Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 trang 59 60 sgk Hình học 10

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §3. Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác, Chương II. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng, sách giáo khoa Hình học 10. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 trang 59 60 sgk Hình học 10 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 10.

Lý thuyết

Nhắc lại hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cho tam giác $ABC$ vuông góc tại đỉnh $A$ ($\widehat{A} = 90^0$), ta có:

1. ${b^2} = ab’;{c^2} = a.c’$

2. Định lý Pitago : ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

3. $a.h = b.c$

4. $h^2= b’.c’$

5. $\frac{1}{h^{2}}$ = $\frac{1}{b^{2}}$ + $\frac{1}{c^{2}}$

1. Định lí côsin

Trong tam giác ABC bất kì với $BC = a; CA = b; AB = c$ ta có:

$a^2=b^2+c^2-2bc.cosA$

$b^2=a^2+c^2-2ac.cosB$

$c^2=a^2+b^2-2ab.cosC$

Từ đó, ta có hệ quả sau:

$cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

$cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $BC = a, CA = b$ và $AB = c$. Gọi $m_a,m_b$ và $m_c$ là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh $A, B, C$ của tam giác. Ta có:

${m_{a}}^{2}$ = $\frac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}$

${m_{b}}^{2}$ = $\frac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}$

${m_{c}}^{2}$ = $\frac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}$

2. Định lí sin

Trong tam giác $ABC$ bất kỳ, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là:

$\frac{a}{sin A}= \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2R$

với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

3. Công thức tính diện tích tam giác

Ta kí hiệu h_a, h_b và h_clà các đường cao của tam giác $ABC$ lần lượt vẽ từ các đình $A, B, C$ và $S$ là diện tích tam giác đó.

Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ được tính theo một trong các công thức sau

$S = \frac{1}{2} ab \sin C= \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2}ca \sin B$ (1)

$S = \frac{abc}{4R}$ (2)

$S = pr$ (3)

$S = \sqrt{p(p – a)(p – b)(p – c)}$ (công thức Hê – rông) (4)

4. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi đã biết các yếu tố khác của tam giác đó.

Muốn giải tam giác ta cần tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố chưa biết của tam giác thông qua các hệ thức đã được nêu trong định lí cosin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác.

Các bài toán về giải tam giác: Có 3 bài toán cơ bản về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc.

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí sin để tính cạnh còn lại

b) Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính cạnh thứ ba

c) Giải tam giác khi biết ba cạnh

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính góc

$\cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$cos C = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Chú ý:

1. Cần lưu ý là một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2)

2. Việc giải tam giác được sử dụng vào các bài toán thực tế, nhất là các bài toán đo đạc.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong mục hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 10.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 46 sgk Hình học 10

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH = h$ và có $BC = a, CA = b, AB = c$. Gọi $BH = c’$ và $CH = b’$ (h.2.11). Hãy điền vào các ô trống trong các hệ thức sau đây để được các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Trả lời:

Ta điền như sau:

a² = b² + c²

b² = a x b’

c² = a x c’

h² = b’ x c’

$ah = b x c$

$\eqalign{
& {1 \over {{h^2}}} = {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \cr
& \sin B = \cos C = {b \over a} \cr
& \sin C = \cos B = {c \over a} \cr
& \tan B = \cot C = {b \over c} \cr
& \cot B = \tan C = {c \over b} \cr} $

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 48 sgk Hình học 10

Hãy phát biểu định lí Cosin bằng lời.

Trả lời:

Trong một tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại trừ hai lần tích của chúng và côsin của góc xen giữa hai cạnh đó.

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 48 sgk Hình học 10

Khi $ABC$ là tam giác vuông, định lý côsin trở thành định lý quen thuộc nào?

Trả lời:

Khi $ABC$ là tam giác vuông, định lý côsin trở thành định lý Py-ta-go.

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 49 sgk Hình học 10

Cho tam giác $ABC$ có $a = 7cm, b = 8cm, c = 6cm$. Hãy tính độ dài đường trung tuyến m_a của tam giác $ABC$ đã cho.

