Toán lớp 7

Luyện tập: Giải bài 19 20 21 22 23 trang 61 62 sgk Toán 7 tập 1

Luyện tập Bài §4. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch, chương II – Hàm số và đồ thị, sách giáo khoa toán 7 tập một. Nội dung bài giải bài 19 20 21 22 23 trang 61 62 sgk toán 7 tập 1 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 7.

Lý thuyết

1. Kiến thức cần nhớ

Để giải các bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch ta vận dụng các kiến thức sau:

– Tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch:

\(\frac{{{y_1}}}{{{y_2}}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\).

– Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{{{y_1}}}{{{y_2}}} = \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} \Rightarrow \frac{{{y_1} + {y_2}}}{{{y_2}\,}} = \frac{{{x_2} + {x_1}}}{{{x_1}}},…\).

– Nếu y tỉ lệ nghịch với x thì y tỉ lệ thuận với \(\frac{1}{x}\).

2. Ví dụ minh họa

Trước khi đi vào giải bài 19 20 21 22 23 trang 61 62 sgk toán 7 tập 1, chúng ta hãy tìm hiểu các ví dụ điển hình sau đây:

Ví dụ 1:

Hai xe ôtô khởi hành cùng một lúc và đi về phía gặp nhau từ hai tỉnh A, B cách nhau 544km. Tính xem hai xe gặp nhau cách A bao nhiêu km, biết rằng xe thứ nhất đi cả quãng đường AB hết 12 giờ còn xe thứ hai phải hết 13g30 phút.

Bài giải:

Gọi \({S_1},{V_1};{{\rm{S}}_2},{V_2}\) lần lượt là quãng đường đi được và vận tốc của xe thứ nhất và thứ hai cùng đi quãng đường AB thì vận tốc là thời gian đi của chúng tỉ lệ nghịch với nhau nên ta có \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{13,5}}{{12}} = \frac{9}{8}\) (1)

Từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, hai xe cùng đi trong một thời gian nên quãng đường đi được và vận tốc của chúng tỉ lệ nghịch với nhau. Ta có \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) ta có \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{9}{8}\)

Suy ra \(\frac{{{S_1}}}{9} = \frac{{{S_2}}}{8} = \frac{{{S_1} + {S_2}}}{{9 + 8}} = \frac{{544}}{{17}} = 32\)

Do đó \({S_1} = 32.9 = 288\)

Vậy chỗ gặp nhau cách A là 288km.

Ví dụ 2:

Trong một xưởng cơ khí, người thợ chính tiện xong một dụng cụ hết 5 phút, người thợ phụ hết 9 phút. Nếu trong cùng một thời gian như nhau cả hai cùng làm việc thì tiện được cả thảy 84 dụng cụ. Tính số dụng cụ mà mỗi người đã tiện được.

Bài giải:

Gọi x, y lần lượt là số dụng cụ của người của người thợ chính, thợ phụ. Ta có số dụng cụ tỉ lệ nghịch với thời gian làm việc nên

\(\frac{x}{{\frac{1}{5}}} = \frac{y}{{\frac{1}{9}}}\) và x + y = 84

Nên \(\frac{x}{{\frac{1}{5}}} = \frac{y}{{\frac{1}{9}}} = \frac{{x + y}}{{\frac{1}{5} + \frac{1}{9}}} = \frac{{84}}{{\frac{{14}}{{45}}}} = \frac{{84 – 45}}{{14}} = 270\)

Vậy \(\begin{array}{l}\frac{x}{{\frac{1}{5}}} = 270 \Rightarrow x = \frac{1}{5}.270 = 54\\\frac{y}{{\frac{1}{9}}} = 270 \Rightarrow y = \frac{1}{9}.270 = 30\end{array}\).

Người thợ chính làm được 54 dụng cụ.

Người thợ phụ làm được 30 dụng cụ.

Ví dụ 3:

Ba đơn vị cùng xây dựng chung một chiếc cầu hết 340 triệu. Đơn vị thứ nhất có 8 xe và ở cách cầu 1,5km. Đơn vị thứ hai có 4 xe và ở cách cầu 3km. Đơn vị thứ ba có 6 xe và ở cách cầu 1 km.

Hỏi mỗi đơn vị phải trả bao nhiêu tiền cho việc xây dựng cầu, biết rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ các đơn vị tới cầu.

Bài giải:

Gọi x, y, z là số tiền mà mỗi đơn vị phải trả cho việc xây dựng cầu (tính ra triệu đồng).

Ta có: x + y + z = 340.

Số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe trên: x : y : z = 8 : 6 : 4

Số tiền phải trả tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ mỗi đơn vị đến cầu, nên:

\(x{\rm{ }}:{\rm{ }}y{\rm{ }}:{\rm{ }}z = \frac{1}{{1,5}}:\frac{1}{3}:1 = \frac{1}{3}:\frac{1}{3}:1\).

