Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 26 27 sgk Hình học 10

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §4. Hệ trục tọa độ, Chương I. Vectơ, sách giáo khoa Hình học 10. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 26 27 sgk Hình học 10 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 10.

Lý thuyết

1. Trục và độ dài đại số trên trục

a) Trục tọa độ: Trục tọa độ là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc $O$ và một vec tơ đơn vị $\vec e$

b) Tọa độ của một điểm: Ứng với mỗi điểm $M$ trên trục tọa độ thì có một số thực $k$ sao cho

$\overrightarrow {OM} = k\overrightarrow e $

Số $k$ được gọi là tọa độ của điểm $M$ đối với trục đã cho.

c) Độ dài đại số: Cho hai điểm $A,B$ trên trục số, tồn tại duy nhất một số $a$ sao cho $\overrightarrow {AB} = a\overrightarrow e $

$a$ được gọi là độ dài đại số của vectơ $\overrightarrow {AB} $, kí hiệu $a = \overrightarrow {AB} $.

Chú ý:

– Nếu vectơ $\overrightarrow {AB} $ cùng hướng với vec tơ đơn vị $\vec e$ của trục thì $\overline {AB} > 0$, còn nếu $\overrightarrow {AB} $ ngược hướng với vec tơ đơn vị $\vec e$ thì $\overline {AB} <0$

– Nếu điểm $A$ có tọa độ trên trục là $a$ và điểm $B$ có tọa độ là $b$ thì

$\overline {AB} =b-a$

2. Hệ trục tọa độ

a) Định nghĩa: Hệ trục tọa độ $\left( {0;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)$ gồm hai trục $\left( {0;\overrightarrow i } \right)$ và $\left( {0;\overrightarrow j } \right)$ vuông góc với nhau.

$O$ là gốc tọa độ.

$\left( {0;\overrightarrow i } \right)$ là trục hoành

$\left( {0;\overrightarrow j } \right)$ là trục tung

$|\overrightarrow i | = |\overrightarrow j |=1$

Mặt phẳng được trang bị một hệ tọa độ được gọi là mặt phẳng tọa độ

b) Tọa độ vectơ

$\overrightarrow u = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j \Leftrightarrow u(x;y)$

Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi các tọa độ tương ứng bằng nhau

$\overrightarrow u (x;y);\overrightarrow {u’} (x’;y’)$

$\overrightarrow u = \overrightarrow {u’} \Leftrightarrow $$x = x’$ và $y = y’$

c) Tọa độ một điểm:

Với mỗi điểm $M$ trong mặt phẳng tọa độ thì tọa độ của vec tơ $\overrightarrow {OM} $ được gọi là tọa độ của điểm $M$.

$\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j \Leftrightarrow M(x;y)$

d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và của vectơ:

cho hai điểm $A({x_A},{y_A});B({x_B},{y_B})$

Ta có $\overrightarrow {AB} ({x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A})$

Tọa độ của vec tơ thì bằng tọa độ của điểm ngọn trừ đi tọa độ tương ứng của điểm đầu.

3. Tọa độ của tổng, hiệu,tích của một số với một vectơ

Cho hai vec tơ $\overrightarrow u ({u_1};{u_2});\overrightarrow v ({v_1};{v_2})$

Ta có

$\eqalign{
& \overrightarrow u + \overrightarrow v = ({u_1} + {v_1};{u_2} + {v_2}) \cr
& \overrightarrow u – \overrightarrow v = ({u_1} – {v_1};{u_2} – {v_2}) \cr
& k\overrightarrow u = (k{u_1};k{u_2}) \cr} $

