Ôn tập chương II: Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 49 50 sgk Hình học 12

Hướng dẫn giải Bài Ôn tập Chương II. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu, sách giáo khoa Hình học 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 49 50 sgk Hình học 12 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 12.


Lý thuyết

1. §1. Khái niệm về mặt tròn xoay

2. §2. Mặt cầu

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 49 50 sgk Hình học 12. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!


Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 12 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 49 50 sgk Hình học 12 của Bài Ôn tập Chương II. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 49 50 sgk Hình học 12

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 49 50 sgk Hình học 12


1. Giải bài 1 trang 49 sgk Hình học 12

Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu sao cho $\widehat{ABC}=90^{\circ}$.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

a) Đường tròn qua ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu.

b) AB là một đường kính của mặt cầu đã cho.

c) AB không phải là đường kính của mặt cầu.

d) AB là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng (ABC).

Bài giải:

Ta có:

a) Đúng. Vì mặt cầu giao với mặt phẳng (ABC) theo một đường tròn.

b) Sai. Sai vì chưa kết luận được AB là đường kính của mặt cầu.

c) Sai. Sai vì chưa kết luận được AB không phải là đường kính của mặt cầu.

d) Đúng. Vì trong đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (ABC) với mặt cầu, với giả thiết $\widehat{ABC}=90^{\circ}$.

⇒ AB là đường kính của đường tròn giao tuyến.


2. Giải bài 2 trang 49 sgk Hình học 12

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC. Biết AB = AD = a.

Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc BDA quanh cạnh AB.

Bài giải:

\(AD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AD \bot AB \Rightarrow \Delta ABD\) vuông tại A.

Vì \(∆ABD\) vuông góc tại \(A\), nên khi quay \(BDA\) quanh \(AB\) ta được hình nón tròn xoay đường cao \(h=AB = a\) và bán kính đáy bằng \(r=AD =a\).

Gọi \(l\) là độ dài đường sinh của hình nón ta có:

\(l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)

Vậy: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .a.a\sqrt 2 = \pi {a^2}\sqrt 2 ,\,\,V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .{a^2}.a = \frac{{\pi {a^3}}}{3}\)


3. Giải bài 3 trang 49 sgk Hình học 12

Một hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Chứng minh rằng hình chóp đó nội tiếp được trong một mặt cầu (các đỉnh của hình chóp nằm trên mặt cầu).

Bài giải:

Giả sử ta có hình chóp \(S.ABCD\), có các cạnh bên \(SA = SB = SC = SD = …\)

Kẻ \(SH \bot (ABCD)\), ta chứng minh được \(△SHA = △SHB = △SHC = △SHD = △…\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra \(HA = HB = HC = HD = …\) \( \Rightarrow \) H là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD.

Trong tam giác \(SAH\) chẳng hạn, ta kẻ đường trung trực của cạnh \(SA\), đường này cắt \(SH\) ở điểm \(I \Rightarrow IA = IS\).

Do đó: \(IS = IA = IB = IC = ID = …\) hay điểm \(I\) cách đều các đỉnh của hình chóp và do đó \(I\) là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp.


4. Giải bài 4 trang 50 sgk Hình học 12

Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, SC. Mặt cầu này còn tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh.

Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.

Bài giải:

Gọi $M, N, P$ theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh $SA, SB, SC$.

$D, E, F$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CA$ và đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh $AB, BC, CA$.

Ta có: $AD = AF ⇒ AB = AC$

$BD = BE ⇒ BC = AB$

⇒ $AB = BC = CA$

⇒ △ABC là tam giác đều. (1)

Mặt khác: $AM = AD$

$BN = BD = AD$

$SM = SN = SP$

⇒ $SM + AM = SN + NB$

⇒ $SA = SB$

Tương tự: $SA = SB = SC$

Gọi H là chân đường cao của hình chóp kẻ từ đỉnh S

Ta có: $△SHA = △SHB =△SHC$

⇒ $HA = HB = HC$

⇒ H là tâm của tam giác đều ABC, (2)

Từ (1), (2) ⇒ hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều. (đpcm)


5. Giải bài 5 trang 50 sgk Hình học 12

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).

a) Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính độ dài đoạn AH.

b) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH.

Bài giải:

a) Từ A kẻ $AH\perp MP(BCD)$

Theo bài ra: $AB=AC=AD$

⇒ $\triangle ABH=\triangle ACH=\triangle ADH$

⇒ $HB=HC=HD$

⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều BCH. (đpcm)

Ta có: $AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}$

Mà: $BH=\frac{2}{3}BN=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

⇒ $AH=\sqrt{a^{2}-\frac{3a^{2}}{9}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Vậy $AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

b) Vì tam giác \(BCD\) đều cạnh \(a\), nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là \(r = BH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\), cũng chính là bán kính đáy của khối trụ. Vì vậy diện tích xung quanh của hình trụ là:

\(S_xq = 2\pi rh = 2\pi {{a\sqrt 3 } \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{2\sqrt 2 } \over 3}\pi {a^2}\) (đtdt).

Thể tích khối trụ là:

\(V = \pi {r^2}h = \pi {{{a^2}} \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{\sqrt 6 } \over 9}\pi {a^3}\) (đttt)


6. Giải bài 6 trang 50 sgk Hình học 12

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên ∆ lấy điểm S sao cho $OS=\frac{a}{2}$ .

Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.

Bài giải:

Qua O vẽ đường thẳng $∆\perp (ABCD)$

⇒ ∆ là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Gọi H là trung điểm cạnh SA ⇒ SH = AH.

Trong mặt phẳng \(SAO\) đường trung trực của đoạn SA cắt SO tại I

Ta có: $\triangle SAO\sim \triangle SIH$

⇒ $\frac{SA}{SO}=\frac{SI}{SH}$

⇒ $SI=\frac{SA.SH}{SO}=\frac{SA^{2}}{2SO}$

Mặt khác: $SA^{2}=SO^{2}+OA^{2}=\frac{3a^{2}}{4}$

⇒ $SA=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

⇒ $SI=\frac{3a}{4}$

⇒ $SI=IA=IB=IC=ID=\frac{3a}{4}$

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I, bán kính $R=SI=\frac{3a}{4}$.

⇒ Diện tích mặt cầu là:

$S=4\prod R^{2}=4\prod (\frac{3a}{4})^{2}=\frac{9a^{2}\prod }{4}$ (đvdt)

Thể tích khối cầu là:

$V=\frac{4}{3}\prod r^{2}=\frac{4}{3}\prod (\frac{3a}{4})^{2}=\frac{3\prod a^{2}}{4}$ (đvtt)


7. Giải bài 7 trang 50 sgk Hình học 12

Cho hình trụ có bán kính r, trục OO’ = 2r và mặt cầu đường kính OO’.

a) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.

b) Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho.

Bài giải:

Hình trụ có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(2r\), hình cầu có bán kính \(r\)

a) \(S\)mặt cầu = \(4πr^2\); \(S\)hình trụ = \(2\pi rh = 2\pi r.2r = 4\pi {r^2}\)

Vậy \(S\)mặt cầu=\(S\)hình trụ

b) \(V\)khối cầu = \({4 \over 3}\pi {r^3}\); \(V\)khối trụ = \(\pi {r^2}h = \pi {r^2}.2r = 2\pi {r^3}\)

Vậy \({{{V_{KT}}} \over {{V_{KC}}}} = {{2\pi {r^3}} \over {{4 \over 3}\pi {r^3}}} = {3 \over 2}\).


Bài trước:

Bài tiếp theo:


Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 12 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 49 50 sgk Hình học 12!


“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com