Trả lời:

Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác ta có:

$\eqalign{
& m_a^2 = {{2({b^2} + {c^2}) – {a^2}} \over 4} = {{2({8^2} + {6^2}) – {7^2}} \over 4} = {{151} \over 4} \cr
& \Rightarrow {m_a} = {{\sqrt {151} } \over 2} \cr} $

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 50 sgk Hình học 10

Cho tam giác $ABC$ vuông ở A nội tiếp trong đường tròn bán kính R và có BC = a, CA = b, AB = c.

Chứng minh hệ thức:

${a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = 2R$

Trả lời:

Do tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên trung điểm $O$ của $BC$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC ⇒ BC = a = 2R$

Ta có:

$\eqalign{
& \sin A = \sin {90^0} = 1 = {a \over a} = {a \over {2R}} \cr
& \Rightarrow {a \over {\sin A}} = 2R \cr
& \sin B = {b \over a} = {b \over {2R}} \Rightarrow {b \over {\sin B}} = 2R \cr
& \sin C = {c \over a} = {c \over {2R}} \Rightarrow {c \over {\sin C}} = 2R \cr} $

6. Trả lời câu hỏi 6 trang 52 sgk Hình học 10

Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $a$. Hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Trả lời:

Theo định lí sin ta có:

${a \over {\sin A}} = 2R \Rightarrow R = {a \over {2\sin A}}$

Tam giác ABC đều nên A = 60^o ⇒ sin ⁡A = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow R = {a \over {2\sin A}} = {a \over {2.{{\sqrt 3 } \over 2}}} = {a \over {\sqrt 3 }} $

7. Trả lời câu hỏi 7 trang 53 sgk Hình học 10

Hãy viết các công thức tính diện tích tam giác theo một cạnh và đường cao tương ứng.

Trả lời:

Ta có công thức tính diện tích tam giác như sau:

$S = {1 \over 2}a.{h_a} = {1 \over 2}b.{h_b} = {1 \over 2}c.{h_c}$

8. Trả lời câu hỏi 8 trang 54 sgk Hình học 10

Dựa vào công thức (1) và định lý sin, hãy chứng minh $S = \frac{abc}{4R}$.

Trả lời:

Theo định lý Sin, ta có:

${c \over {\sin C}} = 2R \Rightarrow \sin C = {c \over {2R}}$

Khi đó:

$S = {1 \over 2}ab.\sin C = {1 \over 2}ab.{c \over {2R}} = {{abc} \over {4R}}$ (đpcm)

9. Trả lời câu hỏi 9 trang 54 sgk Hình học 10

Chứng minh công thức $S = pr$ (h.2.19).

Trả lời:

Ta có:

$\eqalign{
& {S_{OAB}} = {1 \over 2}r.c \cr
& {S_{OAC}} = {1 \over 2}r.b \cr
& {S_{OBC}} = {1 \over 2}r.a \cr
& \Rightarrow {S_{ABC}} = {1 \over 2}r(a + b + c) = p.r\,\,(đpcm) \cr} $

Với $p = {{a + b + c} \over 2}$

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 trang 59 60 sgk Hình học 10. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 10 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 trang 59 60 sgk Hình học 10 của Bài §3. Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác trong Chương II. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 trang 59 60 sgk Hình học 10

1. Giải bài 1 trang 59 sgk Hình học 10

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $\widehat{B}=58^{\circ}$ và cạnh $a = 72cm$. Tính $\widehat{C}$, cạnh $b$ và đường cao $h$.

Bài giải:

Ta có: $\widehat{C}=90^{\circ}-\widehat{B}=90^{\circ}-58^{\circ}=32^{\circ}$

⇒ $b = BC.\sin 58^{\circ} = a.\sin 58^{\circ} = 61,06 (cm)$

⇒ $c = BC.\cos 58^{\circ} = a.\cos 58^{\circ} = 38,15 (cm)$

⇒ $h_{a}=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{c.b}{a}=\frac{38,15.61,06}{72}=32,35 (cm)$

2. Giải bài 2 trang 59 sgk Hình học 10

Cho tam giác $ABC$ biết các cạnh $a = 52,1cm, b = 85cm, c = 54cm$. Tính các góc $\widehat{A},\widehat{B},\widehat{C}$.