4. Tọa độ của trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm của tam giác

a) Tọa độ trung điểm: Cho hai điểm $A({x_A},{y_A});B({x_B},{y_B})$ tọa độ của trung điểm $I({x_I};{y_I})$ được tính theo công thức:

$$\left\{ \matrix{
{x_I} = {{{x_A} + {x_B}} \over 2} \hfill \cr
{y_I} = {{{y_A} + {y_B}} \over 2} \hfill \cr} \right.$$

b) Tọa độ trọng tâm: Tam giác $ABC$ có $3$ đỉnh $A({x_A},{y_A});B({x_B},{y_B});C({x_C};{y_C})$. Trọng tâm $G$ của tam giác có tọa độ:

$$\left\{ \matrix{
{x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} \hfill \cr
{y_G} = {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} \over 3} \hfill \cr
{z_G} = {{{z_A} + {z_B} + {z_C}} \over 3} \hfill \cr} \right.$$

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong mục hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 10.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 21 sgk Hình học 10

Hãy tìm cách xác định vị trí quân xe và quân mã trên bàn cờ vua (h.1.21).

Trả lời:

Vị trí của quân xe: hàng $3$, cột $c$.

Vị trí của quân mã: hàng $5$, cột $f$.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 22 sgk Hình học 10

Hãy phân tích các vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$ theo hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ trong hình (h.1.23)

Trả lời:

Ta có:

$\vec{a}$ = 4$\vec{i}$ + 2$\vec{j}$

$\vec{b}$ = 0$\vec{i}$ – 4$\vec{j}$

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 24 sgk Hình học 10

Tìm tọa độ của các điểm $A, B, C$ trong hình 1.26. Cho ba điểm $D(-2; 3), E(0; -4), F(3; 0).$ Hãy vẽ các điểm $D, E, F$ trên mặt phẳng $Oxy.$

Trả lời:

Ta có tọa độ các điểm như sau: $A(4; 2)$; $B(3; 0)$; $C(0; 2)$.

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 24 sgk Hình học 10

Hãy chứng minh công thức trên.

Trả lời:

Ta có:

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OA} $

Mà:

$\eqalign{
& \overrightarrow {OB} = {x_B}\overrightarrow i + {y_B}\overrightarrow j \cr
& \overrightarrow {OA} = {x_A}\overrightarrow i + {y_A}\overrightarrow j \cr
& \overrightarrow {AB} = ({x_B}\overrightarrow i + {y_B}\overrightarrow j ) – ({x_A}\overrightarrow i + {y_A}\overrightarrow j ) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,({x_B} – {x_A})\overrightarrow i \, + ({y_B} – {y_A})\overrightarrow j \cr} $

Vậy: $\overrightarrow {AB} = ({x_B} – {x_A};\,{y_B} – {y_A})$

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 25 sgk Hình học 10

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Hãy phân tích vectơ $\vec{OG}$ theo ba vectơ $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$. Từ đó hãy tính tọa độ điểm $G$ theo tọa độ của $A, B$ và $C$.

Trả lời:

Ta có:

$\eqalign{
& 3\overrightarrow {OG} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {CG} \cr
& = (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} ) – (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) \cr} $

Do $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên:

$\eqalign{
& \Rightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \cr
& \Rightarrow 3\overrightarrow {OG} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {OG} = {{\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \over 3} \cr} $

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 26 27 sgk Hình học 10. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 10 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 26 27 sgk Hình học 10 của Bài §4. Hệ trục tọa độ trong Chương I. Vectơ cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 26 27 sgk Hình học 10

1. Giải bài 1 trang 26 sgk Hình học 10

Trên trục $(O;\overrightarrow{e})$ cho các điểm $A, B, M, N$ có tọa độ lần lượt là $-1, 2, 3, -2.$

a) Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục.

b) Tính độ dài đại số của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MN}$.

Từ đó suy ra hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MN}$ ngược hướng.

