Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 trang 17 sgk Hình học 10

Hướng dẫn giải Bài §3. Tích của vectơ với một số, Chương I. Vectơ, sách giáo khoa Hình học 10. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 trang 17 sgk Hình học 10 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 10.


Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho một số \(k \ne 0\) và vectơ \(\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}\).

Tích của một số k với vectơ \(\overrightarrow{a}\) là một vectơ , kí hiệu là \(k\overrightarrow{a}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k > 0\), ngược hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k< 0\) và có độ dài bằng \(|k|.\left | \overrightarrow{a} \right |\)

2. Tính chất

a) Phân phối với phép cộng vectơ:

\(k (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) = k \overrightarrow{a}+ k\overrightarrow{b}\)

b) Phân phối với phép cộng các số:

\((h+k)\overrightarrow{a} = h \overrightarrow{a} +k\overrightarrow{a}\)

c) Kết hợp:

\(h(k\overrightarrow{a}) = (h.k)\overrightarrow{a}\)

d) \(1. \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a}\)

\((-1)\overrightarrow{a}= -\overrightarrow{a}\)

3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

a) Nếu \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) thì với mọi điểm \(M\) ta có

\(\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}\).

b) Nếu \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) thi mọi điểm \(M\) ta có

\(\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}= 3\overrightarrow{MG}\).

4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ cùng phương là có một số \(k\) để \(\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}\).

5. Phân tích một vectơ thành hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương. Khi đó một vectơ \(\overrightarrow{x}\) đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) nghĩa là có duy nhất một cặp số \(h, k\) sao cho \(\overrightarrow{x}= h\overrightarrow{a}+ k\overrightarrow{b}\).

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong mục hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 10.


Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 14 sgk Hình học 10

Cho vectơ \(\vec{a}\) ≠ \(\vec{0}\). Xác định độ dài và hướng của vectơ \(\vec{a}\) + \(\vec{a}\).

Trả lời:

Ta có: \(\vec{a}\) + \(\vec{a}\) = 2\(\vec{a}\)

Độ dài của vectơ \(\vec{a}\) + \(\vec{a}\) bằng 2 lần độ dài của vectơ \(\vec{a}\)

Hướng của vectơ \(\vec{a}\) + \(\vec{a}\) cùng hướng với vectơ \(\vec{a}\)


2. Trả lời câu hỏi 2 trang 14 sgk Hình học 10

Tìm vectơ đối của các vectơ k\(\vec{a}\) và 3\(\vec{a}\) – 4\(\vec{b}\).

Trả lời:

Vectơ đối của các vectơ k\(\vec{a}\) là vectơ -k\(\vec{a}\)

Vectơ đối của các vectơ 3\(\vec{a}\) – 4\(\vec{b}\) là vecto -3\(\vec{a}\) + 4\(\vec{b}\)


3. Trả lời câu hỏi 3 trang 15 sgk Hình học 10

Hãy sử dụng mục 5 của §2 để chứng minh các khẳng định trên.

Mục 5:

Khẳng định:

Trả lời:

a) Với điểm M bất kì, ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} \cr
& = 2\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} \cr} \)

Do \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên: \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)

Do đó:

\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MI} \)

b) Với điểm M bất kỳ, ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} \cr
& = 3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} \cr} \)

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)

Do đó:\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 trang 17 sgk Hình học 10. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!


Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 10 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 trang 17 sgk Hình học 10 của Bài §3. Tích của vectơ với một số trong Chương I. Vectơ cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 trang 17 sgk Hình học 10
Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 trang 17 sgk Hình học 10

1. Giải bài 1 trang 17 sgk Hình học 10

Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng:

\(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{AC}\) + \(\overrightarrow{AD}\)= 2\(\overrightarrow{AC}\).

Bài giải:

Ta có:

\(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{AC}\) + \(\overrightarrow{AD}\)= \(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{AD}\)+ \(\overrightarrow{AC}\)

ABCD là hình bình hành nên

\(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{AD}\) = \(\overrightarrow{AC}\) (quy tắc hình bình hành của tổng)

⇒ \(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{AC}\) + \(\overrightarrow{AD}\)= \(\overrightarrow{AC}\) +\(\overrightarrow{AC}\) =2\(\overrightarrow{AC}\)


2. Giải bài 2 trang 17 sgk Hình học 10

Cho $AK$ và $BM$ là hai trung tuyến của tam giác $ABC$. Hãy phân tích các vectơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{v}= \overrightarrow{AC}$

Bài giải:

Vì AK là trung tuyến của ΔABC nên K là trung điểm của BC.

⇒ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AK}$ (1)

Vì BM là trung tuyến của ΔABC nên M là trung điểm của AC.

⇒ $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BM}$ (2)

Từ (1),(2) ⇒ $2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = 2(\overrightarrow{AK} – \overrightarrow{BM})$

⇔ $2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} = 2(\overrightarrow{AK} – \overrightarrow{BM})$

⇔ $3\overrightarrow{AB} = 2(\overrightarrow{AK} – \overrightarrow{BM})$

⇔ $3\overrightarrow{AB} = 2(\overrightarrow{u} – \overrightarrow{v})$

⇔ $\overrightarrow{AB} = \frac{2}{3} (\overrightarrow{u} – \overrightarrow{v})$

Tương tự: $\overrightarrow{BC} = \frac{2}{3} \overrightarrow{u} – \frac{4}{3}\overrightarrow{v}$

$\overrightarrow{CA} = -\frac{2}{3} (2\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})$


3. Giải bài 3 trang 17 sgk Hình học 10

Trên đường thẳng chứa cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ lấy điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}$.

