Toán lớp 8

Giải bài 27 28 trang 22 sgk Toán 8 tập 2

Hướng dẫn giải Bài §5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu, Chương III – Phương trình bậc nhất một ẩn, sách giáo khoa toán 8 tập hai. Nội dung bài giải bài 27 28 trang 22 sgk toán 8 tập 2 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 8.

Lý thuyết

1. Đặt vấn đề

Chúng ta sẽ bắt đầu với việc giải phương trình: \(\frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} = x\)

Ta sẽ trình bày theo hai cách để chỉ ra điều cần chú ý:

a) Với cách giải: \(\frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} = x \Leftrightarrow {x^2} – 1 = x(x – 1) \Leftrightarrow {x^2} – 1 = {x^2} – x \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy phương trình có nghiệm x = 1

b) Với các giải: \(\frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} = x \Leftrightarrow \frac{{(x – 1)(x + 1)}}{{x – 1}} = x\)

\( \Leftrightarrow x + 1 = x \Leftrightarrow 1 = 0\) mâu thuẫn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

⇒ Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta cần chú ý đến một yếu tố đặc biệt, đó là điều kiện xác định của phương trình.

2. Tìm điều kiện xác định của phương trình

Đối với các phương trình dạng: \(\frac{{{A_1}(x)}}{{{B_1}(x)}} + \frac{{{A_2}(x)}}{{{B_2}(x)}} + … + \frac{{{A_n}(x)}}{{{B_n}(x)}} = 0\)

điều kiện xác định của phương trình được cho bởi hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}{B_1}(x) \ne 0\\{B_2}(x) \ne 0\\………\\{B_n}(x) \ne 0\end{array} \right.\)

Ví dụ:

Tìm điều kiện xác định cho phương trình sau: \(\frac{{2{x^2}}}{{{x^2} – 1}} + \frac{{2x – 1}}{{{x^2} – 5x + 4}} = 2.\)

Bài giải:

Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 1 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x^2} – 5x + 4 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Giải (1), ta được: \({x^2} \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \pm 1.\)

Giải (2): \({x^2} – 5x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} – x – 4x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow x(x – 1) – 4(x – 1) \ne 0\)

\( \Leftrightarrow (x – 1)(x – 4) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 1 \ne 0\\x – 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right.\)

Vậy điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne 4\end{array} \right.\)

3. Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thực hiện theo các bước sau:

– Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

– Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của hai phương trình rồi khử mẫu.

– Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

– Bước 4: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi có trong bài học cho các bạn tham khảo. Các bạn hãy đọc kỹ câu hỏi trước khi trả lời nhé!

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 19 sgk Toán 8 tập 2

Giá trị \(x = 1\) có phải là nghiệm của phương trình hay không? Vì sao?

Trả lời:

Giá trị \(x = 1\) không phải là nghiệm của phương trình.

Vì tại \(x = 1\) thì \(\dfrac{1}{{x – 1}}\) có mẫu bằng \(0\),vô lí.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 20 sgk Toán 8 tập 2

Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

\(\eqalign{& a)\,\,{x \over {x – 1}} = {{x + 4} \over {x + 1}} \cr & b)\,\,{3 \over {x – 2}} = {{2x – 1} \over {x – 2}} – x \cr} \)

Trả lời:

a) \(x – 1 ≠ 0\) khi \(x ≠ 1\)

\(x + 2 ≠ 0\) khi \(x ≠ – 2\)

Vậy ĐKXĐ của phương trình \(\dfrac{x}{{x – 1}} = \dfrac{{x + 4}}{{x + 1}}\) là \(x ≠ 1\) và \(x ≠ – 2\)

b) \(x – 2 ≠ 0\) khi \(x ≠ 2\)

Vậy ĐKXĐ của phương trình \(\dfrac{3}{{x – 2}} = \dfrac{{2x – 1}}{{x – 2}} – x\) là \(x ≠ 2\)

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 22 sgk Toán 8 tập 2

Giải các phương trình trong câu hỏi 2.

