Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 trang 29 sgk Hình học 11

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §7. Phép vị tự, Chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng, sách giáo khoa Hình học 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 trang 29 sgk Hình học 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.

Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho điểm $O$ cố định và một số thực $k$ không đổi, $k \ne 0$.

Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M’$ sao cho cho $\overrightarrow {OM’} = k\overrightarrow {OM} $, được gọi là phép vị tự tâm $O$ với tỉ số $k$.

Kí hiệu: V_(O,k) (O được gọi là tâm vị tự).

${V_{\left( {O,k} \right)}}\left( M \right) = M’ \Leftrightarrow \overrightarrow {OM’} = k\overrightarrow {OM} $

$\left| k \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {OA’} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|}} = \frac{6}{3} = 2 \Rightarrow k = – 2$

(do $\overrightarrow {OA} $ và $\overrightarrow {OA’} $ ngược hướng)

Nhận xét:

Trong phép vị tự có một điểm bất động là tâm vị tự.

– Khi k = 1 thì phép vị tự ${V_{\left( {O,k} \right)}}$ là phép đồng nhất.

– Khi k = -1 thì phép vị tự ${V_{\left( {O,k} \right)}}$ chính là phép đối xứng tâm O (Khi đó tâm vị tự trở thành tâm đối xứng).

– Qua phép vị tự tâm O với tỉ số k biến M thành M’ thì phép vị tự tâm O tỉ số $\frac{1}{k}$sẽ biến M’ thành M: ${V_{\left( {O,k} \right)}}\left( M \right) = M’ \Leftrightarrow {V_{\left( {O,\frac{1}{k}} \right)}}\left( {M’} \right) = M.$

2. Tính chất

♦ Tính chất 1:

Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và N lần lượt thành M’ và N’ thì $\overrightarrow {M’N’} = k\overrightarrow {MN} $ và M’N’ = MN.

$\left\{ \begin{array}{l}{V_{\left( {O,k} \right)}}\left( M \right) = M’\\{V_{\left( {O,k} \right)}}\left( N \right) = N’\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {M’N’} = k\overrightarrow {MN} \Rightarrow M’N’ = \left| k \right|MN$

♦ Tính chất 2:

Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.

Nhận xét: Phép vị tự tỉ số $k$:

– Biến đường thẳng không đi qua tâm vị tự thành đường thẳng song song với nó.

– Biến đường thẳng qua tâm vị tự thành chính nó.

– Biến tia thành tia.

– Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với $\left| k \right|$.

– Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số số đồng dạng là $\left| k \right|$.

– Biến góc thành góc bằng nó.

3. Tâm vị tự của đường tròn

Ảnh của đường tròn qua phép vị tự:

Phép vị tự tỉ số k biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính $\left| k \right|$R.

Chú ý: Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I’;R’) thì: $\left| k \right| = \frac{{R’}}{R}$ và $\overrightarrow {OI’} = k\overrightarrow {OI} $.

Tâm vị tự của hai đường tròn:

– Với hai đường tròn bất kì luôn tồn tại một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia. Tâm vị tự của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.

– Nếu tâm vị tự $k > 0$ thì tâm vị tự đó được gọi là tâm vị tự ngoài, nếu tâm vị tự k < 0 thì tâm vị tự đó được gọi là tâm vị tự trong.

– Hai đường tròn bán kính bằng nhau và khác tâm thì chỉ có một tâm vị tự trong và đó chính là trung điểm của đoạn nối tâm.

– Hai đường tròn có bán kính khác nhau thì có một tâm vị tự trong và một tâm vị tự ngoài.

– Đường tròn $(C)$ biến thành chính nó khi và chỉ khi đường tròn $(C)$ có tâm là tâm vị tự và có tỉ số vị tự $k = \pm $1.

Cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn:

Tìm tâm vị tự của hai đường tròn $\left( {I;R} \right)$ và $\left( {I’;R’} \right)$.

♦ Trường hợp 1: I trùng với I’

– Tâm vị tự: Chính là tâm I của hai đường tròn.

– Tỷ số vị tự: $\left| k \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {IM’} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {IM} } \right|}} = \frac{{R’}}{R} \Rightarrow k = \pm \frac{{R’}}{R}.$

♦ Trường hợp 2: I khác I’ và $R \ne R’$

– Tâm vị tự: Tâm vị tự ngoài là O, tâm vị tự trong là O₁ trên hình vẽ.

