Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 12 sgk Hình học 10

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §2. Tổng và hiệu của hai vectơ, Chương I. Vectơ, sách giáo khoa Hình học 10. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 12 sgk Hình học 10 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 10.

Lý thuyết

1. Tổng của hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$. Lấy một điểm A nào đó, rồi xác định điểm B và C sao cho $\vec {AB}=\vec {a}$; $\vec {BC}=\vec {b}$. Khi đó $\vec {AC}$ là tổng của hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$.

Ta viết: $\vec {AC}=\vec{a}+\vec{b}$

2. Tính chất của phép cộng vectơ

Tính chất giao hoán: $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$

Tính chất kết hợp: $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$

Tính chất vectơ-không: $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$

3. Quy tắc hình bình hành

a) Quy tắc ba điểm

Với ba điểm A, B, C bất ki, ta luôn có: $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$

b) Quy tắc hình bình hành

Cho ABCD là hình bình hành, ta luôn có: $\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}$

Chú ý:

Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\vec{MA}+\vec{MB}=\vec{0}$

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$

4. Vectơ đối của một vectơ

Nếu tổng của hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ là vectơ không, thì ta nói vectơ $\vec a$ là vectơ đối của vectơ $\vec b$, hoặc ngược lại vectơ $\vec b$ là vectơ đối của vectơ $\vec a$

Vectơ đối của vectơ $\vec a$ là vectơ ngược hướng với vectơ $\vec a$ và có cùng độ lớn với vectơ $\vec a$.

Vectơ đối của vectơ không cũng là chính nó

5. Hiệu của hai vectơ

Ta có: $\vec{a}-\vec{b}$ = $\vec{a}+ (-\vec{b})$

Dưới đây là phần trả lời các câu hỏi và bài tập trong mục hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 10.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 9 sgk Hình học 10

Hãy kiểm tra các tính chất của phép cộng trên hình 1.8.

Trả lời:

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 10 sgk Hình học 10

Vẽ hình bình hành $ABCD$. Hãy nhận xét về độ dài và hướng của hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$.

Trả lời:

Ta vẽ hình bình hành $ABCD$ như sau:

Nhận xét:

Về độ dài: hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ có cùng độ dài.

Về hướng: hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ có hướng ngược nhau.

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 10 sgk Hình học 10

Cho $\vec{AB}$ +$\vec{BC}$ = $\vec{0}$. Hãy chứng tỏ $\vec{BC}$ là vectơ đối của $\vec{AB}$.

Trả lời:

Ta có:

$\eqalign{
& \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} – \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 – \overrightarrow {BC} \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = – \overrightarrow {BC} \cr} $

Vậy vectơ BC là tia đối của vectơ AB

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 11 sgk Hình học 10

Hãy giải thích vì sao hiệu của hai vectơ $\vec{OB}$ và $\vec{OA}$ là vectơ $\vec{AB}$.

Trả lời:

Ta có:

$\overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {AO} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AB} $ (đpcm)

Dưới đây là giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 12 sgk Hình học 10. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 10 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 12 sgk Hình học 10 của Bài §2. Tổng và hiệu của hai vectơ trong Chương I. Vectơ cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 12 sgk Hình học 10

1. Giải bài 1 trang 12 sgk Hình học 10

Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho $AM > MB$. Vẽ các vec tơ $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MA} -\overrightarrow{MB}$.

Bài giải:

Trên đoạn MA, lấy điểm C sao cho: $\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{MB}$

⇒ $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{AC}$

⇔ $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}$

Tương tự: $\overrightarrow{MA} -\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+(-\overrightarrow{MB})$

⇔ $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}$.

2. Giải bài 2 trang 12 sgk Hình học 10

Cho hình bình hành $ABCD$ và điểm $M$ tùy ý. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$

Bài giải:

Vì $ABCD$ là hình bình hành ⇒ $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{DC}$

⇒ $\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$

Mặt khác: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA}) + (\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC})$

⇔ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DC}$

⇔ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}$ (đpcm)

3. Giải bài 3 trang 12 sgk Hình học 10

Chứng minh rằng đối với tứ giác $ABCD$ bất kỳ ta luôn có:

a) $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$

b) $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$

Bài giải:

Ta có:

a) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}$

= $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA})$

= $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}$ (đpcm)

b) $\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DB}$

$\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DB}$

⇒ $\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD}$ (đpcm)

4. Giải bài 4 trang 12 sgk Hình học 10

Cho tam giác $ABC$. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành: $ABIJ, BCPQ, CARS.$

Chứng minh rằng: $\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS} = \overrightarrow{0}$

Bài giải:

Ta có: $\overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{BI} = -\overrightarrow{IB}$

$\overrightarrow{CS} = -\overrightarrow{RA}$

$\overrightarrow{PC} = -\overrightarrow{BQ}$

⇒ $\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS}$

= $(\overrightarrow{RA} + \overrightarrow{AJ}) + (\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BQ})(\overrightarrow{PC} +\overrightarrow{CS})$

= $(\overrightarrow{RA} + \overrightarrow{-IB}) + (\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{-PC}) + (\overrightarrow{PC} + \overrightarrow{-RA})$

= $(\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{-IB}) + (\overrightarrow{PC} + \overrightarrow{-PC}) + (\overrightarrow{RA} + \overrightarrow{-RA}) = \overrightarrow{0}$ (đpcm)

5. Giải bài 5 trang 12 sgk Hình học 10

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh bằng $a$. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{BC}$.