\(\eqalign{& a)\,\,{x \over {x – 1}} = {{x + 4} \over {x + 1}} \cr & b)\,\,{3 \over {x – 2}} = {{2x – 1} \over {x – 2}} – x \cr} \)

Trả lời:

a) \(\dfrac{x}{{x – 1}} = \dfrac{{x + 4}}{{x + 1}}\)

ĐKXĐ: \(x\ne 1\) và \(x\ne -1\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow x\left( {x + 1} \right) = \left( {x – 1} \right)\left( {x + 4} \right) \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + x = {x^2} + 4x – x – 4 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + x = {x^2} + 3x – 4 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + x – {x^2} – 3x = – 4 \cr
& \Leftrightarrow – 2x = – 4 \cr
& \Leftrightarrow x = \left( { – 4} \right):\left( { – 2} \right) \cr
& \Leftrightarrow x = 2 \text{(thỏa mãn ĐKXĐ)}\cr} \)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \{2\}\)

b) \(\dfrac{3}{{x – 2}} = \dfrac{{2x – 1}}{{x – 2}} – x\)

ĐKXĐ: \(x\ne2\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {3 \over {x – 2}} = {{2x – 1} \over {x – 2}} – {{x\left( {x – 2} \right)} \over {x – 2}} \cr
& \Rightarrow 3 = 2x – 1 – x\left( {x – 2} \right) \cr
& \Leftrightarrow 3 = 2x – 1 – {x^2} + 2x \cr
& \Leftrightarrow 3 = – {x^2} + 4x – 1 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 3 + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2.x.2 + {2^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x – 2} \right)^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow x = 2\text{ (loại)} \cr} \)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \phi \)

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 27 28 trang 22 sgk toán 8 tập 2. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 8 kèm bài giải chi tiết bài 27 28 trang 22 sgk toán 8 tập 2 của Bài §5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu trong Chương III – Phương trình bậc nhất một ẩn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 27 28 trang 22 sgk toán 8 tập 2
Giải bài 27 28 trang 22 sgk toán 8 tập 2

1. Giải bài 27 trang 22 sgk Toán 8 tập 2

Giải các phương trình:

a) \( \dfrac{2x-5}{x+5}= 3\);

b) \( \dfrac{x^{2}-6}{x}=x+\dfrac{3}{2}\)

c) \( \dfrac{(x^{2}+2x)-(3x+6)}{x-3}=0\);

d) \( \dfrac{5}{3x+2} = 2x -1\)

Bài giải:

a) ĐKXĐ: \(x \ne – 5\)

\(\eqalign{
& {{2x – 5} \over {x + 5}} = 3 \cr
& \Leftrightarrow {{2x – 5} \over {x + 5}} = {{3(x + 5)} \over {x + 5}} \cr
& \Rightarrow 2x – 5 = 3\left( {x + 5} \right) \cr
& \Leftrightarrow 2x – 5 = 3x + 15 \cr
& \Leftrightarrow 2x – 3x = 15 + 5 \cr
& \Leftrightarrow – x = 20 \cr
& \Leftrightarrow x = – 20 \text{ (thỏa mãn ĐKXĐ)}\cr} \)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \{-20\}\)

b) ĐKXĐ: \(x \ne 0\)

\(\eqalign{
& {{{x^2} – 6} \over x} = x + {3 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow {{2({x^2} – 6)} \over {2x}} = {{2{x^2}} \over {2x}} + {{3x} \over {2x}} \cr
& \Rightarrow 2\left( {{x^2} – 6} \right) = 2{x^2} + 3x \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} – 12 = 2{x^2} + 3x \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} – 2{x^2} – 3x = 12 \cr
& \Leftrightarrow – 3x = 12 \cr
& \Leftrightarrow x = 12:\left( { – 3} \right) \cr
& \Leftrightarrow x = – 4\text{ (thỏa mãn ĐKXĐ)} \cr} \)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \{- 4\}\).

c) ĐKXĐ: \(x \ne 3\)

\(\eqalign{
& {{({x^2} + 2x) – (3x + 6)} \over {x – 3}} = 0 \cr
& \Rightarrow ({x^2} + 2x) – (3x + 6) = 0 \cr
& \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) – 3\left( {x + 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x – 3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x + 2 = 0 \hfill \cr
x – 3 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 2\text{ (thỏa mãn ĐKXĐ)} \hfill \cr
x = 3 \text{ (loại)}\hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \{-2\}\)

d) ĐKXĐ: \(x \ne -\dfrac{2}{3}\)

\(\eqalign{
& {5 \over {3x + 2}} = 2x – 1 \cr
& \Leftrightarrow {5 \over {3x + 2}} = {{\left( {2x – 1} \right)\left( {3x + 2} \right)} \over {3x + 2}} \cr
& \Rightarrow 5 = \left( {2x – 1} \right)\left( {3x + 2} \right) \cr
& \Leftrightarrow 5 = 6{x^2} + 4x – 3x – 2 \cr
& \Leftrightarrow 5 = 6{x^2} + x – 2 \cr
& \Leftrightarrow – 6{x^2} – x + 2 + 5 = 0 \cr
& \Leftrightarrow – 6{x^2} – x + 7 = 0 \cr
& \Leftrightarrow – 6{x^2} + 6x – 7x + 7 = 0 \cr
& \Leftrightarrow – 6x\left( {x – 1} \right) – 7\left( {x – 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( { – 6x – 7} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x – 1 = 0 \hfill \cr
– 6x – 7 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
– 6x = 7 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1\text{ (thỏa mãn)} \hfill \cr
x = – \dfrac{7}{6}\text{ (thỏa mãn)} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {1; – \dfrac{7}{6}} \right\}\).

