (h.1.43).

Trả lời:

Áp dụng định nghĩa: phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cảnh giữa hai điểm bất kỳ.

Nên ảnh của $3$ điểm $A, B, C$ qua phép dời hình $F$ là $3$ điểm $A’, B’, C’$

Khi đó:

$AB = A’B’, BC = B’C’, AC = A’C’$

Ta có: $A, B, C$ thằng hàng và $B$ nằm giữa $A$ và $C$

$⇒ AB + BC = AC$

$⇒ A’B’ + B’C’ = A’C’$

Hay $A’, B’, C’$ thẳng hàng và $B’$ nằm giữa $A’$ và $C’$

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 21 sgk Hình học 11

Gọi $A’, B’$ lần lượt là ảnh của $A, B$ qua phép dời hình $F$. Chứng minh rằng nếu $M$ là trung điểm của $AB$ thì $M’ = F(M)$ là trung điểm của $A’B’$.

Trả lời:

Gọi $A’, B’, M’$ lần lượt là ảnh của $A, B, M$ qua phép dời hình $F$

Theo tính chất $1 ⇒ AB = A’B’$ và $AM = A’M’ (1)$

$M$ là trung điểm $AB ⇒ AM = {1 \over 2} AB$

Kết hợp (1) $⇒ A’M’ = {1 \over 2} A’B’ ⇒ M’$ là trung điểm $A’B’$

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 22 sgk Hình học 11

Cho hình chữ nhật $ABCD$. Gọi $E, F, H, I$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB, CD, BC, EF$. Hãy tìm một phép dời hình biến tam giác $AEI$ thành tam giác $FCH$ (h.1.46)

Trả lời:

– Phép đối xứng qua tâm $I$ biến $ΔAEI$ thành $ΔCFI$

– Phép đối xứng qua trục $d$ biến $ΔCFI$ thành $ΔFCH$

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 22 sgk Hình học 11

Cho hình chữ nhật $ABCD$. Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $AD$ và $BC$. Chứng minh rằng các hình thang $AEIB$ và $CFID$ bằng nhau.

Trả lời:

$I$ là giao điểm $AC$ và $BD$ nên $I$ là trung điểm của $AC$ và $BD$

Mà $AC = BD ⇒ AI = BI = {1 \over 2} AC = {1 \over 2} BD$

Gọi $E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $AD$ và $BC$ ⇒ $EF$ là đường trung bình của hình chữ nhật $ABCD$ và $AE = BF = {1 \over 2} AD = {1 \over 2} BC$

$⇒ EF // AB ⇒ EF$ vuông góc với $AD$ và $EF$ vuông góc với $BC$

Xét hai tam giác vuông $AEI$ và $BF$I có:

$AI = BI$

$AE = BF$

$⇒ ΔAEI = ΔBFI$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$⇒ EI = FI$ (hai cạnh tương ứng)

$⇒ I$ là trung điểm $EF$

Do đó, phép đối xứng qua tâm $I$ biến hình thang $AEIB$ thành hình thang $CFID$

⇒ Hai hình thang $AEIB$ và $CFID$ bằng nhau.

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 trang 23 24 sgk Hình học 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 trang 23 24 sgk Hình học 11 của Bài §6. Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau trong Chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 trang 23 24 sgk Hình học 11

1. Giải bài 1 trang 23 sgk Hình học 11

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho các điểm $A(-3;2), B(-4;5)$ và $C(-1;3)$

a) Chứng minh rằng các điểm $A'(2;3), B'(5;4)$ và $C'(3;1)$ theo thứ tự là ảnh của A, B và C qua phép quay tâm O góc $-90^{\circ}$.

b) Gọi tam giác ${A_{1}}^{}$${B_{1}}^{}$${C_{1}}^{}$ là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc $-90^{\circ}$ và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ${A_{1}}^{}$${B_{1}}^{}$${C_{1}}^{}$

Bài giải:

Điểm $M’$ là ảnh của $M$ qua phép quay tâm $O$, góc $ \pm {90^0}$ khi:

$\left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \left| {\overrightarrow {OM’} } \right|\\\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {OM’} = 0\end{array} \right.$

Khi đó dựa vào tọa độ điểm ta xác định góc quay âm hay dương.

a) Ta có: $\overrightarrow{OA}=(-3;2);\overrightarrow{OA’}=(2;3)$ suy ra:

$\left |\overrightarrow{OA} \right |=\sqrt{9+4}= \sqrt{13}; \left |\overrightarrow{OA’} \right |=\sqrt{4+9}= \sqrt{13}$

$\Rightarrow \left | \overrightarrow{OA} \right |= \left | \overrightarrow{OA’} \right |$

và $\overrightarrow{OA} .\overrightarrow{OA’} =-3.2+2.3=0$

Dựa vào biểu diễn điểm $A$ và $A’$ trên hệ trục tọa độ, suy ra góc quay âm.

