Ôn tập chương II: Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 trang 62 sgk Hình học 10

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài Ôn tập Chương II. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng, sách giáo khoa Hình học 10. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 trang 62 sgk Hình học 10 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 10.

Lý thuyết

1. §1. Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 độ đến 180 độ

2. §2. Tích vô hướng của hai vectơ

3. §3. Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 trang 62 sgk Hình học 10. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Câu hỏi và bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 10 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 trang 62 sgk Hình học 10 của Bài Ôn tập Chương II. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 trang 62 sgk Hình học 10

1. Giải bài 1 trang 62 sgk Hình học 10

Hãy nhắc lại định nghĩa giá trị lượng giác của một góc $\alpha $ với $0^{\circ}\leq \alpha \leq 180^{\circ}$. Tại sao khi $\alpha $ là các góc nhọn thì giá trị lượng giác này lại chính là các tỉ số lượng giác đã được học ở lớp 9?

Trả lời:

– Với mỗi góc $α$ $(0^0≤ α ≤ 180^0)$ ta xác định một điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc $xOM = α$ và giả sử điểm $M$ có tọa độ $M (x_0;y_0)$.

♦ Khi đó ta có định nghĩa:

Sin của góc $α$ là $y_0$, kí hiệu là $\sin α = y_0$

cosin của góc $α$ là $x_0$_,kí hiệu là $\cos α = x_0$

tang của góc $α$ là $( x_0≠ 0)$, ký hiệu $\tan α = {{{y_0}} \over {{x_0}}}$

cotang cuả góc $α$ là $(y_0≠ 0)$, ký hiệu $\cot α = {{{x_0}} \over {{y_0}}}$

Các số $\sin α, \cos α, \tan α, \cot α$ được gọi là các giá trị lượng giác của góc $ α$.

♦ Khi $α$ là các góc nhọn thì:

– Theo định nghĩa ta có: $\sin α = y_0$

Trong tam giác $OAM$ vuông tại $A$, ta có: $\sin \alpha = {{{y_0}} \over 1} = {y_0}$

– Theo định nghĩa ta có: $\cos α = x_0$

Trong tam giác $OAM$ vuông tại $A$, ta có: $\cos \alpha = {{OA} \over {OM}} = {{{x_0}} \over 1} = {x_0}$

– Theo định nghĩa ta có: $\tan \alpha = {{{y_0}} \over {{x_0}}}({x_0} \ne 0)$

Trong tam giác $OAM$ vuông tại $A$, ta có: $\tan \alpha = {{AM} \over {OA}} = {{{y_0}} \over {{x_0}}}$

– Theo định nghĩa ta có: $\cot \alpha = {{{x_0}} \over {{y_0}}}({y_0} \ne 0)$

Trong tam giác $OAM$ vuông tại $A$, ta có: $\cot \alpha = {{OA} \over {AM}} = {{{x_0}} \over {{y_0}}}$

2. Giải bài 2 trang 62 sgk Hình học 10

Tại sao hai góc bù nhau lại có sin bằng nhau và cosin đối nhau?

Trả lời:

Gọi $M(x_0; \, y_0)$ nằm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat {xOM} = \alpha .$

Khi đó điểm $M’(-x_0; \, y_0)$ trên nửa đường tròn đơn vị có $\widehat {xOM’} = {180^0} – \alpha $ tức là $\widehat {xOM’}$ là góc bù với $\widehat {xOM}=\alpha.$

Do đó: $\sin \alpha = {y_0} = \sin \left( {180 – \alpha } \right),$ $\cos \alpha = {x_0} = – \left( { – {x_0}} \right)$$ = – \cos \left( {{{180}^0} – \alpha } \right).$

3. Giải bài 3 trang 62 sgk Hình học 10

Nhắc lại định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $. Tích vô hướng này với |$\overrightarrow a $ | và |$\overrightarrow b $ | không đổi đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất khi nào?

Trả lời:

Theo định nghĩa ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |.cos(\overrightarrow a ,\overrightarrow b )$

Vì $|cos(\overrightarrow a ,\overrightarrow b )| \le 1$ nên:

♦ $\overrightarrow a .\overrightarrow b $ đạt giá trị lớn nhất $|\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |$ khi:

$\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = 1 \Rightarrow (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {0^0}$

tức là $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ cùng hướng.

♦ $\overrightarrow a .\overrightarrow b $ đạt giá trị nhỏ nhất $|\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |$ khi:

$⇒ \cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = – 1 \Rightarrow (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {180^0}$ và $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ ngược hướng.

4. Giải bài 4 trang 62 sgk Hình học 10

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho vectơ $\overrightarrow a = ( – 3;1)$ và vectơ $\overrightarrow b = (2;2)$. Hãy tính tích vô hướng $\overrightarrow a .\overrightarrow b .$

Bài giải:

Với $\overrightarrow a = ({a_1};{a_2});\overrightarrow b = ({b_1};{b_2})$$ \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}$

Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = ( – 3).2 + 1.2 = – 6 + 2 = – 4.$

5. Giải bài 5 trang 62 sgk Hình học 10

Hãy nhắc lại định lí cosin trong tam giác. Từ các hệ thức này hãy tính $\cos A, \cos B , \cos C$ theo các cạnh của tam giác.

