Hướng dẫn Giải bài 21 22 trang 17 sgk Toán 8 tập 2

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §4. Phương trình tích, Chương III – Phương trình bậc nhất một ẩn, sách giáo khoa toán 8 tập hai. Nội dung bài giải bài 21 22 trang 17 sgk toán 8 tập 2 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 8.

Lý thuyết

1. Kiến thức cơ bản

Ta sử dụng, kết quả:

$A(x).B(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A(x) = 0\\B(x) = 0\end{array} \right.$

Với phương trình:

$A(x).B(x)….M(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A(x) = 0\\B(x) = 0\\……\\M(x) = 0\end{array} \right.$

Lấy các nghiệm của các phương trình trên, ta được nghiệm của phương trình ban đầu.

2. Ví dụ minh họa

Trước khi đi vào giải bài 21 22 trang 17 sgk toán 8 tập 2, chúng ta hãy tìm hiểu các ví dụ điển hình sau đây:

Ví dụ 1:

Giải các phương trình sau:

a. (x – 1) (3 – 2x) = 0

b. (5x – 3)(4x + 1)(x – 8)(x + 3) = 0

Bài giải:

a. Phương trình tương đương với:

$\left[ \begin{array}{l}x – 1 = 0\\3 – 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{3}{2}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: $x = 1,x = \frac{3}{2}$

b. Phương trình tương đương với:

$\left[ \begin{array}{l}5x – 3 = 0\\4x + 1 = 0\\x – 8 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\x = – \frac{1}{4}\\x = 8\\x = – 3\end{array} \right.$

Vậy phương trình có 4 nghiệm $x = \frac{3}{5},x = – \frac{1}{4}\,,x = 8,x = – 3$

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

a. $2x(x + 1) = {x^2} – 1$

b. $3{x^3} = {x^2} + 3x – 1$

Bài giải:

a. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

♦ Cách 1:

Biến đổi phương trình về dạng:

2x(x+1) =(x-1) (x+1)

$ \Leftrightarrow $ 2x (x+1) – (x – 1)(x + 1) = 0

$ \Leftrightarrow $(x + 1)(2x – x + 1) = 0

$ \Leftrightarrow $(x + 1)(x+1) = 0

$ \Leftrightarrow $ x + 1 = 0

$ \Leftrightarrow $ x = -1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = – 1

♦ Cách 2:

Biến đổi phương trình về dạng:

$2{x^2} + 2x – {x^2} + 1 = 0$

$ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 0$

$ \Leftrightarrow {(x + 1)^2} = 0$

$ \Leftrightarrow $ x + 1 = 0

$ \Leftrightarrow $ x = -1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = – 1

b. Biến đổi phương trình về dạng:

$3{x^3} – {x^2} – 3x + 1 = 0$

$ \Leftrightarrow {x^2}(3x – 1) – (3x – 1) = 0$

$ \Leftrightarrow (3x – 1)({x^2} – 1) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x – 1 = 0\\{x^2} – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x = \pm 1\end{array} \right.$

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt là $x = – 1,x = 1,x = \frac{1}{3}$

Ví dụ 3:

Cho phương trình $(x + 1 – 3m)(3x – 5 + 2m) = 0$

a. Tìm các giá trị của m sao cho một trong các nghiệm của phương trình là x = 1.

b. Với mỗi m vừa tìm được ở câu a, hãy giải phương trình đã cho.

Bài giải:

a. Để phương trình nhận x = 1 làm một nghiệm điều kiện là:

(1+1 – 3m)(3.1 – 5 + 2m) = 0

$ \Leftrightarrow (2 – 3m)( – 2 + 2m) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 – 3m = 0\\ – 2 + 2m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{2}{3}\\m = 1\end{array} \right.$

Vậy với $m = \frac{2}{3}$ hoặc m = 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.

b. Ta lần lượt thực hiện:

* Với $m = \frac{2}{3}$ phương trình có dạng: $(x + 1 – 3.\frac{2}{3})(3x – 5 + 2.\frac{2}{3}) = 0$

$ \Leftrightarrow (x – 1)(3x – \frac{{11}}{3}) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 1 = 0\\3x – \frac{{11}}{3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{11}}{9}\end{array} \right.$

Vậy với $m = \frac{2}{3}$ phương trình có các nghiệm $x = 1,x = \frac{{11}}{9}$

* Với m = 1 phương trình có dạng: (x + 1 – 3.1)(3x – 5 + 2.1) = 0

$ \Leftrightarrow (x – 2)(3x – 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 2 = 0\\3x – 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.$

Vậy với m = 1 phương trình có các nghiệm x = 2, x = 1.

