Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 trang 142 143 sgk Giải tích 12

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §4. Phương trình bậc hai với hệ số thực, Chương 4. Số phức, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 trang 142 143 sgk Giải tích 12 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 12.

Lý thuyết

1. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Các căn bậc hai của số thực $a<0$ là $\pm i\sqrt a.$

Xét phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ với $a,b,c\in \mathbb{R},a\ne0.$

Đặt $\Delta=b^2-4ac$:

Nếu $\Delta=0$ thì phương trình có một nghiệm kép (thực) $x=-\frac{b}{2a}.$

Nếu $\Delta>0$ thì phương trình có hai nghiệm thực $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt \Delta}{2a}.$

Nếu $\Delta<0$ thì phương trình có hai nghiệm phức ${x_{1,2}} = \frac{{ – b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}.$

Nhận xét:

Trên $\mathbb{C}$, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

Tổng quát, mọi phương trình bậc $n$ $(n\in\mathbb{N}^*)$đều có $n$ nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phải phân biệt).

2. Ví dụ minh họa

Trước khi đi vào giải bài 1 2 3 4 5 trang 142 143 sgk Giải tích 12, chúng ta hãy tìm hiểu các ví dụ điển hình sau đây:

Ví dụ 1:

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) $\,\,{z^2} + 2z + 5 = 0$

b) ${z^3} + 8 = 0$

c) $z^3-27=0$

d) $\,\,{z^4} – {z^3} + 6{z^2} – 8z – 16 = 0$

Bài giải:

a) $\,\,{z^2} + 2z + 5 = 0$

Ta có: ${\Delta ‘} = – \,4 = 4{i^2} \Rightarrow z = – 1 \pm 2i$

Vậy phương trình có 2 nghiệm: $z=-1+2i;z=-1-2i.$

b) ${\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {z^3} + 8 = 0 \Leftrightarrow (z + 2)({z^2} – 2z + 4) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = – 2\\ {z^2} – 2z + 4 = 0\,(*) \end{array} \right.$

Giải (*):

Ta có: $\Delta ‘ = – 3 = 3{i^2}$. Vậy (*) có hai nghiệm phức: $z = 1 \pm \sqrt 3 i.$

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: $z=-2;z=1+\sqrt 3i;z=1-\sqrt3i.$

c) ${z^3} – 27 = 0 \Leftrightarrow \left( {z – 3} \right)\left( {{z^2} + 3z + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 3\\ {z^2} + 3z + 9 = 0\,(*) \end{array} \right.$

Giải (*):

Ta có: $\Delta = – 27 = 27i^2$. Vậy (*) có hai nghiệm phức: $z =\frac{-3\pm 3\sqrt3i}{2}.$

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: $z=3;z=\frac{-3+3\sqrt3i}{2};z=\frac{-3-3\sqrt3i}{2}.$

d) $\,\,{z^4} – {z^3} + 6{z^2} – 8z – 16 = 0 \Leftrightarrow (z + 1)(z – 2)({z^2} + 8) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = – 1\\ z = 2\\ z = \pm 2\sqrt 2 i \end{array} \right.$

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) $\,\,({z^2} – z)(z + 3)(z + 2) = 10$

b) $\,\,{(z + 3)^4} + {(z + 5)^4} = 2$

c) $\,\,{({z^2} + 3z + 6)^2} + 2z({z^2} + 3z + 6) – 3{z^2} = 0$

Bài giải:

a) $\,\,({z^2} – z)(z + 3)(z + 2) = 10$

$\Leftrightarrow {\left( {{z^2} – 2z} \right)^2} + 7\left( {{z^2} – 2z} \right) + 10 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} – 2z = – 2\\ {z^2} – 2z = – 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 1 \pm i\\ z = 1 \pm 2i \end{array} \right..$

b) $\,\,{(z + 3)^4} + {(z + 5)^4} = 2$

Đặt ${\rm{t}} = z + {\rm{4}}$, khi đó phương trình trở thành:

${(t – 1)^4} + {(t + 1)^4} = 2 \Leftrightarrow {t^4} + 6{t^2} = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {t^2} = 0\\ {t^2} + 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = \pm \sqrt 6 i \end{array} \right.$

Với ${\rm{t }} = {\rm{ }}0 \Rightarrow z = – 4.$

Với ${\rm{t }} = {\rm{ }}\sqrt[{}]{6}i \Rightarrow z = – 4 + \sqrt[{}]{6}i.$

Với ${\rm{t }} = {\rm{ – }}\sqrt[{}]{6}i \Rightarrow z = – 4 – \sqrt[{}]{6}i.$

c) $\,\,{({z^2} + 3z + 6)^2} + 2z({z^2} + 3z + 6) – 3{z^2} = 0$

Đặt $t = {z^2} + 3z + 6$, khi đó phương trình trở thành:

${t^2} + 2zt – 3{z^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = z\\ t = – 3z \end{array} \right.$

Với $t = z \Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = z \Leftrightarrow z = – 1 \pm \sqrt 5 i.$
Với $t = – 3z \Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = – 3z \Leftrightarrow z = – 3 \pm \sqrt 3.$

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Giải tích 12.

Câu hỏi

Trả lời câu hỏi trang 141 sgk Giải tích 12

Thế nào là căn bậc hai của số thực dương $a$?

Trả lời:

Căn bậc hai của một số thực dương $a$ là một số thực $b$ sao cho $b^2 = a$.