Bài giải:

Ta có:

$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{85^{2}+54^{2}-52,1^{2}}{2.85.54}\approx 0,81$

⇒ $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{85^{2}+54^{2}-52,1^{2}}{2.85.54}\approx 0,81$

⇒ $\widehat{A}\approx 36^{\circ}$

$\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=\frac{52,1^{2}+54^{2}-85^{2}}{2.52,1.54}\approx -0,28$

⇒ $\widehat{B}\approx 106^{\circ}28’$

⇒ $C=\widehat{C}=180^{\circ}-\widehat{A}-\widehat{B}=180^{\circ}-36^{\circ}-106^{\circ}28’=37^{\circ}32’$

3. Giải bài 3 trang 59 sgk Hình học 10

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=120^{\circ}$ , cạnh $b = 8cm$ và $c = 5cm$. Tính cạnh $a$, các góc $\widehat{B} , \widehat{C}$ của tam giác đó.

Bài giải:

Ta có: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$

⇔ $a^{2}=8^{2}+5^{2}-2.8.5\cos 120^{\circ}=129 (cm) $

⇒ $a=\sqrt{129} (cm) $

Mặt khác: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$

⇒ $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{8.\frac{\sqrt{3}}{2}}{11,36}=0,61$

⇒ $\widehat{B}=37^{\circ}34’$

⇒ $C=\widehat{C}=180^{\circ}-\widehat{A}-\widehat{B}=180^{\circ}-120^{\circ}-37^{\circ}34’=22^{\circ}26’$

4. Giải bài 4 trang 59 sgk Hình học 10

Tính diện tích $S$ của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là $7, 9$ và $12$.

Bài giải:

Ta có: $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{7+9+12}{2}=14$

Áp dụng công thức Hê-rông, ta có:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

⇔ $S=\sqrt{14(14-7)(14-9)(14-12)}=14\sqrt{5} =31,3 (Đvdt) $

5. Giải bài 5 trang 59 sgk Hình học 10

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=120^{\circ}$. Tính cạnh $BC$, cho biết cạnh $AC = m$ và cạnh $AB = n.$

Bài giải:

Ta có: $BC^{2} = AC^{2} + AB^{2} – 2.AB.AC.\cos \widehat{A}$

⇔ $BC^{2}= m^{2} + n^{2} – 2.m.n.\cos 120^{\circ}$

⇔ $BC^{2} = m^{2} + n^{2} + mn$

⇒ $BC=\sqrt{m^{2}+n^{2}+m.n}$

6. Giải bài 6 trang 59 sgk Hình học 10

Tam giác $ABC$ có các cạnh $a = 8cm, b = 10cm$ và $c = 13cm$.

a) Tam giác đó có góc tù không?

b) Tính độ dài trung tuyến $MA$ của tam giác $ABC$ đó.

Bài giải:

a) Ta có: $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

⇔ $\cos C=\frac{8^{2}+10^{2}-13^{2}}{2.8.10}\approx -0,031$

⇒ $\widehat{C}=91^{\circ}47’$

Vậy trong tam giác có $\widehat{C}$ là góc tù.

b) Ta có : $AM^{2}=\frac{2(AC^{2}+AB^{2})-BC^{2}}{4}=118,5 cm $

⇒ $AM=\sqrt{118,5}=10,89 cm $

7. Giải bài 7 trang 59 sgk Hình học 10

Tính góc lớn nhất của tam giác $ABC$ biết:

a) Các cạnh $a = 3cm, b = 4cm$ và $c = 6cm$;

b) Các cạnh $a = 40cm, b = 13cm, c = 37cm$.

Bài giải:

Nhận xét: Trong tam giác cạnh nào lớn nhất thì góc đó lớn nhất.

a) Cạnh $c = 6cm$ lớn nhất ⇒ $\widehat{C}$ là góc lớn nhất.

⇒ $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{-11}{24}=0,458$

⇒ $\widehat{C}=117^{\circ}16’$

b) Cạnh $a = 40cm$ lớn nhất ⇒ $\widehat{A}$ là góc lớn nhất.

⇒ $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=-0,0644$

⇒ $\widehat{A}=93^{\circ}41’$

8. Giải bài 8 trang 59 sgk Hình học 10

Cho tam giác $ABC$ biết cạnh $a = 137,5cm$, $\widehat{B}=83^{\circ}$ và $\widehat{C}=57^{\circ}$. Tính góc $A$, bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp, cạnh $b$ và $c$ của tam giác.