Ví dụ 4:

Cho phương trình $2{x^3} + \,ax\, + 3 = 0$

a. Biết rằng x = -1 là một nghiệm của phương trình (1), hãy xác định a.

b. Với a vừa tìm được ở câu a) hãy tìm các nghiệm còn lại của phương trình.

Bài giải:

a. Vì x = -1 là một nghiệm của phương trình (1) nên ta được:

$2{( – 1)^3} + a( – 1) + 3 = 0 \Leftrightarrow – 2 – a + 3 = 0 \Leftrightarrow a = 1$

Vậy với a = 1 phương trình (1) có một nghiệm là x = -1.

b. Với a = 1 phương trình (1) có dạng: $2{x^3} + x + 3 = 0$ (2)

Để giải phương trình (2) ta cần phân tích đa thức $2{x^3} + x + 3$ thành nhân tử, để thực hiện công việc này chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

♦ Cách 1:

Thực hiện phép phân tích:

$2{x^3} + x + 3 = 2{x^3} + 2 + x + 1$

$ = 2({x^3} + 1) + (x + 1)$

$ = 2(x + 1)({x^2} – x + 1) + (x + 1)$

$ = (x + 1)(2{x^2} – 2x + 2 + 1)$

$ = (x + 1)(2{x^2} – 2x + 3)$

♦ Cách 2:

Vì x = -1 là nghiệm của phương trình nên đa thức $2{x^3} + x + 3$ sẽ chia hết cho x + 1 (thực hiện phép chia đa thức $2{x^3} + x + 3$ ra nháp), từ đó ta được: $2{x^3} + x + 3\, = (x + 1)(2{x^2} – 2x + 3)$

Khi đó, phương trình có dạng:

$(x + 1)(2{x^2} – 2x + 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\2{x^2} – 2x + 3 = 0\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$

Giải (1), ta được x = -1

Giải (2), ta có nhận xét: $2{x^3} – 2x + 3\, = 2({x^2} – x + 1) > 0$

$ \Rightarrow $ Phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1

Ví dụ 5:

Giải phương trình $2{x^3} + {x^2} – 5x + 2 = 0.$ Biết rằng phương trình có một nghiệm là x = 1.

Bài giải:

Thực hiện phép chia đa thức $2{x^3} + {x^2} – 5x + 2$ cho x – 1, ta được:

$2{x^3} + {x^2} – 5x + 2 = (x – 1)(2{x^2} + 3x – 2) = (x – 1)(2{x^2} + 4x – x – 2)$

$ = (x – 1){\rm{[}}2x(x + 2) – (x + 2){\rm{]}} = (x – 1)(2x – 1)(x + 2) = 0$

Khi đó, phương trình có dạng: $(x – 1)(2x – 1)(x + 2) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 1 = 0\\2x – 1 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{2}\\x = – 2\end{array} \right.$

Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt $x = 1,x = \frac{1}{2},x = – 2$

Ví dụ 6:

Giải các phương trình

a. ${x^2} – 9x + 20 = 0$

b. ${x^3} – 4{x^2} + 5x = 0$

Bài giải:

a. Biến đổi: ${x^2} – 9x + 20 = {x^2} – 4x – 5x + 20 = x(x – 4) – 5(x – 4) = (x – 4)(x – 5)$

Khi đó, phương trình có dạng:

$(x – 4)(x – 5) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 4 = 0\\x – 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 5\end{array} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 4, x = 5

b. Biến đổi: ${x^3} – 4{x^2} + 5x = x({x^2} – 4x + 5) = x{\rm{[}}{(x – 2)^2} + 1]$

Khi đó phương trình có dạng: $x{\rm{[}}{(x – 2)^2} + 1] = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Vậy phương trình có nghiệm x = 0.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi có trong bài học cho các bạn tham khảo. Các bạn hãy đọc kỹ câu hỏi trước khi trả lời nhé!