Suy ra \(\frac{x}{{\frac{{16}}{3}}} = \frac{y}{{\frac{6}{3}}} = \frac{z}{4} = \frac{{x + y + z}}{{\frac{{16}}{3} + \frac{6}{3} + 4}} = \frac{{x + y + z}}{{\frac{{34}}{3}}} = \frac{{340}}{{\frac{{34}}{3}}} = 30\).

Do đó: \(\begin{array}{l}x = \frac{{16}}{3}.30 = 160\\y = \frac{6}{3}.30 = 60\\z = 4.30 = 120\end{array}\).

Vậy: Đơn vị thứ nhất trả 160 triệu, đơn vị thứ hai trả 60 triệu và đơn vị thứ ba trả 120 triệu.

Ví dụ 4:

Chia số 393 thành những phần tỉ lệ nghịch với các số \(0,2;\,\,3\frac{1}{3};\,\,\frac{4}{5}\).

Bài giải:

Ta chia 393 thành ba phần x, y, z tỉ lệ thuận với các số nghịch đảo của \(0,2;\,\,3\frac{1}{3};\,\,\frac{4}{5}\). Ta có \(0,2 = \frac{1}{5};\,\,3\frac{1}{3} = \frac{{10}}{3};\,\,\frac{4}{5}\)

Do đó theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}393\\x:y:z = 5:\frac{3}{{10}}:\frac{5}{4} = 100:6:25\end{array}\)

Hay \(\frac{x}{{100}} = \frac{y}{6} = \frac{z}{{25}} = \frac{{x + y + z}}{{131}} = \frac{{393}}{{131}} = 3\)

Do đó: \(\begin{array}{l}\frac{x}{{100}} = 3 \Rightarrow x = 300\\\frac{y}{6} = 3 \Rightarrow y = 18\\\frac{z}{{25}} = 3 \Rightarrow z = 75\end{array}\).

Ví dụ 5:

Giá hàng hạ 20%. Hỏi cùng với một số tiền có thể mua thêm bao nhiêu % hàng?

Bài giải:

Vì số tiền hàng đổi nên giá hàng tỉ lệ nghịch với số hàng mua được. Nếu giá hàng là 100% và mua được số hàng là a thì khi giá hàng hạ 20% tức là bằng 80% sẽ mua được số hàng là a + x, với x là số hàng mua được thêm.

Ta có: \(\frac{{100\% }}{{80\% }} = \frac{{a + c}}{a}\)

Suy ra \(\frac{{a + x – a}}{a} = \frac{{100\% – 80\% }}{{80\% }}\)

Hay \(\frac{x}{a} = \frac{{20\% }}{{80\% }} = 0,25\)

\(x = 0,25.a\)

Vậy \(x = 25\%\).

Có thể mua thêm được 25% hàng.

Ví dụ 6:

Một người mua vải để may ba áo sơ mi như nhau. Người ấy mua ba loại vải khổ rộng 0,7m; 0,8m và 1,4m với tổng số vải là 5,7m. Tính số mét vải mỗi loại người ấy đã mua.

Bài giải:

Vì ba áo sơ mi như nhau nên khổ vải tỉ lệ nghịch với chiều dài của vải.

Gọi số mét vải mỗi loại người ấy đã mua là x, y, z (x, y, z >0)

Ta có 0,7x = 0,8y = 1,4z

Hay 7x = 8y = 14z

BCNN (7,8,14) = 56 nên

\(\frac{{7x}}{{56}} = \frac{{8y}}{{56}} = \frac{{14z}}{{56}}\)

Suy ra \(\frac{x}{8} = \frac{y}{7} = \frac{z}{4} = \frac{{x + y + z}}{{8 + 7 + 4}} = \frac{{5,7}}{{19}} = 0,3\)

Do đó:

x= 0,3 . 8 = 2,4 (m)

y= 0,3 .7 = 2,1 (m)

z= 0,3.4 =1,2 (m)

Vậy số mét vải khổ 0,7m là 2,4m; khổ 0,8m là 2,1m; khổ 1,4m là 1,2m.

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 19 20 21 22 23 trang 61 62 sgk toán 7 tập 1. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Luyện tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 7 kèm bài giải chi tiết bài 19 20 21 22 23 trang 61 62 sgk toán 7 tập 1 của bài §4. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch trong chương II – Hàm số và đồ thị cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 19 20 21 22 23 trang 61 62 sgk toán 7 tập 1
Giải bài 19 20 21 22 23 trang 61 62 sgk toán 7 tập 1

1. Giải bài 19 trang 61 sgk Toán 7 tập 1

Với cùng số tiền để mua 51 mét vải loại I có thể mua được bao nhiêu mét vải loại II, biết rằng giá tiền 1 mét vải loại II chỉ bằng 85% giá tiền 1 mét vải loại I?