2. Giải bài 28 trang 22 sgk Toán 8 tập 2

Giải các phương trình:

a) \( \dfrac{2x-1}{x-1}+1=\dfrac{1}{x-1}\);

b) \( \dfrac{5x}{2x+2}+1=-\dfrac{6}{x+1}\)

c) \(x + \dfrac{1}{x}= x^2+\dfrac{1}{x^{2}}\);

d) \( \dfrac{x+3}{x+1}+\dfrac{x-2}{x} = 2\).

Bài giải:

a) ĐKXĐ: \(x \ne 1\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\dfrac{{2{\rm{x}} – 1}}{{x – 1}} + 1 = \dfrac{1}{{x – 1}}}\\
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{2{\rm{x}} – 1}}{{x – 1}} + \dfrac{{x – 1}}{{x – 1}} = \dfrac{1}{{x – 1}}\\
\Rightarrow 2x – 1 + x – 1 = 1
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{\rm{x}} – 2 = 1\\
\Leftrightarrow 3x = 1 + 2
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow 3{\rm{x}} = 3}\\
{ \Leftrightarrow {\rm{x}}{\kern 1pt} {\rm{ = }}{\kern 1pt} {\rm{3:3}}}\\
{ \Leftrightarrow {\rm{x}}{\kern 1pt} {\rm{ = }}{\kern 1pt} 1\left( \text{loại} \right)}
\end{array}\)

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) ĐKXĐ: \(x \ne -1\)

\(\matrix{\dfrac{{5{\text{x}}}}{{2{\text{x}} + 2}} + 1 = – \dfrac{6}{{x + 1}} \hfill \cr { \Leftrightarrow \dfrac{{5{\text{x}}}}{{2\left( {{\text{x}} + 1} \right)}} + 1 = – \dfrac{6}{{x + 1}}} \hfill \cr \matrix{ \Leftrightarrow \dfrac{{5{\text{x}}}}{{2\left( {{\text{x}} + 1} \right)}} + \dfrac{{2x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}} = – \dfrac{{6.2}}{{2\left( {x + 1} \right)}} \hfill \cr \Rightarrow 5x + 2x + 2 = – 12 \hfill \cr} \hfill \cr { \Leftrightarrow 7{\rm{x}} + 2 = – 12} \hfill \cr { \Leftrightarrow 7{\rm{x}} = – 12 – 2} \hfill \cr { \Leftrightarrow 7{\rm{x}} = – 14} \hfill \cr { \Leftrightarrow x = \left( { – 14} \right):7} \hfill \cr { \Leftrightarrow {\rm{x}}{\kern 1pt} {\rm{ = }} – 2\left( \text{thỏa mãn} \right)} \hfill \cr } \)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = -2\).

c) ĐKXĐ: \(x \ne 0\).

\(\begin{array}{l}
x + \dfrac{1}{x} = {x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2}}} + \dfrac{x}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}}\\
\Rightarrow {x^3} + x = {x^4} + 1\\
\Leftrightarrow {x^4} – {x^3} – x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {x^3}\left( {x – 1} \right) – \left( {x – 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {{x^3} – 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x – 1 = 0\\
{x^3} – 1 = 0
\end{array} \right. \\\Leftrightarrow x = 1\left( \text{thỏa mãn} \right)
\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 1\).

d) ĐKXĐ: \(x \ne 0; x\ne-1\).

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{x + 3}}{{x + 1}} + \dfrac{{x – 2}}{x} = 2\\
\Leftrightarrow \dfrac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \dfrac{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{2x\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} \\\Rightarrow x\left( {x + 3} \right) + \left( {x – 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 2x\left( {x + 1} \right)
\\\Leftrightarrow {x^2} + 3{\rm{x}} + {x^2} – 2{\rm{x}} + x – 2 = 2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}\\
\Leftrightarrow 2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} – 2\, – 2{{\rm{x}}^2} – 2{\rm{x}} = 0\\
\Leftrightarrow 0x = 2\left( \text{Vô nghiệm} \right)
\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 8 với giải bài 27 28 trang 22 sgk toán 8 tập 2!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“