Bài giải:

a) Biểu diễn các điểm trên trục

b) Ta có: $\left | \overrightarrow{AB} \right |=2-(-1)=3$

$\left | \overrightarrow{MN} \right |=-2-3=-5$

⇒ vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MN}$ ngược hướng.( đpcm )

2. Giải bài 2 trang 26 sgk Hình học 10

Trong mặt phẳng tọa độ, các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{a}=(-3;0)$ và $\overrightarrow{i}=(1;0)$ là hai vectơ ngược hướng.

a) $\overrightarrow{a}=(3;4)$ và $\overrightarrow{b}=(-3;-4)$ là hai vectơ đối nhau.

c) $\overrightarrow{a}=(5;3)$ và $\overrightarrow{b}=(3;5)$ là hai vectơ đối nhau.

d) Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

Bài giải:

a) Ta có: $\overrightarrow a = – 3\overrightarrow i \Rightarrow \overrightarrow a ,\;\overrightarrow i $ là hai vecto ngược hướng.

Vậy a) đúng.

b) Ta có: $\overrightarrow a = – \overrightarrow i \Rightarrow \overrightarrow a ,\;\overrightarrow i $ là hai vecto đối của nhau.

Vậy b) đúng.

c) Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow a = 5\overrightarrow e + 3\overrightarrow j \\
\overrightarrow i = 3\overrightarrow e + 5\overrightarrow j
\end{array} \right. \\\Rightarrow \overrightarrow a \ne k\overrightarrow i \Rightarrow \overrightarrow a, \, \overrightarrow i $ không cùng phương.

Vậy c) sai.

d) Dựa vào định nghĩa hai vecto bằng nhau ta thấy đáp án d) đúng.

3. Giải bài 3 trang 26 sgk Hình học 10

Tìm tọa độ của các vectơ sau:

a) $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}$

b) $\overrightarrow{b}=-3\overrightarrow{j}$

c) $\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}$

d) $\overrightarrow{d}=0,2\overrightarrow{i}+\sqrt{3}\overrightarrow{j}$

Bài giải:

a) $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+ 0\overrightarrow{j}$

⇒ $\overrightarrow{a}=(2;0)$

b) $\overrightarrow{b}=-3\overrightarrow{j}$

⇒ $\overrightarrow{b}=(0;-3)$

c) $\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}$

⇒ $\overrightarrow{c}=(3;-4)$

d) $\overrightarrow{d}=0,2\overrightarrow{i}+\sqrt{3}\overrightarrow{j}$

⇒ $\overrightarrow{d}=(0,2;\sqrt{3})$

4. Giải bài 4 trang 26 sgk Hình học 10

Trong mặt phẳng $Oxy$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Tọa độ của điểm $A$ bằng tọa độ của vectơ $OA$;

b) Điểm $A$ nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng $0$;

c) Điểm $A$ nằm trên trục tung thì có hoành độ bằng $0$;

d) Hoành độ và tung độ của điểm $A$ bằng nhau khi và chỉ khi $A$ nằm trên tia phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Bài giải:

a) Đúng vì $\overrightarrow {OA} = \left( {{x_A} – 0;\;{y_A} – {y_0}} \right) = \left( {{x_A};\;y{ _A}} \right).$

b) Đúng vì mọi điểm nằm trên trục hoành đều có tung độ bằng $0.$

c) Đúng vì mọi điểm nằm trên trụ tung đều có hoành độ bằng $0.$

d) Đúng vì tia phân giác của góc phần tư thứ nhất có phương trình là: $y=x.$

5. Giải bài 5 trang 27 sgk Hình học 10

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $M(x_{0}, y_{0})$.

a) Tìm tọa độ của điểm $A$ đối xứng với $M$ qua trục $Ox$;

b) Tìm tọa độ của điểm $B$ đối xứng với M qua trục $Oy$;

c) Tìm tọa độ của điểm $C$ đối xứng với $M$ gốc $O$.

Bài giải:

a) Hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành thì có hoành độ bằng nhau và tung độ đối nhau.

⇒ Tọa độ $A(x_{0}; -y_{0})$.

b) Hai điểm đối xứng với nhau qua trục tung thì có tung độ bằng nhau còn hoành độ thì đối nhau.

⇒ Tọa độ $B(-x_{0};y_{0})$.

c) Hai điểm đối xứng nhau qua gốc $O$ thì các tọa độ tương ứng đối nhau.

⇒ Tọa độ $C(-x_{0}; -y_{0})$.