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 15 sgk Toán 8 tập 2

Phân tích đa thức $P\left( x \right) = \left( {{x^2} – 1} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)$ thành nhân tử.

Trả lời:

Ta có:

$\eqalign{& P\left( x \right) = \left( {{x^2} – 1} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right) \cr & P\left( x \right) = \left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right) \cr & P\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x – 1 + x – 2} \right) \cr & P\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {2x – 3} \right) \cr} $

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 15 sgk Toán 8 tập 2

Hãy nhớ lại một tính chất của phép nhân các số, phát biểu tiếp các khẳng định sau:

Trong một tích, nếu có một thừa số bằng $0$ thì …; ngược lại, nếu tích bằng $0$ thì ít nhất một trong các thừa số của tích …

Trả lời:

Trong một tích, nếu có một thừa số bằng $0$ thì tích bằng $0$; ngược lại, nếu tích bằng $0$ thì ít nhất một trong các thừa số của tích bằng $0$.

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 16 sgk Toán 8 tập 2

Giải phương trình:

$\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 3x – 2} \right) – \left( {{x^3} – 1} \right) = 0$

Trả lời:

(x – 1)(x² + 3x – 2) – (x³ – 1) = 0

⇔ (x – 1)(x² + 3x – 2) – (x – 1)(x² + x + 1) = 0

⇔ (x – 1)[(x² + 3x – 2) – (x² + x + 1)] – 0

⇔ $(x – 1)(2x – 3) = 0$

⇔ $x – 1 = 0$ hoặc $2x – 3 = 0$

♦ Với $x – 1 = 0 ⇔ x = 1$

♦ Với 2x – 3 = 0 ⇔ $x = \dfrac{3}{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {1;\dfrac{3}{2}} \right\}$

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 17 sgk Toán 8 tập 2

Giải phương trình $\left( {{x^3} + {x^2}} \right) + \left( {{x^2} + x} \right) = 0$.

Trả lời:

Ta có:

$\eqalign{
& \left( {{x^3} + {x^2}} \right) + \left( {{x^2} + x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right) + x\left( {x + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow x{\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x + 1 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = – 1 \hfill \cr} \right. \cr} $

Vậy tập nghiệm của phương trình là : $S = \{0; -1\}$

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 21 22 trang 17 sgk toán 8 tập 2. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 8 kèm bài giải chi tiết bài 21 22 trang 17 sgk toán 8 tập 2 của Bài §4. Phương trình tích trong Chương III – Phương trình bậc nhất một ẩn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 21 22 trang 17 sgk toán 8 tập 2

1. Giải bài 21 trang 17 sgk Toán 8 tập 2

Giải các phương trình:

a) $(3x – 2)(4x + 5) = 0$;

b) $(2,3x – 6,9)(0,1x + 2) = 0$;

c) $\left( {4x + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0$;

d) $(2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0$;

Bài giải:

a) Ta có:

$\eqalign{
& \left( {3x – 2} \right)\left( {4x + 5} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x – 2 = 0 \hfill \cr
4x + 5 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x = 2 \hfill \cr
4x = – 5 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \dfrac{2}{3} \hfill \cr
x = \dfrac{-5}{4} \hfill \cr} \right. \cr} $

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left \{ \dfrac{2}{3};\dfrac{-5}{4} \right \}$.

b) Ta có:

$\eqalign{
& \left( {2,3x – 6,9} \right)\left( {0,1x + 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2,3x – 6,9 = 0 \hfill \cr
0,1x + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2,3x = 6,9 \hfill \cr
0,1x = – 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 6,9:2,3 \hfill \cr
x = \left( { – 2} \right):0,1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
x = – 20 \hfill \cr} \right. \cr} $

Vậy phương trình có tập hợp nghiệm $S = \{3;-20\}$

c) Ta có:

Vì ${x^2} \ge 0$ với mọi $x \in\mathbb R$.

