Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 48 49 sgk Hình học 12

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §2. Mặt cầu, Chương II. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu, sách giáo khoa Hình học 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 48 49 sgk Hình học 12 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 12.

Lý thuyết

1. Định nghĩa

Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi r (r>0) được gọi là một mặt cầu tâm O bán kính r.

Kí hiệu: $S\left( {O;r} \right) = \left\{ {M|OM = r} \right\}.$

Đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên mặt cầu gọi là dây cung của mặt cầu.

Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính.

Dây cung CD và đường kính AB.

Cho mặt cầu S(O;r) và điểm A trong không gian.

Nếu OA = r thì điểm A nằm trên mặt cầu.

Nếu OA < r thì điểm A nằm trong mặt cầu.

Nếu OA > r thì điểm A nằm ngoài mặt cầu.

Khối cầu: Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O;r) cùng với các điểm nằm bên trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính R.

2. Tính chất

Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;r) thì:

Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.

Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.

Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng

Cho mặt cầu S(O;r) tâm O bán kính r và mặt phẳng (P); H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P).

Khi đó h=OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P).

Nếu h=r thì (P) tiếp xúc mặt cầu.

Ghi nhớ: Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.

Nếu h>r thì (P) không có điểm chung với mặt cầu.

Nếu h < r thì (P) cắt mặt cầu S(O;r) theo giao tuyến là một đường tròn tâm H bán kính $r’ = \sqrt {{r^2} – {h^2}} .$

4. Giao của mặt cầu với đường thẳng.

Cho mặt cầu S(O;r) và đường thẳng ∆. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O lên ∆, đặt h=OH. Ta có:

Nếu h=r thì đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu tại H.

Ghi nhớ: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại điểm H là $\Delta$ vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.

Nếu h < r, $\Delta$ cắt mặt cầu S(0;r) tại hai điểm M,N, đoạn thẳng MN có độ dài $MN=2\sqrt{r^2-h^2}.$

Nếu h>r thì đường thẳng ∆ không cắt mặt cầu.

5. Công thức diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

Công thức tính thể tích khối cầu bán kính R:

$V=\frac{4}{3}\pi .R^3$.

Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R:

$S = 4\pi {R^2}.$

6. Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ và hình chóp

a) Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Hình chóp có một mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp.

Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: nếu hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp thì tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là giao điểm của mặt phẳng trung trực của một cạnh bên và trục dường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

b) Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

Hình lăng trụ có một mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi lăng trụ đó là lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp.

Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ: nếu lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì tâm đường tròn ngoại tiếp lăng trụ đó chính là trung điểm của đoạn nối tâm 2 đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 12.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 43 sgk Hình học 12

Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố định $A$ và $B$ cho trước.

Trả lời:

Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố định $A$ và $B$ cho trước là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 45 sgk Hình học 12

a) Hãy xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu $S (O; r)$ và mặt phẳng $(α)$ biết rằng khoảng cách từ tâm $O$ đến $(α)$ bằng $\frac{r}{2}$.

b) Cho mặt cầu $S (O; r)$, hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ có khoảng cách đến tâm $O$ của mặt cầu đã cho lần lượt là $a$ và $b (0 < a < b < r)$. Hãy so sánh hai bán kính của các đường tròn giao tuyến.

Trả lời:

a) Ta có hình vẽ tham khảo như sau:

Xét tam giác $OAH$ vuông tại $H$ có $OA = r,OH = \dfrac{a}{2}$ nên:

$HA = \sqrt {O{A^2} – O{H^2}} $ $ = \sqrt {{r^2} – \dfrac{{{r^2}}}{4}} = \dfrac{{r\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy đường tròn giao tuyến có bán kính $\dfrac{{r\sqrt 3 }}{2}$.

b) Ta có hình vẽ tham khảo như sau:

Xét tam giác $OHA$ vuông tại $H$ có:

$HA = \sqrt {O{A^2} – O{H^2}} $ $ = \sqrt {{r^2} – {a^2}} $

Xét tam giác $OKB$ vuông tại $K$ có:

$KB = \sqrt {O{B^2} – O{K^2}} $ $ = \sqrt {{r^2} – {b^2}} $

Mà $0 < a < b < r$ nên $0 < {r^2} – {b^2} < {r^2} – {a^2}$

$ \Rightarrow \sqrt {{r^2} – {b^2}} < \sqrt {{r^2} – {a^2}} $ hay $KB < HA$.

Vậy đường tròn cắt bởi $\left( \beta \right)$ có bán kính nhỏ hơn bán kính đường tròn cắt bởi $\left( \alpha \right)$.

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 47 sgk Hình học 12

Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu:

a) Đi qua $8$ đỉnh của hình lập phương.

b) Tiếp xúc với $12$ cạnh của hình lập phương.

c) Tiếp xúc với $6$ mặt của hình lập phương.

Trả lời:

a) Tâm mặt cầu là giao điểm các đường chéo.