Bài giải:

Gọi số mét vải loại $II$ mua được là $x$.

Vì số mét vải và giá tiền $1m$ vải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

$\frac{51}{x}$ = $\frac{85}{100}$

⇒ $x = \frac{51 . 100}{85} = 60$

Vậy với cùng số tiền có thể mua được $60m$ vải loại $II$.

2. Giải bài 20 trang 61 sgk Toán 7 tập 1

Đố vui: Trong một cuộc thi chạy tiếp sức 4 x 100m, đội thi gồm voi, sư tử, chó săn và ngựa chạy với vận tốc theo thứ tự tỉ lệ với 1; 1,5; 1,6; 2. Hỏi đội đó có phá được “kỉ lục thế giới” là 39 giây không, biết rằng voi chạy hết 12 giây?

Bài giải:

Gọi $v$ là vận tốc, $t$ là thời gian của cuộc thi, thể hiện qua bảng sau:

Voi

Sư tử

Chó săn

Ngựa

v

1

1,5

1,6

2

t

12

Vì vận tốc và thời gian (của chuyển động trên cùng một quãng đường 100m) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Từ công thức đại lượng tỉ lệ nghịch ta tìm được hệ số tỉ lệ là $1.12 = 12$.

Do đó ta tìm được thời gian chạy của sử tử, chó săn, ngựa lần lượt là:

\(12 :1,5 = 8\);

\(12 : 1,6 = 7,5\);

\(12 : 2 = 6 (giây)\).

Ta có bảng sau:

Voi

Sư tử

Chó săn

Ngựa

v

1

1,5

1,6

2

t

12

8

7,5

6

Tổng thời gian sẽ là: \(12 + 8 + 7,5 + 6 = 33,5\) (giây).

Vậy đội tuyển đó đã phá được “kỉ lục thế giới”.

3. Giải bài 21 trang 61 sgk Toán 7 tập 1

Ba đội máy san đất làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày và đội thứ ba trong 8 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy (có cùng năng suất), biết rằng đội thứ nhất có nhiều hơn đội thứ hai 2 máy?

Bài giải:

Gọi số máy của đội thứ nhất là $x$, của đội thứ hai là $y$, của đội thứ ba là $z$.

Với khối lượng công việc như nhau thì số máy và thời gian hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, theo tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

$4x = 6y = 8z ⇔ \frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{3}$

Mặt khác do đội thứ nhất có nhiều hơn đội thứ hai 2 máy nên ta có:

$x – y = 2$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{6}$ = $\frac{y}{4}$ = $\frac{x – y}{6 – 4}$ = $\frac{2}{2}$ = 1 hay $\frac{x}{6}$ = $\frac{y}{4}$ = $\frac{z}{3} = 1$

$\frac{x}{6} = 1 ⇒ x = 6$

$\frac{y}{4} = 1 ⇒ y = 4$

$\frac{z}{3} = 1 ⇒ z = 3$

Vậy đội một có $6$ máy, đội hai có $4$ máy, đội ba có $3$ máy.

4. Giải bài 22 trang 62 sgk Toán 7 tập 1

Một bánh răng cưa có $20$ răng quay một phút được $60$ vòng. Nó khớp với một bánh răng cưa khác có $x$ răng (h.13). Giả sử bánh răng cưa thứ hai quay một phút được $y$ vòng. Hãy biểu diễn $y$ qua $x$.

Bài giải:

Ta biết rằng số răng cưa trên bánh răng càng nhiều thì bánh răng quay càng chậm, nghĩa là số răng cưa tỉ lệ nghịch với vận tốc quay của bánh răng, nên ta có:

\({x \over {20}} = {{60} \over y}\) hay $xy = 60.20$

Nên \(y = {{1200} \over x}\)

5. Giải bài 23 trang 62 sgk Toán 7 tập 1

Hai bánh xe nối với nhau bởi một dây tời (h.14). Bánh xe lớn có bán kính $25cm$, bánh xe nhỏ có bán kính $10cm$. Một phút bánh xe lớn quay được $60$ vòng. Hỏi một phút bánh xe nhỏ quay được bao nhiêu vòng?

Bài giải:

Ta biết rằng bánh xe càng lớn thì quay càng chậm, tức là bán kính của bánh xe tỉ lệ nghịch với vận tốc quay của bánh xe

Gọi vận tốc của bánh xe nhỏ là $x$ (vòng/phút)

Theo tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

$\frac{x}{60}$ = $\frac{25}{10}$

$⇒ x = \frac{25 . 60}{10} = 150 $(vòng/phút)

Vậy mỗi phút bánh xe nhỏ quay được $150$ vòng.

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 7 với giải bài 19 20 21 22 23 trang 61 62 sgk toán 7 tập 1!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“