Hãy phân tích vec tơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vec tơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{v}= \overrightarrow{AC}$.

Bài giải:

Ta có: $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}$

Theo bài ra: $\overrightarrow{MB} = 3\overrightarrow{MC}$

⇔ 2$\overrightarrow{BM} = 3(\overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AB})$

⇔ $\overrightarrow{BM} = \frac{3}{2} (\overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AB})$

⇒ $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AC} – \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{-1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$

⇒ $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{-u} + 3\overrightarrow{v})$


4. Giải bài 4 trang 17 sgk Hình học 10

Gọi $AM$ là trung tuyến của tam giác $ABC$ và $D$ là trung điểm của đoạn $AM$.

Chứng minh rằng:

a) $2\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DB}+ \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$

b) $2\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OD}$

Bài giải:

a) Gọi $D$ là trung điểm của AM.

$M$ là trung điểm của $BC.$

⇒ $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AD}$ (1)

$\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=2 \overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AM}$ (2)

$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2 \overrightarrow{OM}$ (3)

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}=2 \overrightarrow{OD}$ (4)

Từ (1), (2) ⇒ $2\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{-AM}+ \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{0}$ (đpcm )

b) Từ (3), (4) ⇒ $2\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}=2(\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OM})$

⇔ $2\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}=2(2 \overrightarrow{OD}) = 4\overrightarrow{OD}$ (đpcm)


5. Giải bài 5 trang 17 sgk Hình học 10

Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD.

Chứng minh rằng: $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$

Bài giải:

Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}$

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+ \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}$

Mặt khác: $\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{MB}$

$\overrightarrow{DN}=-\overrightarrow{CN}$

⇒ $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DN}$

⇒ $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$

$2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$

⇒ $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$ (đpcm)


6. Giải bài 6 trang 17 sgk Hình học 10

Cho hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Tìm điểm $K$ sao cho: $3\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}$

Bài giải:

Theo bài ra: $3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$

⇔ $3\overrightarrow{KA}=-2\overrightarrow{KB}$

⇔ $\overrightarrow{KB}=-\frac{3}{2} \overrightarrow{KA}$

⇒ $\overrightarrow{KB}, \overrightarrow{KA}$ là hai vec tơ ngược hướng.

Vậy $K$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $KB=\frac{3}{2}KA$.


7. Giải bài 7 trang 17 sgk Hình học 10

Cho tam giác $ABC$. Tìm điểm $M$ sao cho: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \overline{0}$

Bài giải:

Gọi I là trung điểm AB.

⇒ $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$

Gọi J là trung điểm của CI.

⇒ $\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MJ}$

⇔ $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overline{0}$

⇔ $2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

⇔ $\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

⇔ $2\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{0}$

⇔ $\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{0}$

⇔ $M\equiv J$

Vậy $M$ là trung điểm của trung tuyến $CI.$


8. Giải bài 8 trang 17 sgk Hình học 10

Cho lục giác $ABCDEF$. Gọi $M, N, P, Q, R, S$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB, BC, CD, DE, EF, FA$. Chứng minh rằng hai tam giác $MPR$ và $NQS$ có cùng trọng tâm.

Bài giải:

\(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên ta có:

\(\overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)

Tương tự ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\overrightarrow {CE} \cr
& \overrightarrow {RS} = {1 \over 2}\overrightarrow {EA} \cr} \)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} \cr&= {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right)\cr& = {1 \over 2}\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0 (1) \cr
& \cr} \)

Gọi \(G\) là trong tâm của tam giác \(MPR\), ta có:

\(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} = \overrightarrow 0 (2)\)

Mặt khác :

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GN} \cr
& \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GQ} \cr
& \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GS} \cr} \)

\(\Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} \)\( = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} } \right) + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} \)\( + \overrightarrow {GS} (3)\)

Từ (1),(2), (3) suy ra: \(\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \)

Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(NQS.\)


9. Giải bài 9 trang 17 sgk Hình học 10

Cho tam giác đều $ABC$ có $O$ là trọng tâm và $M$ là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi $D, E, F$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $M$ đến $BC, AC, AB.$

Chứng minh rằng

\(\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = {3 \over 2}\overrightarrow {MO} \)

Bài giải:

Qua \(M\), kẻ \(PQ\) // \(AB\), \(RS\) // \(AC\) và \(IK\) // \(BC\)

Dễ chứng minh được \(\Delta {MPS}\) đều nên \(MD\) là đường trung tuyến.

\(\Rightarrow 2\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MS}\) (1)

\(\Delta {RIM}\) đều nên \(MF\) là đường trung tuyến

\(\Rightarrow 2\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MR}+\overrightarrow{MI}\) (2)

\(\Delta {MQK}\) đều nên \(ME\) là đường trung tuyến

\(\Rightarrow 2\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MK}\) (3)

Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2) và (3), ta được:

\(\begin{align} & 2\overrightarrow{MD}+2\overrightarrow{ME}+2\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{MR}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MK} \\ & \,\,=\left( \overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MI} \right)+\left( \overrightarrow{MS}+\overrightarrow{MK} \right)+\left( \overrightarrow{MR}+\overrightarrow{MQ} \right) \\ & \,\,=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA} \,\,(4)\\ \end{align} \)

(Do \(MIBP,MKCS,MQAR\) là các hình hình hành)

Lại có \(M\) là trọng tâm \(\Delta{ABC}\) nên

\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}\)   (5)

Kết hợp (4) và (5), ta được:

\(2\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}\right)=3\overrightarrow{MO}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{MO}\)


Bài trước:

Bài tiếp theo:


Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 10 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 trang 17 sgk Hình học 10!


“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com