6. Giải bài 6 trang 27 sgk Hình học 10

Cho hình bình hành $ABCD$ có $A(-1; -2), B(3;2), C(4; -1)$. Tìm tọa độ của đỉnh $D$.

Bài giải:

Gọi tọa độ của $D(x_{0}; y_{0})$.

⇒ $\overrightarrow{AD}=(x_{0}+1;y_{0}+2)$

$\overrightarrow{BC}=(1;-3)$

Mặt khác : ABCD là hình bình hành

⇒ $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$

⇔ $\left\{\begin{matrix}x_{0}+1=1 & \\ y_{0}+2= -3& \end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix}x_{0}=0& \\ y_{0}=-5& \end{matrix}\right.$

Vậy $D(0; -5)$.

7. Giải bài 7 trang 27 sgk Hình học 10

Các điểm $A'(-4; 1), B'(2; 4), C'(2; -2)$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC, CA$ và $AB$ của tam giác $ABC$. Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’ trùng nhau.

Bài giải:

Giả sử $A({x_A};{y_A}),B({x_B};{y_B}),C({x_C};{y_C})$

$A’$ là trung điểm của cạnh $BC$ nên $-4 = \frac{1}{2} (x_B+ x_C)$

$\Rightarrow {x_B} + {x_C} = – 8$ (1)

Tương tự ta có ${x_A} + {x_C} = 4$ (2)

${x_B} + {x_A} = 4$ (3)

Giải hệ (1), (2) và (3) ta được:

$\left\{ \matrix{
{x_A} = 8 \hfill \cr
{x_B} = – 4 \hfill \cr
x{}_C = – 4 \hfill \cr} \right.$

Tương tự ta tính được:

$\left\{ \matrix{
{y_A} = 1 \hfill \cr
{y_B} = – 5 \hfill \cr
y{}_C = 7 \hfill \cr} \right.$

Gọi $G({x_G};y{}_G)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$

Khi đó ta có:

$$\left\{ \matrix{
{x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} = {{8 – 4 – 4} \over 3} = 0 \hfill \cr
{y_G} = {{{y_A} + {y_B} + y{}_C} \over 3} = {{1 – 5 + 7} \over 3} = {1} \hfill \cr} \right.$$

Vậy $G(0;1)$ (*)

Gọi $G'({x_{G’}};y{}_{G’})$ là trong tâm của tam giác $A’B’C’$

Khi đó ta có:

$$\left\{ \matrix{
{x_{G’}} = {{{x_{A’}} + {x_{B’}} + {x_{C’}}} \over 3} = {{ – 4 + 2 + 2} \over 3} = 0 \hfill \cr
{y_{G’}} = {{{y_{A’}} + {y_{B’}} + y{}_{C’}} \over 3} = {{1 + 4 – 2} \over 3} = 1 \hfill \cr} \right.$$

Vậy $G'(0;1)$ (2*)

Từ (*) và (2*) ta thấy $G \equiv G’$

Vậy trọng tâm tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ trùng nhau.

8. Giải bài 8 trang 27 sgk Hình học 10

Cho vectơ $\overrightarrow{a} = (2; -2)$, vectơ $\overrightarrow{b}= (1; 4)$. Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{c}=(5; 0)$ theo hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$

Bài giải:

Giả sử ta phân tích được $\overrightarrow{c}$ theo $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ tức là có hai số $m, n$ để

$\overrightarrow{c}= m.\overrightarrow{a} + n.\overrightarrow{b}$ cho ta $\overrightarrow{c}= (2m+n; -2m+4n)$

Vì $\overrightarrow{c} =(5;0)$ nên ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} 2m+n=5\\ -2m+4n=0 \end{matrix}\right.$
Giải hệ phương trình ta được $m = 2, n = 1$

Vậy $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 trang 17 sgk Hình học 10

Bài tiếp theo:

Ôn tập chương I: Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 trang 27 28 sgk Hình học 10

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 10 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 26 27 sgk Hình học 10!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“