Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 trang 137 138 sgk Giải tích 12

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §2. Cộng, trừ và nhân số phức, Chương 4. Số phức, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 trang 137 138 sgk Giải tích 12 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 12.

Lý thuyết

1. Công thức cộng, trừ và nhân hai số phức

Cho hai số phức ${z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),$ ta có:

$z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i$

$z_1-z_2=(a + bi) – ( c + di) = (a – c) + (b – d)i$

$z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i$

Nhận xét: Phép cộng và phép nhân số phức được thực hiện tương tự như đối với số thực, với chú ý $i^2=-1.$

Với mọi $z,z’\in\mathbb{C}$:

$z + \overline z = 2a$ (với $z = a + bi$)

$ \overline{z+z’}$ = $ \bar{z}$ + $ \bar{z}$’

$z.\overline z = {\left| z \right|^2} = {\left| {\overline z } \right|^2}$

$\left| {z.z’} \right| = \left| z \right|.\left| {z’} \right|$

$\left| {z + z’} \right| \le \left| z \right| + \left| {z’} \right|$

2. Ví dụ minh họa

Trước khi đi vào giải bài 1 2 3 4 5 trang 137 138 sgk Giải tích 12, chúng ta hãy tìm hiểu các ví dụ điển hình sau đây:

Ví dụ 1:

Cho số phức $\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i.$ Tìm các số phức sau $\overline z$; $z^2$; ${\left( {\overline z } \right)^3}$; $1+z+z^2.$

Bài giải:

$z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i \Rightarrow \overline z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i$

${z^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$

$\Rightarrow {\left( {\overline z } \right)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$

${\left( {\overline z } \right)^3} = {\left( {\overline z } \right)^2}.\overline z = \left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{1}{2}i + \frac{3}{4}i – \frac{{\sqrt 3 }}{4} = i$

$1 + z + {z^2} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i + \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} – \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}i$

Ví dụ 2:

Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức $z$ biết: $\overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 – i\sqrt 2 } \right).$

Bài giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} \overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 – i\sqrt 2 } \right) = \left( {2 + {i^2} + 2i\sqrt 2 } \right)\left( {1 – i\sqrt 2 } \right) = 5 + i\sqrt 2 \\ \Rightarrow z = 5 – i\sqrt 2 \end{array}$

Vậy z có phần thực bằng 5; phần ảo bằng $-\sqrt2$.

Môđun: $\left| z \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { – \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .$

Ví dụ 3:

Tìm số phức $z$ biết $(2z – i)(1 + i) + (\overline z + 1)(1 – i) = 2 – 2i.$

Bài giải:

Cho $z=a+bi (a,b\in\mathbb{R})$ suy ra $\overline z = a – bi,$ từ giải thiết bài toán ta có:

$(2a + 2bi – 1)(1 + i) + (a – bi + 1)(1 – i) = 2 – 2i$

$\Leftrightarrow 3a – 3b + (a + b – 2)i = 2 – 2i$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a – 3b = 2\\ a + b – 2 = – 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{3}\\ b = \frac{{ – 1}}{3} \end{array} \right.$

Vậy $z=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i.$

Ví dụ 4:

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa $\left| {z – 1 + i} \right|=2.$

Bài giải:

Đặt $z=x+yi (x,y\in\mathbb{R})$ ta có: $z – 1 + i = (x – 1) + (y + 1)i$

$\left| {z – 1 + i} \right|=2$ suy ra: $\sqrt {{{(x – 1)}^2} + {{(y + 1)}^2}} = 2 \Leftrightarrow {(x – 1)^2} + {(y + 1)^2} = 4$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R=2.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Giải tích 12.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 136 sgk Giải tích 12

Theo quy tắc cộng, trừ đa thức (coi $i$ là biến), hãy tính:

$(3 + 2i) + (5 + 8i);$

$(7 + 5i) – (4 + 3i);$

Trả lời:

Ta có:

$(3 + 2i) + (5 + 8i) $ $= (3 + 5) + (2 + 8)i $ $= 8 + 10i.$

$(7 + 5i) – (4 + 3i)$ $= (7 – 4) + (5 – 3)i $ $= 3 + 2i.$

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 137 sgk Giải tích 12

Theo quy tắc nhân đa thức với chú ý $i^2=-1$, hãy tính $(3 + 2i)(2 + 3i).$

Trả lời:

Ta có:

