Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 45 46 sgk Hình học 10

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §2. Tích vô hướng của hai vectơ, Chương II. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng, sách giáo khoa Hình học 10. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 45 46 sgk Hình học 10 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 10.

Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác vectơ $\vec{0}$. Tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số được ký hiệu là $\vec{a}$.$\vec{b}$, được xác định bởi công thức sau:

$\vec{a} .\vec{b} = |\vec{a}|.|\vec{b}|cos(\vec{a}, \vec{b})$

2. Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng :

Với ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ bất kì và mọi số $k$ ta có :

$\vec{a}$ .$\vec{b}$ = $\vec{b}$.$\vec{a}$ (tính chất giao hoán)

$\vec{a}$.( $\vec{b}$ + $\vec{c}$) = $\vec{a}$. $\vec{b}$ + $\vec{a}$. $\vec{c}$ ( tính chất phân phối)

$(k.\vec{a}$).$\vec{b}$ = $k(\vec{a}$, $\vec{b}$) = $\vec{a}$$.(k\vec{b}$)

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ $(0; \vec{i}; \vec{j})$, cho hai vec tơ $\overrightarrow a =({a_1};{a_2})$, $\overrightarrow b = ({b_1};{b_2})$. Khi đó tích vô hướng $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}$

Nhận xét:

Hai vectơ $\overrightarrow a =({a_1};{a_2})$, $\overrightarrow b = ({b_1};{b_2})$ khác vectơ $\vec{0}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

$${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0$$

4. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ: Độ dài của vec tơ $\overrightarrow a =({a_1};{a_2})$ được tính theo công thức:$\vec{a} = \sqrt{a_{1}^{2}+ {a_{2}}^{2}}$

b) Góc giữa hai vectơ: Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vec tơ ta suy ra nếu $\overrightarrow a =({a_1};{a_2})$, $\overrightarrow b = ({b_1};{b_2})$ khác vectơ $\vec{0}$ thì ta có:

$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a|.|\vec{b}}|} = \frac{{a_{1}.b_{1}+ a_{2}.b_{2}}}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}}.\sqrt{{b_{1}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}$

c) Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm $A({x_A};{y_A}),B({x_B};{y_B})$ được tính theo công thức :

$AB = \sqrt{({x_{B}-x _{A}})^{2}+({y_{B}-y_{A})}^{2}}$

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong mục hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 10.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 42 sgk Hình học 10

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$. Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ đó là số dương ? Là số âm ? Bằng 0 ?

Trả lời:

Tích vô hướng của hai vectơ là số dương khi góc giữa hai vectơ nhỏ hơn 90^o.

Tích vô hướng của hai vectơ là số âm khi góc giữa hai vectơ lớn hơn 90^o.

Tích vô hướng của hai vectơ bằng 0 khi góc giữa hai vectơ bằng 90^o.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 44 sgk Hình học 10

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A(2; 4), B(1; 2), C(6; 2)$. Chứng minh $\vec{AB}$ ⊥ $\vec{AC}$.

Trả lời:

Ta có:

$\vec{AB}$ $= (-1; -2)$

$\vec{AC}$ $= (4; -2)$

⇒$\vec{AB}$.$\vec{AC}$ $= (-1).4 + (-2).(-2) = -4 + 4 = 0$

⇒$\vec{AB}$ ⊥ $\vec{AC}$.

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 45 46 sgk Hình học 10. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 10 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 45 46 sgk Hình học 10 của Bài §2. Tích vô hướng của hai vectơ trong Chương II. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 45 46 sgk Hình học 10

1. Giải bài 1 trang 45 sgk Hình học 10

Cho tam giác vuông cân $ABC$ có $AB = AC = a$. Tính các tích vô hướng:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}$

Bài giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left | AB \right |.\left | AC \right |\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$

⇔ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=a.a.\cos 90^{\circ}=0$

⇒ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$

Tương tự: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=\left | AC \right |.\left | CB \right |.\cos (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB})$

⇒ $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=a.a\sqrt{2}.\cos 135^{\circ}=-a^{2}$

2. Giải bài 2 trang 45 sgk Hình học 10

Cho ba điểm $O, A, B$ thẳng hàng và biết $OA = a, OB = b$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$ trong hai trường hợp:

a) Điểm $O$ nằm ngoài đoạn $AB$.

b) Điểm $O$ nằm trong đoạn $AB$.

Bài giải:

a) Ta có:

$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\left |\overrightarrow{OA} \right |.\left | \overrightarrow{OB} \right |\cos 0^{\circ}$

⇒ $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=a.b$

b) Ta có: $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ ngược hướng

⇒ $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=180^{\circ}$

⇒ $\cos (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=-1$

⇒ $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=-a.b$

3. Giải bài 3 trang 45 sgk Hình học 10

Cho nửa hình tròn tâm $O$ có đường kính $AB = 2R$. Gọi $M$ và $N$ là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $I$.

a) Chứng minh: $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BI}. \overrightarrow{BA}$.

b) Hãy dùng kết quả câu a) để tính $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BI}. \overrightarrow{BN}$ theo R.