Bài giải:

Ta có: $\widehat{A}=180^{\circ}-\widehat{B}-\widehat{C}=180^{\circ}-83^{\circ}-57^{\circ}=40^{\circ}$

Áp dụng định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

⇒ $R=\frac{a}{2\sin A}\approx 106,96 (cm)$

⇒ $b = 2R.sin B = 2.106,96.\sin 83^{\circ} = 212,33 cm$

⇒ $c = 2R.sin C = 2.106,96.\sin 57^{\circ} = 179,41 cm$

9. Giải bài 9 trang 59 sgk Hình học 10

Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB = a, BC = b, BD = m, AC = n.$

Chứng minh rằng: $m^{2} + n^{2} = 2(a^{2} + b^{2})$.

Bài giải:

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Khi đó $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$, đồng thời $BO$ là trung tuyến của $ΔABC$.

⇒ $BO^{2}=\frac{2(AB^{2}+BC^{2})-AC^{2}}{4}=\frac{2(a^{2}+b^{2})n^{2}}{n}$

Mặt khác : $BO=\frac{1}{2}BD<⇒BO^{2}=\frac{1}{4}BD^{2}=\frac{m^{2}}{4}$

⇒ $\frac{m^{2}}{4}=\frac{2(a^{2}+b^{2})n^{2}}{n}$

⇒ $m^{2} + n^{2} = 2(a^{2} + b^{2})$ (đpcm)

10. Giải bài 10 trang 60 sgk Hình học 10

Hai chiếc tàu thủy $P$ và $Q$ cách nhau $300m$. Từ $P$ và $Q$ thẳng hàng với chân $A$ của tháp hải đăng $AB$ ở trên bờ biển người ra nhìn chiều cao $AB$ của tháp dưới các góc $\widehat{BPA}=35^{\circ}$ và $\widehat{BQA}=48^{\circ}$. Tính chiều cao của tháp.

Bài giải:

Xét $ΔAPB$ vuông tại $A$ có $\widehat{APB}=35^{\circ}$.

⇒ $AP=AB.\cot 35^{\circ}$ (1)

Xét $ΔAQB$ vuông tại $A$ có $\widehat{AQB}=48^{\circ}$.

⇒ $AQ=AB.\cot 48^{\circ}$ (2)

Từ (1),(2) ⇒ $PQ = AP – AQ = AB(\cot 35^{\circ}- \cot 48^{\circ})$

⇒ $AB=\frac{300}{\cot 35^{\circ}-\cot 48^{\circ}}=568,457 (m)$

11. Giải bài 11 trang 60 sgk Hình học 10

Muốn đo chiều cao của Tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy hai điểm $A$ và $B$ trên mặt đất có khoảng cách $AB = 12 m$ cùng thẳng hàng với chân $C$ của tháp để đặt hai giác kế (hình bên). Chân của giác kế có chiều cao $h = 1,3m$. Gọi $D$ là đỉnh tháp và hai điểm $A_{1}, B_{1}$ cùng thẳng hàng với $C_{1}$ thuộc chiều cao $CD$ của tháp. Người ta đo được $\widehat{DA_{1}C_{1}}=49^{\circ}$ và$\widehat{DB_{1}C_{1}}=35^{\circ}$. Tính chiều cao $CD$ của tháp đó.

Bài giải:

Ta có: $A_{1}B_{1} = AB = 12 m$

Xét $ΔDC_{1}A_{1}$ có: $C_{1}A_{1} = C_{1}D.\cot 49^{\circ}$

Xét $ΔDC_{1}B_{1}$ có: $C_{1}B_{1} = C_{1}D.\cot 35^{\circ}$

Mà $A_{1}B_{1} = C_{1}B_{1} – C_{1}A_{1} = C_{1}D.\cot 35^{\circ} – C_{1}D.\cot 49^{\circ}$

⇒ $A_{1}B_{1} = C_{1}D.( \cot 35^{\circ} – \cot 49^{\circ})$

⇒ $C_{1}D=\frac{A_{1}B_{1}}{\cot 35^{\circ} – \cot 49^{\circ}}\approx 21,47 (m)$

⇒ Chiều cao $CD$ của tháp là:

$CD = 1,3 + 21,47 = 22,77 m$

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 45 46 sgk Hình học 10

Bài tiếp theo:

Ôn tập chương II: Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 trang 62 sgk Hình học 10

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 10 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 trang 59 60 sgk Hình học 10!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“