Vậy $A’=Q_{(O;-90^0)} (A)$

Tương tự: $\overrightarrow{OB}=(-4;5);\overrightarrow{OB’}=(5;4)$

Suy ra $\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OB’}=-4.5+5.4 = 0\\ \left |\overrightarrow{OB} \right |=\left |\overrightarrow{OB’} \right |=\sqrt{41} \end{matrix}\right.$

Vậy $B’=Q_{(O;-90^0)} (B)$

$\overrightarrow{OC}=(-1;3);\overrightarrow{OC’}=(3;1)$

Suy ra $\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OC’}=-1.3+3.1 =0 \\ \left |\overrightarrow{OC} \right |=\left |\overrightarrow{OC’} \right |=\sqrt{10} \end{matrix}\right.$

Vậy $C’=Q_{(O;-90^0)} (C)$

Hai tam giác $A’B’C’$ là ảnh của tam giác $ABC$ qua $Q_{(O;-90^0)}$. (đpcm)

b) Ta có:

Từ câu a) ta thấy ảnh của tam giác $ABC$ qua $Q_{(O;-90^0)}$ là tam giác $A’B’C’$.

Vậy tam giác A₁B₁C₁ là ảnh của tam giác $A’B’C’$ qua phép đối xứng trục $Ox.$

Ta có: $\left\{\begin{matrix} x_{A_1}=x_A\\ y_{A_1}=y_A \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{A_1}=2\\ y_{A_1}= -3 \end{matrix}\right.$ hay $A_1(2; -3)$

Tương tự ta có: $B_1(5;-4), C_1(3;-1)$

2. Giải bài 2 trang 24 sgk Hình học 11

Cho hình chữ nhật $ABCD$. Gọi $E, F, H, K, O, I, J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO$. Chứng minh hai hình thang $AEJK$ và $FOIC$ bằng nhau.

Bài giải:

Xét phép đối xứng trục Đ_EH ta có:

F = Đ_EH (K), B = Đ_EH (B), E = Đ_EH(E), Đ_EH (J) = J’ (J’ là trung điểm OF).

Vậy ảnh của hình thang $AEJK$ qua Đ_EH là hình thang $BEJ’F$ (1).

Xét phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow {EO} }}$ ta có $F = {T_{\overrightarrow {EO} }}(B),\,I = {T_{\overrightarrow {EO} }}(J’),\,C = {T_{\overrightarrow {EO} }}(F),O = {T_{\overrightarrow {EO} }}(E).$

Vậy hình thang FOIC là ảnh của hình thang BEJ’F qua ${T_{\overrightarrow {EO} }}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có tồn tại phép dời hình (thực hiện liên tiếp hai phép dời hình là đối xứng trục và tịnh tiến ta cũng được một phép dời hình) biến hình thang $AEJK$ thành hình thang $FOIC$ hay hai hình thang đó bằng nhau.

3. Giải bài 3 trang 24 sgk Hình học 11

Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A’B’C’$ thì nó cũng biến trọng tâm của tam giác $ABC$ tương ứng thành trọng tâm của tam giác $A’B’C’.$

Bài giải:

Gọi phép dời hình đó là $f$.

Do $f$ biến các đoạn thẳng $AB, AC$ tương ứng thành các đoạn thẳng $A’B’, A’C’ $ nên nó cũng biến các trung điểm $M, N$ của các đoạn thẳng $AB, AC$ tương ứng theo thứ tự thành các trung điểm $M’, N’$ của các đoạn thẳng $A’B’, A’C’$.

Vậy $f$ biến các trung tuyến $CM, BN$ của tam giác $ABC$ tương ứng thành các trung tuyến $C’M’, B’N’$ của tam giác $A’B’C’$.

Từ đó suy ra $f$ biến trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ của $CM$ và $BN$ thành trọng tâm $G’$ của tam giác $A’B’C’$ là giao của $C’M’$ và $B’N’$.

Bài trước:

Giải bài 1 2 trang 19 sgk Hình học 11

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 3 trang 29 sgk Hình học 11

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 trang 23 24 sgk Hình học 11!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“