Bài giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AI}. (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM})$

⇔ $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BM}$

Mà $AI\perp MB$ ⇒ $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{MB}=0 $

⇒ $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AB}$ ( đpcm )

Tương tự, ta có:

$\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BI}.(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN})$

⇔ $\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AN}$

Mà $BI\perp AN$ ⇒ $\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AN}=0 $

⇒ $\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BI}. \overrightarrow{BA}$. (đpcm )

b) Ta có:

$\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}$

⇔ $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB^{2}}$

⇒ $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=AB^{2}=4R^{2}$

4. Giải bài 4 trang 45 sgk Hình học 10

Trên mặt phẳng $Oxy$, cho hai điểm $A(1; 3), B(1; 2)$.

a) Tìm tọa độ điểm $D$ nằm trên trục $Ox$ sao cho $DA = DB$.

b) Tính chu vi tam giác $OAB.$

c) Chứng tỏ $OA$ vuông góc với $AB$ và từ đó tính diện tích tam giác $OAB$.

Bài giải:

a) Gọi tọa độ $D(x; 0).$

Ta có: $DA=\sqrt{(1-x)^{2}+3^{2}}=\sqrt{x^{2}-2x+10}$

$DB=\sqrt{(4-x)^{2}+2^{2}}=\sqrt{x^{2}-8x+20}$

Mà $DA=DB$ ⇒ $\sqrt{x^{2}-2x+10}=\sqrt{x^{2}-8x+20}$

⇔ $6x=10 ⇒ x=\frac{5}{3}$

⇒ $D(\frac{5}{3};0)$

b) Ta có:

$OA^{2} = 1^{2} + 3^{2} = 10$

⇒ $OA = \sqrt{10}$

$AB^{2} = 3^{2} + (-1)^{2} = 10$

⇒ $AB = \sqrt{10}$

$OB^{2} = 4^{2} + 2^{2} = 20$

⇒ $OB =\sqrt{2}.\sqrt{5}$

Vậy chu vi tam giác $OAB$ là: $\sqrt {10} + 2\sqrt 5 + \sqrt {10}= 2\sqrt {10} + 2\sqrt 5. $

c) Ta có: $OA^{2} + AB^{2} = 20 = OB^{2}$

⇒ $ΔOAB$ vuông tại $A ⇒ OA ⊥ AB$

Diện tích $ΔOAB$ là:

$\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}\sqrt{10}\sqrt{10}=5 (Đvdt) $

5. Giải bài 5 trang 46 sgk Hình học 10

Trên mặt phẳng $Oxy$ hãy tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ trong các trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{a}=(2;-3)$ và $\overrightarrow{b}=(6;4)$

b) $\overrightarrow{a}=(3;2)$ và $\overrightarrow{a}=(5;-1)$

c) $\overrightarrow{a}=(-2;-2\sqrt{3})$ và $\overrightarrow{a}=(3;\sqrt{3})$

Bài giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.6+(-3).4=0$

⇒ $\cos (\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=0$

⇒ $(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=90^{\circ}$

b) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=13$

⇒ $\left | \overrightarrow{a} \right |=\sqrt{13}$

$\left | \overrightarrow{b} \right |=\sqrt{26}$

⇒ $\cos (\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

⇒ $(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=45^{\circ}$

c) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-12$

⇒ $\left | \overrightarrow{a} \right |=\sqrt{16}$

$\left | \overrightarrow{b} \right |=2\sqrt{3}$

⇒ $\cos (\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=\frac{-\sqrt{3}}{2}$

⇒ $(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=150^{\circ}$

6. Giải bài 6 trang 46 sgk Hình học 10

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho bốn điểm: $A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; –2)$. Chứng minh rằng tứ giác $ABCD $ là hình vuông.

Bài giải:

Ta có: $\overrightarrow{DC}=(1;7)$

$\overrightarrow{AB}=(1;7)$

⇒ $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$

⇒ $\left\{\begin{matrix}DC=AB & \\ DC//AB & \end{matrix}\right.$

⇒ $ABCD$ là hình bình hành.

Mặt khác: $\overrightarrow{AB}=(1;7)$

$\overrightarrow{AD}=(-7;1)$

⇒ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$

⇒ $AB\perp AD$

⇒ $\widehat{BAD}=90^{\circ}$

⇒ $ABCD$ là hình chữ nhật.

Mặt khác: $\left | \overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{1^{2}+7^{2}}=\sqrt{50}$

$\left | \overrightarrow{AD} \right |=\sqrt{(-7)^{2}+1^{2}}=\sqrt{50}$

⇒ $AB = AD$

⇒ $ABCD$ là hình vuông (vì hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau) (đpcm).

7. Giải bài 7 trang 46 sgk Hình học 10

Trên mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $A(-2; 1)$. Gọi $B$ là điểm đối xứng với điểm $A$ qua gốc tọa độ $O$. Tìm tọa độ của điểm $C$ có tung độ bằng $2$ sao cho tam giác vuông ở $C$.

Bài giải:

Vì $B$ đối xứng với $A(-2; 1)$ qua $O$ nên ta có: $B(2; -1)$

Gọi tọa độ $C(x; 2).$

Mà $\overrightarrow{CA}=(-2-x;-1)$

$\overrightarrow{CB}=(2-x;-3)$

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $C$

⇒ $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0$

⇔ $-(2 + x)(2 – x) + 3 = 0$

⇔ $ -4 + x^{2} + 3 = 0$

⇔ $x^{2} = 1 ⇒ x = ±1$

Vậy $C(1; 2)$ hoặc $C(-1; 2)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 40 sgk Hình học 10

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 trang 59 60 sgk Hình học 10

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 10 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 45 46 sgk Hình học 10!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“