– Tỷ số vị tự:

+ Tâm O: $\left| k \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {OM’} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OM} } \right|}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {I’M’} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {IM} } \right|}} = \frac{{R’}}{R} \Rightarrow k = \frac{{R’}}{R}$

(do $\overrightarrow {OM} $ và $\overrightarrow {OM’} $ cùng hướng)

+ Tâm O₁: $\left| {{k_1}} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{O_1}M”} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{O_1}M} } \right|}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {I’M”} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {IM} } \right|}} = \frac{{R’}}{R} \Rightarrow {k_1} = – \frac{{R’}}{R}$

(do $\overrightarrow {{O_1}M} $ và $\overrightarrow {{O_1}M”} $ ngược hướng)

♦ Trường hợp 3: I khác I’ và $R = R’$

– Tâm vị tự: Chính à O₁trên hình vẽ.

– Tỷ số vị tự:

$\left| k \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{O_1}M”} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{O_1}M} } \right|}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {I’M”} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {IM} } \right|}} = \frac{R}{R} = 1 \Rightarrow k = – 1$

(do $\overrightarrow {{O_1}M} $ và $\overrightarrow {{O_1}M”} $ ngược hướng)

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong mục hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 25 sgk Hình học 11

Cho tam giác $ABC$. Gọi $E$ và $F$ tương ứng là trung điểm của $AB$ và $AC$. Tìm một phép vị tự biến $B$ và $C$ tương ứng thành $E$ và $F$.

Trả lời:

Theo đề bài ta có:

$\left\{ \matrix{
\overrightarrow {AE} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \hfill \cr
\overrightarrow {{\rm{AF}}} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \hfill \cr} \right.$

Do đó: Phép vị tự tâm $A$, tỉ số ${1 \over 2}$ biến điểm $B$ thành điểm $E$ và biến điểm $C$ thành điểm $F$.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 25 sgk Hình học 11

Chứng minh nhận xét 4.

M’ = V_(O,k)(M) ⇔ M = V_(O,1/k)(M’).

Trả lời:

Ta có:

$\eqalign{
& M’ = {V_{(O,k)}}(M) \Rightarrow \overrightarrow {OM’} = k.\overrightarrow {OM} \cr
& \left[ \matrix{
\overrightarrow {OM} = {1 \over k}\overrightarrow {OM’} \hfill \cr
M = {V_{(O,{1 \over k})}}(M’) \hfill \cr} \right. \cr
& M = {V_{(O,{1 \over k})}}(M’) \Rightarrow \overrightarrow {OM} = {1 \over k}\overrightarrow {OM’} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {OM’} = k.\overrightarrow {OM} \,hay\,M’ = {V_{(O,k)}}(M) \cr} $

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 25 sgk Hình học 11

Để ý rằng: điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$ khi và chỉ khi $\overrightarrow {AB} = t\overrightarrow {AC} ;\,\,0 < t < 1$

Sử dụng ví dụ trên chứng minh rằng nếu điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$ thì điểm $B’$ nằm giữa hai điểm $A’$ và $C’$.

Trả lời:

Theo ví dụ 2, ta có:

$\overrightarrow {A’B’} = t\overrightarrow {A’C’} $

Mà $0 < t < 1 ⇒ B’$ nằm giữa $A’$ và $C’$.

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 26 sgk Hình học 11

Cho tam giác $ABC$ có $A’, B’, C’$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $BC, CA, AB$. Tìm một phép vị tự biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A’B’C’$ (h.1.56).

Trả lời:

Theo đề bài ta có: $AA’, BB’, CC’$ là các đường trung tuyến của $ΔABC ⇒ G$ là trọng tâm.

$ \Rightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {GA’} = – {1 \over 2}\overrightarrow {GA’} \hfill \cr
\overrightarrow {GB’} = – {1 \over 2}\overrightarrow {GB} \hfill \cr
\overrightarrow {GC’} = – {1 \over 2}\overrightarrow {GC} \hfill \cr} \right.$

Vậy phép vị tự tâm $G$, tỉ số $k = – {1 \over 2}$ biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A’B’C’$

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 trang 29 sgk Hình học 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 trang 29 sgk Hình học 11 của Bài §7. Phép vị tự trong Chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

1. Giải bài 1 trang 29 sgk Hình học 11

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn và $H$ là trực tâm. Tìm ảnh của tam giác $ABC$ qua phép vị tự tâm $H$, tỉ số ${1 \over 2}$.