Bài giải:

Ta có : $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

⇒ $\left |\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} \right |=AC=a$

Kẻ $\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{BC}$

⇒ $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$

Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Mà $ABCD$ là hình thoi ⇒ $I$ là trung điểm $BD$ và vuông tại $I$.

⇒ $BI=AB\sin A = a\sin 60^{\circ} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

⇒ $BD = 2BI = a\sqrt{3}$

⇒$\left |\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{BC} \right | = a\sqrt{3}$.

6. Giải bài 6 trang 12 sgk Hình học 10

Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $O$. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DB}$

c) $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$

d) $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$

Bài giải:

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:

a) $\overrightarrow{CO} – \overrightarrow{OB}$ = $\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OD}$

= $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$ (đpcm)

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$ = $\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{BC})$

= $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}$ = $\overrightarrow{DB}$ (đpcm)

c) Ta có: $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BA}$

$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CD}$

Mà $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$

⇒ $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$ (đpcm)

d) $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}$

= $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}$ = $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$ (đpcm)

7. Giải bài 7 trang 12 sgk Hình học 10

Cho vectơ $a, b$ là hai vectơ khác vectơ $0$. Khi nào có đẳng thức:

a) $\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |=\left | \overrightarrow{a} \right |+\left | \overrightarrow{b} \right |$

b) $\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |=\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |$

Bài giải:

a) Xét: $\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |$ + $\left | \overrightarrow{b} \right |$

Giả sử hình bình hành $ABCD$ có các kích thước $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} = \overrightarrow a ,\;\;\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} = \overrightarrow b .$

Khi đó ta có: $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} $$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC.$

Lại có: $\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| = a + b = AB + BC.$

$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|$$ \Leftrightarrow AC = AB + BC$

$ \Leftrightarrow A, \, \, B,\, \, C$ thẳng hàng và $B$ nằm giữa $A, \, \, C$ hay $\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b $ cùng hướng.

Vậy $\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |+ \left | \overrightarrow{b} \right |$ khi hai vectơ $\overrightarrow{a}, \, \, \overrightarrow{b}$ cùng hướng.

b) Xét $\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |= \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |.$

Tương tự câu a) ta có: $ \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC.$

Ta có: $\overrightarrow a – \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} $ $ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB.$

$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right| $$\Leftrightarrow AC = DB.$

Khi đó hình bình hành $ABCD$ là hình chữ nhật $\Rightarrow AD \perp AB$ hay $\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}.$

8. Giải bài 8 trang 12 sgk Hình học 10

Cho $\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |= \overrightarrow{0}$.

So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ $a$ và $b$.

Bài giải:

Theo bài ra: $\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |= \overrightarrow{0}$

⇒ $\overrightarrow{a} = -\overrightarrow{b}$

⇒ Hai vec tơ cùng phương, cùng độ lớn và ngược chiều.

9. Giải bài 9 trang 12 sgk Hình học 10

Chứng minh rằng : $\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{CD}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng $AD $ và $BC$ trùng nhau.

Bài giải:

Nếu $\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{CD}$

⇒ $AB // CD, AB = CD$

⇒ $ABCD$ là hình bình hành.

Khi đó $AD$ và $BC$ có trung điểm trùng nhau.

Mặt khác: Nếu trung điểm $AD$ và $BC$ trùng nhau

⇒ Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

⇒ $\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{CD}$ (đpcm )

10. Giải bài 10 trang 12 sgk Hình học 10

Cho ba lực $\overrightarrow{F_{1}} =\overrightarrow{MA}$ ; $\overrightarrow{F_{2}} =\overrightarrow{MB}$ , $\overrightarrow{F_{3}} =\overrightarrow{BC}$ cùng tác động

vào một vật tại điểm $M$ và vật đứng yên. Cho biết cường độ của hai lực $F_{1}, F_{2}$ đều là 100N và $\widehat{AMB}=60^{\circ}$.

Tìm cường độ và hướng của lực $F_{3}$.

Bài giải:

Theo bài ra: $MA = MB = 100N$

$\widehat{AMB} = 60^{\circ}$

⇒ $\triangle AMB$ là tam giác đều.

⇒ $MH = \frac{MA\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3}(N)$

Vì $AMBC$ là hình thoi ⇒ $MC = 2MH$.

⇒ $MC = 100\sqrt{3}(N)=F_{3}$

Vậy $F_{3}=100\sqrt{3}(N)$ và có hướng là tia phân giác của $\widehat{AMB}$.

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 trang 7 sgk Hình học 10

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 trang 17 sgk Hình học 10

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 10 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 12 sgk Hình học 10!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“