Bán kính mặt cầu là $OA = \displaystyle{1 \over 2}AC’$

Đường chéo hình vuông cạnh $a$ là $AC = a\sqrt 2$

Xét tam giác vuông $ACC’$ tại $C$:

Ta có: $AC’ = \sqrt {A{C^2} + C'{C^2}} $ $ = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 $

Do đó $AO = \dfrac{1}{2}AC’ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy bán kính mặt cầu đi qua $8$ đỉnh hình lập phương cạnh $a$ là $R = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

b) Không có mặt cầu tiếp xúc với $12$ cạnh của hình lập phương.

c) Tâm mặt cầu tiếp xúc $6$ mặt của hình lập phương là trung điểm $I$ của đường nối hai tâm đáy.

Bán kính mặt cầu là $r= \displaystyle{1 \over 2} AA’ $ $=\displaystyle{a \over 2}$

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 48 sgk Hình học 12

Cho hình lập phương ngoại tiếp mặt cầu bán kính $r$ cho trước. Hãy tính thể tích của hình lập phương đó.

Trả lời:

Hình lập phương ngoại tiếp mặt cầu bán kính $r$ có cạnh bằng $2r$

Thể tích hình lập phương đó là: $V={(2r)^3} = 8{r^3}$.

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 48 49 sgk Hình học 12. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 12 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 48 49 sgk Hình học 12 của Bài §2. Mặt cầu trong Chương II. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 48 49 sgk Hình học 12

1. Giải bài 1 trang 48 sgk Hình học 12

Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong không gian luôn luôn nhìn một đoạn thẳng $AB$ cố định dưới một góc vuông.

Bài giải:

Gọi $O$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$, vì tam giác $AMB$ vuông tại $M$ nên trung tuyến $MO$ bằng nửa cạnh huyến, tức $MO = {AB\over2} = R$.

Vậy tập hợp các điểm $M$ nhìn $AB$ dưới một góc vuông nằm trên mặt cầu đường kính $AB$

Ngược lại, lấy $M$ thuốc mặt cầu đwòng kính $AB$ thì $MO = {AB\over2}$ do đó nếu $M$ khác $A$ và $B$ thì tam giác $MAB$ vuông tại $M$, còn khi $M = A$ hoặc $M = B$ ta cũng coi $M$ nhìn $AB$ một góc vuông.

Kết luận: Tập hợp các điểm $M$ trong không gian nhìn đoạn thẳng $AB$ dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính $AB$.

2. Giải bài 2 trang 48 sgk Hình học 12

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

Bài giải:

Theo bài ra: ABCD là hình vuông có cạnh là a.

⇒ $AC=BD=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}=OS$

⇒ $OA=OB=OC=OD=OS=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vậy mặt cầu $S$ có tâm là $O$, bán kính $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

3. Giải bài 3 trang 48 sgk Hình học 12

Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn chứa một đường tròn cố định cho trước.

Bài giải:

Giả sử đường tròn cố định $(C)$ tâm $I$ bán kính $r$ nằm trên mặt phẳng $(P)$.

Xét đường thẳng $d$ qua $I$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$

⇒ Đường thẳng $d$ được gọi là trục của đường tròn.

Giả sử $O$ là tâm của mặt cầu $(S)$ chứa đường tròn $(C)$ thì $O$ cách đều mọi điểm của $(C)$. Vì vậy chân đường vuông góc hạc từ $O$ xuống mặt phẳng $(P)$ chính là tâm $I$ của $(C)$.

Kết luận: Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước là đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của nó.

4. Giải bài 4 trang 48 sgk Hình học 12

Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.

Bài giải:

Giả sử tam giác $ABC$ cho trước nằm trong mặt phẳng $(P)$.

⇒ Mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với ba cạnh của tam giác $ABC$ sẽ giao với mặt phẳng $(P)$ theo một đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác $ABC$ (chính là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$).

⇒ Tập hợp tâm các mặt cầu luôn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác $ABC$ là trục đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

5. Giải bài 5 trang 48 sgk Hình học 12

Từ một điểm $M$ nằm ngoài mặt cầu $(O; R)$, vẽ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại $A, B$ và $C, D$.

a) Chứng minh rằng $MA.MB = MC.MD$

b) Gọi $MO = d$. Tính $MA.MB$ theo $R$ và $d$.

Bài giải:

a) Hai đường thẳng $M_{AB}$ và $M_{CD}$ giao nhau xác định một mặt phẳng $(P)$.

⇒ Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn $(C)$, ngoại tiếp tứ giác phẳng $ABCD$.

Trong mặt phẳng $(P)$ thì các tích $MA.MB$ và $MC.MD$ là giá trị của phương tích của điểm $M$ đối với đường tròn $(C)$,

$⇒ MA.MB = MC.MD$ (đpcm)

b) Mặt phẳng $(OAB)$ cắt mặt cầu theo đường tròn lớn và phương tích của điểm $M$ đối với đường tròn này là :

$P_{M/(O)} = MA.MB = d^{2} – R^{2}$ (vì $d > R$).

Vậy $MA.MB = d^{2} – R^{2}$.

6. Giải bài 6 trang 49 sgk Hình học 12

Cho mặt cầu $(O; R)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ tại $I$. Gọi $M$ là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với $I$ qua tâm $O$. Từ $M$ ta kẻ hai tiếp tuyến của mặt cầu cắt $(P)$ tại $A$ và $B$.