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 trang 142 143 sgk Giải tích 12. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập giải tích 12 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 trang 142 143 sgk Giải tích 12 của Bài §4. Phương trình bậc hai với hệ số thực trong Chương 4. Số phức cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 trang 142 143 sgk Giải tích 12

1. Giải bài 1 trang 142 sgk Giải tích 12

Tìm các căn bậc hai phức của các số sau:

$-7; -8; -12; -20; -121$.

Bài giải:

Căn bậc hai của $-7$ là $± i\sqrt7$ ;

Căn bậc hai của $-8$ là $± i2\sqrt2$ ;

Căn bậc hai của $-12$ là $± i2\sqrt3$;

Căn bậc hai của $-20$ là $± i2\sqrt5$ ;

Căn bậc hai của $-121$ là $± 11i$.

2. Giải bài 2 trang 143 sgk Giải tích 12

Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) $ – 3{z^2} +2z – 1 = 0$;

b) $7{z^2} + {\rm{ }}3z + 2 = 0$;

c) $5{z^2} -7z+ 11= 0$.

Bài giải:

a) Ta có $∆’ = 1^2-(-3).(-1)=1 – 3 = -2$.

Căn bậc hai của $\Delta’$ là $ \pm i\sqrt 2 $

Vậy nghiệm của phương trình là $z_{1,2}$= $ \dfrac{1\pm i\sqrt{2}}{3}$

b) Ta có $∆ =3^2-4.7.2= 9 – 56 = -47$.

Căn bậc hai của $\Delta$ là $ \pm i\sqrt {47}$

Vậy nghiệm của phương trình là $z_{1,2}$ = $ \dfrac{-3\pm i\sqrt{47}}{14}$;

c) Ta có $∆ = 49 – 4.5.11 = -171$.

Căn bậc hai của $\Delta$ là $ \pm i\sqrt {171}$

Vậy nghiệm của phương trình là $z_{1,2}$ = $ \dfrac{7\pm i\sqrt{171}}{10}$

3. Giải bài 3 trang 143 sgk Giải tích 12

Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) ${z^4} + {z^2}-6= 0$;

b) ${z^4} + 7{z^2} + 10 = 0$.

Bài giải:

a) Đặt $t = z^2$ , ta được phương trình:

${t^2} + t – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = – 3\end{array} \right.$

Khi $t = 2 \Rightarrow {z^2} = 2 \Rightarrow z = \pm \sqrt 2 $.

Khi $t = – 3 \Rightarrow {z^2} = – 3 \Rightarrow z = \pm i\sqrt 3 $

Vậy phương trình có bốn nghiệm là: $± \sqrt2$ và $± i\sqrt3$.

b) Đặt $t = z^2$ , ta được phương trình:

${t^2} + 7t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – 2\\t = – 5\end{array} \right.$

Khi $t = -2 \Rightarrow {z^2} =- 2 \Rightarrow z = \pm i\sqrt 2 $.

Khi $t = – 5 \Rightarrow {z^2} = – 3 \Rightarrow z = \pm i\sqrt 5 $

Vậy phương trình có bốn nghiệm là: $± i\sqrt2$ và $± i\sqrt5$.

4. Giải bài 4 trang 143 sgk Giải tích 12

Cho $a, b, c \in \mathbb R$, $a \ne 0$, $z_1$ và $z_2$ là hai nghiệm (thực hoặc phức) của phương trình $a{z^2} + {\rm{ }}bz{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0$. Hãy tính ${z_1} + {z_2}$ và${z_1} {z_2}$ theo các hệ số $a, b, c$.

Bài giải:

Yêu cầu của bài toán này là kiểm chứng định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức.

♦ Trường hợp $∆ ≥ 0$, theo định lí vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$

♦ Trường hợp $∆ < 0$, gọi $\delta$ là một căn bậc hai của $\Delta$, khi đó các nghiệm của phương trình là:

$\begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ – b + \delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ – b – \delta }}{{2a}}\\\Rightarrow {x_1} + {x_2} = \frac{{ – b + \delta – b – \delta }}{{2a}} = \frac{{ – b}}{a}\\\,\,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = \frac{{\left( { – b + \delta } \right)\left( { – b – \delta } \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} – {\delta ^2}}}{{4{a^2}}}= \frac{{{b^2} – \left( {{b^2} – 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}\end{array}$.

Vậy kết quả của định lí Vi-et vẫn đúng trong trường hợp $∆ < 0$.

5. Giải bài 5 trang 143 sgk Giải tích 12

Cho $z = a + bi$ là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận $z$ và $ \overline{z}$ làm nghiệm.

Bài giải:

♦ Cách 1:

Một phương trình bậc hai nhận $z$ và $ \overline{z}$ làm nghiệm là

$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\left( {x – z} \right)\left( {x – \overline z } \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} – x.\overline z + x.z + z.\overline z = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} – \left( {z + \overline z } \right)x + z.\overline z = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} – \left( {a + bi + a – bi} \right) + \left( {a + bi} \right)\left( {a – bi} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} – 2ax + {a^2} + {b^2} = 0
\end{array}$

Vậy một phương trình bậc hai cần tìm là ${x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0$

♦ Cách 2:

Ta có:

$\begin{array}{l}
z + \overline z = a + bi + a – bi = 2a\\
z.\overline z = \left( {a + bi} \right)\left( {a – bi} \right) = {a^2} + {b^2}
\end{array}$

$\Rightarrow z,\overline{z}$ là nghiệm của phương trình ${x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0$.

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 trang 140 141 sgk Giải tích 12

Bài tiếp theo:

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 12 với giải bài 1 2 3 4 5 trang 142 143 sgk Giải tích 12!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“