$(3 + 2i)(2 + 3i)$ $ = 3.2 + 3.3i + 2i.2 + 2i.3i $

$= 6 + 9i + 4i – 6 = 13i.$

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 trang 137 138 sgk Giải tích 12. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập giải tích 12 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 trang 137 138 sgk Giải tích 12 của Bài §2. Cộng, trừ và nhân số phức trong Chương 4. Số phức cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 trang 137 138 sgk Giải tích 12

1. Giải bài 1 trang 137 sgk Giải tích 12

Thực hiện các phép tính sau:

a) $(3 – 5i) + (2 + 4i)$; b) $(-2 – 3i) + (-1 – 7i)$;

c) $(4 + 3i) – (5 – 7i)$; d) $(2 – 3i) – ( 5 – 4i)$.

Bài giải:

Ta có:

a) $(3 – 5i) + (2 + 4i5 = (3 + 2) + (-5i + 4i) = 5 – i$.

b) $(-2 – 3i) + (-1 – 7i) = (-2 – 1) + (-3i – 7i) = -3 – 10i$

c) $(4 + 3i) – (5 – 7i) = (4 – 5) + (3i + 7i) = -1 + 10i$

d) $(2 – 3i) – ( 5 – 4i) = (2 – 5) + (-3i + 4i) = -3 + i$.

2. Giải bài 2 trang 138 sgk Giải tích 12

Tính $α + β, α – β$, với:

a) $α = 3, β = 2i$ ;

b) $α = 1- 2i, β = 6i$.

c) $α = 5i, β = -7i$ ;

d) $α = 15, β = 4- 2i$

Bài giải:

Ta có:

a) $α + β = 3 + 2i$, $α – β = 3 – 2i$

b) $α + β = 1 + 4i$ $ α – β = 1 – 8i$

c) $α + β = -2i$, $ α – β = 12i$

d) $α + β = 19 – 2i$ $α – β = 11 + 2i$

3. Giải bài 3 trang 138 sgk Giải tích 12

Thực hiện các phép tính sau:

a) $(3 – 2i)(2 – 3i)$;

b) $(-1 + i)(3 + 7i)$;

c) $5(4 + 3i)$ ;

d) $(-2 – 5i).4i$.

Bài giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}a)\,\,\left( {3 – 2i} \right)\left( {2 – 3i} \right) = 6 – 9i – 4i – 6 = – 13i\\b)\,\,\left( { – 1 + i} \right)\left( {3 + 7i} \right) = – 3 – 7i + 3i – 7 = – 10 – 4i\\c)\,\,5\left( {4 + 3i} \right) = 20 + 15i\\d)\,\,\left( { – 2 – 5i} \right).4i = – 8i + 20\end{array}$

4. Giải bài 4 trang 138 sgk Giải tích 12

Tính ${i^3},{i^4},{i^5}$.

Nêu cách tính $i^n$ với $n$ là một số tự nhiên tuỳ ý.

Bài giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}{i^3} = {i^2}.i = – 1.i = – i\\{i^4} = {i^3}.i = – i.i = – {i^2} = 1\\{i^5} = {i^4}.i = 1.i = i\end{array}$.

Ta lại có:

$\begin{array}{l}{i^1} = i\\{i^2} = – 1\\{i^3} = – i\\{i^4} = 1\\{i^5} = i\\{i^6} = – 1\end{array}$

Vậy tổng quát lên ta có: Nếu $n = 4q + r, 0 ≤ r < 4$ thì

$\begin{array}{l}{i^{4q}} = {i^0} = 1\\{i^{4q + 1}} = {i^1} = i\\{i^{4q + 2}} = {i^2} = – 1\\{i^{4q + 3}} = {i^3} = – i\end{array}$

5. Giải bài 5 trang 138 sgk Giải tích 12

Tính:

a) $(2 + 3i)^2$; b) $(2 + 3i)^3$

Bài giải:

Ta có:

a) ${\left( {2 + 3i} \right)^2} = 4 + 12i + {\left( {3i} \right)^2} = – 5+ 12i$;

b) $\left( {2 +3i} \right)^3 = 8 + 3.4.3i +3.2{\left( {3i} \right)^2} + {\left( {3i} \right)^3} = 8 +36i – 54-27i = – 46 +9i$.

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 135 136 sgk Giải tích 12

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 3 4 trang 140 141 sgk Giải tích 12

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 12 với giải bài 1 2 3 4 5 trang 137 138 sgk Giải tích 12!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“