Do đó ${x^2} + 1 \ge 1$ với mọi $x \in\mathbb R$

$\eqalign{
& \left( {4x + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 4x + 2 = 0\,\,(\text{Vì } {x^2} + 1\ge 1 ) \cr
& \Leftrightarrow 4x = – 2 \cr
& \Leftrightarrow x = \left( { – 2} \right):4 \cr
& \Leftrightarrow x = {{ – 1} \over 2} \cr} $

Vậy phương trình có tập hợp nghiệm $S = \left \{ \dfrac{-1}{2} \right \}$.

d) Ta có:

$\eqalign{
& \left( {2x + 7} \right)\left( {x – 5} \right)\left( {5x + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x + 7 = 0 \hfill \cr
x – 5 = 0 \hfill \cr
5x + 1 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = – 7 \hfill \cr
x = 5 \hfill \cr
5x = – 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \dfrac{{ – 7}}{2} \hfill \cr
x = 5 \hfill \cr
x = \dfrac{{ – 1}}{5} \hfill \cr} \right. \cr} $

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S = \left \{ \dfrac{-7}{2};5;\dfrac{-1}{5} \right \}$

2. Giải bài 22 trang 17 sgk Toán 8 tập 2

Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử, giải các phương trình sau:

a) $2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0$

b) $\left( {{x^2} – 4} \right) + \left( {x – 2} \right)\left( {3 – 2x} \right) = 0$

c) ${x^3} – 3{x^2} + 3x – 1 = 0$

d) $x(2x – 7) – 4x + 14 = 0$

e) ${\left( {2x – 5} \right)^2} – {\left( {x + 2} \right)^2} = 0$

f) ${x^2} – x – \left( {3x – 3} \right) = 0$

Bài giải:

a) Ta có:

$\eqalign{
& 2x\left( {x – 3} \right) + 5\left( {x – 3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x – 3} \right)\left( {2x + 5} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x – 3 = 0 \hfill \cr
2x + 5 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
2x = – 5 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
x = \dfrac{{ – 5}}{2} \hfill \cr} \right. \cr} $

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {3;\dfrac{{ – 5}}{2}} \right\}$

b) Ta có:

$\eqalign{
& \left( {{x^2} – 4} \right) + \left( {x – 2} \right)\left( {3 – 2x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {x – 2} \right)\left( {3 – 2x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left[ {\left( {x + 2} \right) + \left( {3 – 2x} \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {x + 2 + 3 – 2x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( { – x + 5} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x – 2 = 0 \hfill \cr
– x + 5 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = 5 \hfill \cr} \right. \cr} $

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{2;5\}$

c) Ta có:

$\eqalign{
& {x^3} – 3{x^2} + 3x – 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} – 3{x^2}.1 + 3x{.1^2} – {1^3} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^3} = 0 \cr
& \Leftrightarrow x – 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow x = 1 \cr} $

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\{ 1\}$

d) Ta có:

$\eqalign{
& x\left( {2x – 7} \right) – 4x + 14 = 0 \cr
& \Leftrightarrow x\left( {2x – 7} \right) – 2\left( {2x – 7} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {2x – 7} \right)\left( {x – 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x – 7 = 0 \hfill \cr
x – 2 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = 7 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x =\dfrac{7}{2} \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} $

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {\dfrac{7}{2};2} \right\}$

e) Ta có:

$\eqalign{
& {\left( {2x – 5} \right)^2} – {\left( {x + 2} \right)^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\left( {2x – 5} \right) + \left( {x + 2} \right)} \right]\left[ {\left( {2x – 5} \right) – \left( {x + 2} \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {2x – 5 + x + 2} \right)\left( {2x – 5 – x – 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {3x – 3} \right)\left( {x – 7} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x – 3 = 0 \hfill \cr
x – 7 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x = 3 \hfill \cr
x = 7 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 3:3 \hfill \cr
x = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 7 \hfill \cr} \right. \cr} $

Vậy tập nghiệm phương trình là: $S= \{ 7; 1\}$

f) Ta có:

$\eqalign{
& {x^2} – x – \left( {3x – 3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow x\left( {x – 1} \right) – 3\left( {x – 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x – 3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x – 1 = 0 \hfill \cr
x – 3 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right. \cr} $

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{1;3\}$

Bài trước:

Luyện tập: Giải bài 14 15 16 17 18 19 20 trang 13 14 sgk Toán 8 tập 2

Bài tiếp theo:

Luyện tập: Giải bài 23 24 25 26 trang 17 sgk Toán 8 tập 2

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 8 với giải bài 21 22 trang 17 sgk toán 8 tập 2!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“