Toán lớp 12

Giải bài 1 2 3 4 trang 140 141 sgk Giải tích 12

Hướng dẫn giải Bài §3. Phép chia số phức, Chương 4. Số phức, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 trang 140 141 sgk Giải tích 12 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 12.

Lý thuyết

1. Phép chia hai số phức

Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:

\(\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{\left( {c + di} \right)(a – bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad – bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i\)

(Nhân cả tử và mẫu với \(a – bi\) (số phức liên hợp của mẫu)).

Chú ý: Với số phức \(z\ne0\) ta có:

Số phức nghịch đảo của \(z\): \({z^{ – 1}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z .\)

Thương của \(z’\) chia cho \(z\): \(\frac{{z’}}{z} = z’.{z^{ – 1}} = \frac{{z’.\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{z’.\overline z }}{{z.\overline z }}.\)

2. Ví dụ minh họa

Trước khi đi vào giải bài 1 2 3 4 trang 140 141 sgk Giải tích 12, chúng ta hãy tìm hiểu các ví dụ điển hình sau đây:

Ví dụ 1:

Tìm số phức liên hợp của số phức: \(z = (1 + i)(3 – 2i) + \frac{1}{{3 + i}}\).

Bài giải:

Ta có: \(z = 5 + i + \frac{{3 – i}}{{(3 + i)(3 – i)}} = 5 + i + \frac{{3 – i}}{{10}}=\frac{53}{10}+\frac{9}{10}i\)

Suy ra số phức liên hợp của số phức z là: \(\overline z = \frac{{53}}{{10}} – \frac{9}{{10}}i\).

Ví dụ 2:

Tìm môđun của số phức \(z = \frac{{(1 + i)(2 – i)}}{{1 + 2i}}\).

Bài giải:

Ta có:\(z = \frac{{(1 + i)(2 – i)}}{{1 + 2i}} = \frac{{3 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {3 + i} \right)\left( {1 – 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 – 2i} \right)}} = \frac{{5 + i}}{5} = 1 + \frac{1}{5}i.\)

Vậy môđun của số phức z là: \(\left| z \right| = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {26} }}{5}\).

Ví dụ 3:

Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của số phức z thỏa: \({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 – i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z.\)

Bài giải:

\({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 – i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z\)

\(\Leftrightarrow z = \frac{{8 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {8 + i} \right)\left( {1 – 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 – 2i} \right)}} = \frac{{10 – 15i}}{5} = 2 – 3i.\)

Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3, môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} .\)

Ví dụ 4:

Tìm số phức z thỏa: \(\frac{{(\overline z – 1).(2 – i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\)

Bài giải:

Điều kiện: \(\overline z \ne -2i\) hay \(z\ne 2i\)

Khi đó: \(\frac{{(\overline z – 1).(2 – i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\)\(\Leftrightarrow 2(\overline z – 1)(2 – i) = (3 + i)(\overline z + 2i)\)

\(\Leftrightarrow (\overline z – 1)(4 – 2i) = 3\overline z + 6i + iz + 2{i^2}\)

\(\Leftrightarrow (1 – 3i)\overline z = 2i + 4\)

\(\Leftrightarrow \overline z = \frac{{2i + 4}}{{1 – 3i}} = \frac{{(2i + 4)(1 + 3i)}}{{10}} = \frac{{ – 1}}{5} + \frac{7}{5}i\)

\(\Rightarrow z = \frac{{ – 1}}{5} – \frac{7}{5}i\).

Ví dụ 5:

Tính số phức sau: \(z={\left( {\frac{{1 + i}}{{1 – i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 – i}}{{1 + i}}} \right)^8}.\)

Bài giải:

Ta có: \(\frac{{1 + i}}{{1 – i}} = \frac{{(1 + i)(1 + i)}}{2} = \frac{{2i}}{2} = i\)\(\Rightarrow \frac{{1 – i}}{{1 + i}} = \frac{1}{i} = – i.\)

Vậy: \({\left( {\frac{{1 + i}}{{1 – i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 – i}}{{1 + i}}} \right)^8} = {i^{16}} + {( – i)^8} = {({i^2})^8} + {\left( {{{\left( { – i} \right)}^2}} \right)^4} = 1 + 1 = 2.\)

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Giải tích 12.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 138 sgk Giải tích 12

Cho \(z = 2 + 3i\). Hãy tính \(z + \overline z \) và \(z.\overline z \). Nêu nhận xét.