Chứng minh rằng: $\widehat{AMB}=\widehat{AIB}$.

Bài giải:

Mặt cầu $S(O;R)$ tiếp xúc với $mp(P)$ tại $I$ và $IA \in mp(P)$

⇒ $AI$ là tiếp tuyến tại $I$ của mặt cầu.

⇒ $AM$ và $AI$ là hai tiếp tuyến của mặt cầu.

⇒ $AM = AI$.

Tương tự: $BM = BI$

⇒ $\triangle AMB=\triangle AIB$

⇒ $\widehat{AMB}=\widehat{AIB}$. (đpcm)

7. Giải bài 7 trang 49 sgk Hình học 12

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có $AA’ = a, AB = b, AD = c.$

a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua $8$ đỉnh của hình hộp đó.

b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của $mp(ABCD)$ với mặt cầu trên.

Bài giải:

a) Gọi $O$ là tâm hình hộp chữ nhật $ABCD$

⇒ $OA = OB = OC = OD = OA’ = OB’ = OC’ = OD’ = \frac{AC’}{2}$

Mà $AC’=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

⇒ $OA = OB = OC = OD = OA’ = OB’ = OC’ = OD’ = \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2}$

Vậy mặt cầu đi qua tám đỉnh hình hộp chữ nhật tâm $O$, bán kính $R=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2}$.

b) Giao tuyến của mặt phẳng $ABCD$ với mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ là hai đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$.

⇒ Bán kính của đường tròn giao tuyến của $mp(ABCD)$ với mặt cầu trên là:

$r=\frac{AC}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+c^{2}}$

Vậy bán kính cần tìm bằng $r=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+c^{2}}$.

8. Giải bài 8 trang 49 sgk Hình học 12

Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với $6$ cạnh của một hình tứ diện thì tổng các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.

Bài giải:

Giả sử tứ diện $ABCD$ có mặt cầu tiếp xúc với cả $6$ cạnh của tứ diện; tiếp xúc với $AB, AC, AD, CB, CD, BD$ lần lượt tại $M, N, P, Q, R, S$.

Vì các đoạn thẳng kẻ từ một điểm đến tiếp điểm của các tiếp tuyến đó bằng nhau

⇒ $\left\{\begin{matrix}AM=AN=AP=a & & & \\ BM=BQ=BS=b & & & \\ CQ=CN=CR=c & & & \\ DP=DR=DS=d & & & \end{matrix}\right.$

⇒ $\left\{\begin{matrix}AB+CD=a+b+d+c & & \\ AC+BD=a+d+b+c & & \\ AD+BC=a+c+b+d & & \end{matrix}\right.$

⇒ $AB+CD=AC+BD= AD+BC$ (đpcm).

9. Giải bài 9 trang 49 sgk Hình học 12

Cho một điểm $A$ cố định và một đường thẳng $a$ cố định không đi qua $A$. Gọi $O$ là một điểm thay đổi trên $a$.

Chứng minh rằng các mặt cầu tâm $O$ bán kính $R = OA$ luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.

Bài giải:

Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $a$ tại $H$.

⇒ $(P)$ và $H$ cố định.

Ta có: $(P)$ cắt mặt cầu $S(O; R)$ theo đường tròn tâm $H$ và bán kính $HA$ không đổi.

Vậy các mặt cầu tâm $O$ bán kính $R = OA$ luôn đi qua đường tròn cố định tâm $H$ bán kính bằng $HA$. (đpcm)

10. Giải bài 10 trang 49 sgk Hình học 12

Cho hình chóp $S.ABC$ có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, $SA = a, SB = b, SC = c$ và ba cạnh $SA, SB, SC$ đôi một vuông góc.

Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.

Bài giải:

Gọi $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác $S.ABC$. Hạ $IJ$ vuông góc $(SAB)$, vì $I$ cách đều $3$ điểm $S, A, B$ nên $J$ cũng cách đều $3$ điểm $S, A, B$.

Vì tam giác $SAB$ vuông đỉnh $S$ nên $J$ là trung điểm của $AB$.

Ta có $SJ ={1 \over 2}AB = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}}$

Do $SC$ vuông góc $(SAB)$ nên $IJ // SC$.

Gọi $H$ là trung điểm $SC$, ta có $SH = IJ = {c \over 2}$.

Do vậy, $I{S^2} = I{J^2} + S{J^2} = {{({a^2} + {b^2} + {c^2})} \over 4}$ và bán kính hình cầu ngoại tiếp $S.ABC$ là

$R = IS = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $

Diện tích mặt cầu là:

$S = 4\pi {R^2} = \pi ({a^2} + {b^2} + {c^2})$

Thể tích khối cầu là:

$V = {4 \over 3}\pi {R^3} = {1 \over 6}\pi {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^{{3 \over 2}}}$.

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 39 40 sgk Hình học 12

Bài tiếp theo:

Ôn tập chương II: Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 49 50 sgk Hình học 12

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 12 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 48 49 sgk Hình học 12!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“