Trả lời:

Định lí cosin: Trong tam giác $ABC$ ta có:

$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc.{\mathop{\rm cosA}\nolimits}\cr& \Rightarrow \cos A = {{{b^2} + {c^2} – {a^2}} \over {2bc}} \cr
& {b^2} = {c^2} + {a^2} – 2ca.{\mathop{\rm cosB}\nolimits}\cr& \Rightarrow {\mathop{\rm cosB}\nolimits} = {{{c^2} + {a^2} – {b^2}} \over {2ca}} \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} – 2ab.{\mathop{\rm cosC}\nolimits}\cr& \Rightarrow {\mathop{\rm cosC}\nolimits} = {{{a^2} + {b^2} – {c^2}} \over {2ab}} \cr} $

6. Giải bài 6 trang 62 sgk Hình học 10

Từ hệ thức ${a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc.\cos A$ trong tam giác, hãy suy ra định lí Py-ta-go.

Bài giải:

Ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc.cosA$

Khi góc $A = 90^0$, suy ra $\cos A = 0$

Do đó ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ (định lí Py-ta-go).

7. Giải bài 7 trang 62 sgk Hình học 10

Chứng minh rằng với mọi tam giác $ABC$, ta có $a = 2R\sin A; b = 2R\sin B ; $$c = 2R\sin C$, trong đó $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Bài giải:

Ta sử dụng định lí sin: ${a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} = 2R$

Từ đó suy ra: $a = 2R\sin A; b = 2R\sin B; $$c = 2R\sin C$

8. Giải bài 8 trang 62 sgk Hình học 10

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

a) Góc $A$ nhọn khi và chỉ khi ${a^2} < {b^2} + {c^2}$

b) Góc $A$ tù khi và chỉ khi ${a^2} > {b^2} + {c^2}$

c) Góc $A$ vuông khi và chỉ khi ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

Bài giải:

Theo hệ quả định lí cosin: ${\mathop{\rm cosA}\nolimits} = {{{b^2} + {c^2} – {a^2}} \over {2bc}}$. Khi đó:

a) ${a^2} < {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} – {a^2} > 0$$ \Leftrightarrow \cos A > 0$

Mặt khác theo định nghĩa cosin ta thấy $\cos A > 0$ khi và chỉ khi $A$ là góc nhọn.

Vậy góc $A$ nhọn khi và chỉ khi ${a^2} < {b^2} + {c^2}$

b) ${a^2} > {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} – {a^2} < 0 $$\Leftrightarrow \cos A < 0$

Mặt khác theo định nghĩa cosin ta thấy $\cos A < 0$ khi và chỉ khi $A$ là góc tù.

Vậy góc $A$ tù khi và chỉ khi ${a^2} > {b^2} + {c^2}$

c) Theo định lí Py-ta-go thì: ${a^2} = {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow $ góc $A$ là góc vuông.

9. Giải bài 9 trang 62 sgk Hình học 10

Cho tam giác $ABC$ có góc $A = 60^0, BC = 6$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Bài giải:

Sử dụng định lí sin, ta có:

${{BC} \over {\sin A}} = 2R$

$\Rightarrow R = {{BC} \over {2\sin A}} = {6 \over {2.\sin {{60}^0}}} = {6 \over {\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 $

10. Giải bài 10 trang 62 sgk Hình học 10

Cho tam giác $ABC$ có $a = 12, b = 16, c = 20$. Tính diện tích $S$ tam giác, chiều cao $h_a$, các bán kính $R, r$ của các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và đường trung tuyến $m_a$ của tam giác.

Bài giải:

– Tính diện tích: Sử dụng công thức Hê-rông với:

$\eqalign{
& p = {{12 + 16 + 20} \over 2} = 24 \cr
& S = \sqrt {24(24 – 12)(24 – 16)(24 – 20)} \cr&\;\;\;= \sqrt {24.12.8.4} = 96(dvdt) \cr} $

– Tính $h_a$: Ta có:

$\eqalign{
& S = {1 \over 2}a{h_a} \Leftrightarrow 96 = {1 \over 2}12.{h_a} \cr& \Leftrightarrow 96 = 6.{h_a} \cr
& \Leftrightarrow {h_a} = {{96} \over 6} = 16 \cr} $

– Tính $R$:

Ta có: $S = {{abc} \over {4R}} \Leftrightarrow R = {{abc} \over {4S}} = {{12.16.20} \over {4.96}} = 10$

– Tính $r$:

Ta có: $S = p.r \Leftrightarrow r = {S \over p} = {{96} \over {24}} = 4$

– Tính $m_a$. Ta có:

$\eqalign{
& {m_a}^2 = {{2({b^2} + {c^2}) – {a^2}} \over 4} \cr&\;\;\;\;\;\;\;= {{2({{16}^2} + {{20}^2}) – {{12}^2}} \over 4} = 292 \cr
& \Leftrightarrow {m_a}^2 = \sqrt {292} \approx 17,09 \cr} $

11. Giải bài 11 trang 62 sgk Hình học 10

Trong tập hợp các tam giác có hai cạnh là $a$ và $b$. Tìm tam giác có diện tích lớn nhất.

Bài giải:

Theo công thức tínhg diện tích tam giác, ta có: $S = {1 \over 2}ab\sin C$

Vì $a, b$ không đổi nên diện tích $S$ lớn nhất khi $\sin C$ lớn nhất và vì $-1 ≤ \sin C ≤ 1$ nên $\sin C$ lớn nhất khi $\sin C = 1 ⇒$ $\widehat C = 90^0$.

Vậy trong tập hợp các tam giác có hai cạnh $a$ và $b$ thì tam giác vuông đỉnh $C$ có diện tích lớn nhất.

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 trang 59 60 sgk Hình học 10

Bài tiếp theo:

Ôn tập chương II: Trả lời câu hỏi trắc nghiệm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 trang 63 64 65 66 67 sgk Hình học 10

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 10 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 trang 62 sgk Hình học 10!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“