Trả lời:

Ta có: \(z = 2 + 3i \Rightarrow \overline z = 2 – 3i\).

Khi đó \(z + \overline z = \left( {2 + 3i} \right) + \left( {2 – 3i} \right)\) \( = 2 + 3i + 2 – 3i = 4\)

\(z.\overline z = \left( {2 + 3i} \right)\left( {2 – 3i} \right)\) \( = {2^2} – {\left( {3i} \right)^2} = 4 + 9 = 13\).

Nhận xét:

Tổng của hai số phức liên hợp của nhau là một số thực.

Tích của hai số phức liên hợp của nhau là một số thực.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 140 sgk Giải tích 12

Thực hiện các phép chia sau:

\({{1 + i} \over {2 – 3i}};\,\,\,{{6 + 3i} \over {5i}}\)

Trả lời:

Ta có:

\(\eqalign{
& {{1 + i} \over {2 – 3i}} = {{(1 + i)(2 + 3i)} \over {(2 – 3i)(2 + 3i)}} = {{2 + 5i – 3} \over {13}} = {{ – 1} \over {13}} + {{5i} \over {13}} \cr
& {{6 + 3i} \over {5i}} = {{(6 + 3i)( – 5i)} \over {5i( – 5i)}} = {{6i – 3} \over 5} \cr} \)

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 trang 140 141 sgk Giải tích 12. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập giải tích 12 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 trang 140 141 sgk Giải tích 12 của Bài §3. Phép chia số phức trong Chương 4. Số phức cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 trang 140 141 sgk Giải tích 12
Giải bài 1 2 3 4 trang 140 141 sgk Giải tích 12

1. Giải bài 1 trang 140 sgk Giải tích 12

Thực hiện các phép chia sau:

a) \( \frac{2+i}{3-2i}\);

b) \( \frac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}\);

c) \( \frac{5i}{2-3i}\);

d) \( \frac{5-2i}{i}\).

Bài giải:

Ta có:

a) \(\dfrac{{2 + i}}{{3 – 2i}} = \dfrac{{\left( {2 + i} \right)\left( {3 + 2i} \right)}}{{\left( {3 – 2i} \right)\left( {3 + 2i} \right)}} \) \(= \dfrac{{6 + 7i + 2{i^2}}}{{9 + 4}} = \dfrac{4}{{13}} + \dfrac{7}{{13}}i.\)

b) \(\dfrac{{1 + i\sqrt 2 }}{{2 + i\sqrt 3 }} = \dfrac{{\left( {1 + i\sqrt 2 } \right)\left( {2 – i\sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 + i\sqrt 3 } \right)\left( {2 – i\sqrt 3 } \right)}}\)

\(= \dfrac{{ 2 + \left( {2\sqrt 2 – \sqrt 3 } \right)i – \sqrt 6 {i^2}}}{{4 + 3}} \) \(= \dfrac{{ 2 + \sqrt 6 }}{7} + \dfrac{{2\sqrt 2 – \sqrt 3 }}{7}i.\)

c) \(\dfrac{{5i}}{{2 – 3i}} = \dfrac{{5i\left( {2 + 3i} \right)}}{{\left( {2 – 3i} \right)\left( {2 + 3i} \right)}}\) \( = \dfrac{{10i + 15{i^2}}}{{4 + 9}} = – \dfrac{{15}}{{13}} + \dfrac{{10}}{{13}}i.\)

d) \(\dfrac{{5 – 2i}}{i} = \dfrac{{\left( {5 – 2i} \right)i}}{{{i^2}}} \) \(= – \left( {5i – 2{i^2}} \right) = -2 – 5i.\)

2. Giải bài 2 trang 140 sgk Giải tích 12

Tìm nghịch đảo \( \frac{1}{z}\) của số phức \(z\), biết:

a) \(z = 1 + 2i\);

b) \(z = \sqrt2 – 3i\);

c) \(z = i\);

d) \(z = 5 + i\sqrt3\).