Bài giải:

Gọi $A’,B’,C’$ lần lượt là ảnh của $A,B,C$ qua ${V_{\left( {H,\dfrac{1}{2}} \right)}}$ ta có:

+) $A’ = {V_{\left( {H,\dfrac{1}{2}} \right)}}\left( A \right) \Rightarrow \overrightarrow {HA’} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {HA} $$ \Rightarrow A’$ là trung điểm của $AH$.

+) $B’ = {V_{\left( {H,\dfrac{1}{2}} \right)}}\left( B \right) \Rightarrow \overrightarrow {HB’} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {HB} $$ \Rightarrow B’$ là trung điểm của $BH$.

+) $C’ = {V_{\left( {H,\dfrac{1}{2}} \right)}}\left( C \right) \Rightarrow \overrightarrow {HC’} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {HC} $$ \Rightarrow C’$ là trung điểm của $CH$.

Vậy ảnh của $A, B, C$ lần lượt là trung điểm $A’, B’, C’$ của các cạnh $HA, HB, HC$

2. Giải bài 2 trang 29 sgk Hình học 11

Tìm tâm vị tự của hai đường tròn trong các trường hợp sau (h.1.62).

Bài giải:

Lấy điểm $M$ thuộc đường tròn $(I)$. Qua $I’$ kẻ đường thẳng song song với $IM$, đường thẳng này cắt đường tròn $(I’)$ tại $M’$ và $M”$. Hai đường thẳng $MM’$ và $MM”$ cắt đường thẳng $II’$ theo thứ tự $O$ và $O’$. Khi đó $O$ và $O’$ là các tâm vị tự cần tìm.

Vì hai đường tròn đã cho có bán kính khác nhau nên chúng có hai tâm vị tự là $O$ và $O’$, xác định trong từng trường hợp như sau:

a) Gọi hai đường tròn trên lần lượt là $(I’; R’)$ và $(I; R).$

Trên $(I; R)$ lấy điểm $M$, qua $I’$ dựng đường thẳng song song với $IM$ cắt $(I’; R’)$ tại $M’, M”$ giả sử $M$ và $M’$ cùng phía đối với $II’, M, M”$ khác phía đối với $II’$.

Khi đó $O$ và $O_1$ lần lượt là giao điểm của $MM’, MM”$ với $II’$ là tâm vị tự của hai đường tròn.

b) Làm tương tự câu a), ta có $O$ vẫn là giao điểm nằm ngoài đoạn $II’$ của $MM’$ với $II’$, tâm vị tự trong $O_1$ chính là tiếp điểm của hai đường tròn.

c) Hai đường tròn chứa nhau:

3. Giải bài 3 trang 29 sgk Hình học 11

Chứng minh rằng khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm O sẽ được một phép vị tự tâm O.

Bài giải:

Xét phép vị tự $V_{(O, k)}$ M là điểm bất kỳ, đặt $M’=V_{(O,k)}(M)\Leftrightarrow \overrightarrow{OM_1}= k.\overrightarrow{OM} \ \ (1)$

Xét phép vị tự $V_{(O,k’)}$ đặt $M_2=V_{(O,K’)} (M_1)\Leftrightarrow \overrightarrow{OM_2}= k’.\overrightarrow{OM_1} \ (2)$

Thay (1) vào (2) ta được: $\overrightarrow{OM_2}=k.k’.\overrightarrow{OM}$

Đặt $k_0=k.k’$ ta có $\overrightarrow{OM_2}=k_0.\overrightarrow{OM}$ hay tồn tại $V_{(O, k_0)}$ sao cho $M_2=V_{(O,k_0)} (M)$

Vậy khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm O ta thu được một phép vị tự tâm O.

Hoặc:

Với mỗi điểm $M$, gọi $M’$ = ${V_{(O,k)}}(M)$, $M”={V_{(O,p)}}(M’)$. Khi đó: $\overrightarrow{OM’}$ = $k \overrightarrow{OM}$ , $\overrightarrow{OM”}$ = $p\overrightarrow{OM’}$ = $pk\overrightarrow{OM}$. Từ đó suy ra $M”= {V_{(O,pk)}} (M)$.

Vậy thực hiện liên tiếp hai phép vị tự ${V_{(O,k)}}^{}$ và ${V_{(O,p)}}^{}$ sẽ được phép vị tự ${V_{(O,pk)}}^{}$.

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 trang 23 24 sgk Hình học 11

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 3 4 trang 33 sgk Hình học 11

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 trang 29 sgk Hình học 11!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“