Bài giải:

Cho số phức \(z=a+bi, \, \, (a, \, \, b \in R).\) Khi đó nghịch đảo của số phức \(z\) là: \(\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{a + bi}} = \dfrac{{a – bi}}{{\left( {a + bi} \right)\left( {a – bi} \right)}} = \dfrac{{a – bi}}{{{a^2} + {b^2}}}.\)

Do đó:

a) \(z = 1 + 2i\)

⇒ \( \frac{1}{1+2i}=\frac{1-2i}{1+2^2} =\frac{1-2i}{5}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i.\)

b) \(z = \sqrt2 – 3i\)

⇒ \( \frac{1}{\sqrt{2}-3i}=\frac{\sqrt{2}+3i}{(\sqrt{2})^{2}+(-3)^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{11}+\frac{3}{11}i\)

c) \(z = i\)

⇒ \( \frac{1}{i}=\frac{-i}{1}=-i\)

d) \(z = 5 + i\sqrt3\)

⇒ \(\frac{1}{5+i\sqrt{3}}=\frac{5-i\sqrt{3}}{5^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\frac{5}{28}-\frac{\sqrt{3}}{28}i\)

3. Giải bài 3 trang 140 sgk Giải tích 12

Thực hiện các phép tính sau:

a) \(2i(3 + i)(2 + 4i)\);

b) \( \frac{(1+i)^{2}(2i)^{3}}{-2+i}\)

c) \(3 + 2i + (6 + i)(5 + i)\);

d) \(4 – 3i + \frac{5+4i}{3+6i}\).

Bài giải:

Ta có:

a) \(2i(3 + i)(2 + 4i) = 2i(2 + 14i) = -28 + 4i\)

b) \( \frac{(1+i)^{2}(2i)^{3}}{-2+i}\) \( =\frac{2i(-8i)}{-2+i}=\frac{16(-2-i)}{5}=-\frac{32}{5}-\frac{16}{5}i\)

c) \(3 + 2i + (6 + i)(5 + i) = 3 + 2i + 29 + 11i = 32 + 13i\)

d) \( 4 – 3i + \frac{5+4i}{3+6i}\) = \(4 – 3i + \frac{(5+4i)(3-6i)}{45}\) = \(4 – 3i + \frac{39}{45}-\frac{18}{45}i\)

\(= (4 + \frac{39}{45}\)) \(- (3 + \frac{18}{45}\))i = \( \frac{219}{45}-\frac{153}{45}i\)

4. Giải bài 4 trang 141 sgk Giải tích 12

Giải các phương trình sau:

a) \((3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i\);

b) \((1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z\);

c) \( \frac{z}{4-3i} + (2 – 3i) = 5 – 2i\).

Bài giải:

a) Ta có \((3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i \Leftrightarrow (3 – 2i)z = 7 + 3i – 4 – 5i\)

\(\Leftrightarrow (3-2i)z=3-2i \Leftrightarrow z = \dfrac{3-2i}{3-2i} \Leftrightarrow z = 1\).

Vậy \(z = 1\).

b) Ta có \((1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z \\ \Leftrightarrow (1 + 3i)z -(2 + i)z = (2 + 5i)\)

\(\Leftrightarrow (1 + 3i – 2 – i)z = 2 + 5i \\ \Leftrightarrow (-1 + 2i)z = 2 + 5i\)

\(\Leftrightarrow z = \dfrac{2 + 5i}{-1+2i} \\ \Leftrightarrow z=\dfrac{(2+5i)(-1-2i)}{1^2+2^2}\\\Leftrightarrow z=\dfrac{-2-4i-5i-10i^{2}}{5} \\ \Leftrightarrow z=\dfrac{8-9i}{5} =\dfrac{8}{5}-\dfrac{9}{5}i\)

Vậy \(z =\dfrac{8}{5}-\dfrac{9}{5}i.\)

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}
\;\;\dfrac{z}{{4 – 3i}} + 2 – 3i = 5 – 2i\\
\Leftrightarrow \;\dfrac{z}{{4 – 3i}} = 5 – 2i – 2 + 3i\\
\Leftrightarrow \;\dfrac{z}{{4 – 3i}} = 3 + i\\
\Leftrightarrow z = \left( {3 + i} \right)\left( {4 – 3i} \right)\\
\Leftrightarrow z = 12 – 5i – 3{i^2}\\
\Leftrightarrow z = 15 – 5i.
\end{array}\)

Vậy \(z=15-5i.\)

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 12 với giải bài 1 2 3 4 trang 140 141 sgk Giải tích 12!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“