Nội Dung
Hướng dẫn giải Bài §2. Hàm số lũy thừa, Chương 2. Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và Hàm số lôgarit, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 trang 61 62 sgk Giải tích 12 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 12.
Lý thuyết
1. Khái niệm hàm số luỹ thừa
Hàm số luỹ thừa là hàm số có dạng \(y=x^{\alpha}\), trong đó \(\alpha\) là một hằng số tuỳ ý.
Từ định nghĩa các luỹ thừa, ta thấy:
– Hàm số \(y=x^n\) với $n$ nguyên dương, xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
– Hàm số \(y=x^n\), với $n$ nguyên âm hoặc $n = 0$, xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
– Hàm số \(y=x^{\alpha}\), với \(\alpha\) không nguyên, có tập xác định là tập hợp các số thực dương \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Người ta chứng minh được rằng hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.
Chú ý: Theo định nghĩa, đẳng thức \(\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\) chỉ xảy ra nếu \(x>0\) do đó, hàm số \(y=x^\frac{1}{n}\) không đồng nhất với hàm số \(y = \sqrt[n]{x}(n \in {\mathbb{N}^*})\). Chẳng hạn, hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\) là hàm số căn bậc ba, xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\); còn hàm số luỹ thừa \(y=x^\frac{1}{3}\) chỉ xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
2. Đạo hàm của hàm số luỹ thừa
Hàm số luỹ thừa \(y = {x^\alpha }(\alpha \in \mathbb{R})\) có đạo hàm tại mọi điểm \(x>0\) và \(\left( {{x^\alpha }} \right)’ = \alpha {x^{\alpha – 1}}\).
Nếu hàm số \(u=u(x)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên \(J\) thì hàm số \(y = {u^\alpha }(x).\) cũng có đạo hàm trên \(J\) và \(\left( {{u^\alpha }\left( x \right)} \right)’ = \alpha .{u^{\alpha – 1}}(x).u'(x)\).
Chú ý:
Ta dễ dàng chứng minh công thức đạo hàm của hàm số căn bậc n sau đây: \(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)’ = \frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n – 1}}}}}}\) (với mọi \(x>0\) nếu n chẵn, với mọi \(x\ne0\) nếu n lẻ).
Nếu \(u=u(x)\) là hàm số có đạo hàm trên \(J\) và thoả mãn điều kiện \(u(x)>0\) với mọi \(x \in J\) khi n chẵn, \(u(x)\ne0\) với mọi \(x \in J\) khi n lẻ thì:
\(\left( {\sqrt[n]{{u(x)}}} \right)’ = \frac{{u'(x)}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n – 1}}(x)}}}}\,\left( {\forall x \in J} \right)\)
Nhận xét: Do \(1^\alpha =1\) với mọi \(\alpha\) nên đồ thị của mọi hàm số lũy thừa đều đi qua điểm (1;1).
3. Khảo sát hàm số lũy thừa \(y=x^{\alpha}\)
Tập xác định của hàm số lũy thừa luôn chứa khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) với mọi \(\alpha \in \mathbb{R}\).
Trong trường hợp tổng quát ta khảo sát hàm số \(y=x^{\alpha}\) trên khoảng này, ta được bảng tóm tắt sau:
Dưới đây là phần trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Giải tích 12.
Câu hỏi
1. Trả lời câu hỏi 1 trang 58 sgk Giải tích 12
Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của các hàm số sau và nêu nhận xét về tập xác định của chúng:
\(y = {x^2};\,y = {x^{{1 \over 2}}};\,y = {x^{ – 1}}\)
Trả lời:
– Đồ thị của hàm số \(y = {x^2}\) là đường màu đỏ.
– Đồ thị của hàm số \(y = {x^{{1 \over 2}}}\) là đường màu xanh.
– Đồ thị của hàm số \(y = {x^{ – 1}}\) là đường màu tím.
Ta có:
– Tập xác định của hàm số \(y = {x^2}\) là $R$.
– Tập xác định của hàm số \(y = {x^{{1 \over 2}}}\) là $[0,+∞)$.
– Tập xác định của hàm số \(y = {x^{ – 1}}\) là $R$\{$0$}.
2. Trả lời câu hỏi 2 trang 58 sgk Giải tích 12
Tính đạo hàm của các hàm số: \(y = {x^{{{ – 2} \over 3}}};\,\,y = {x^\pi };\,\,y = {x^{\sqrt 2 }}\)
Trả lời:
Ta có:
\(\eqalign{
& y = {x^{{{ – 2} \over 3}}} = – {2 \over 3}.{x^{({{ – 2} \over 3} – 1)}} = {{ – 2} \over 3}.{x^{{{ – 5} \over 3}}} \cr
& y = {x^\pi } = \pi .{x^{\pi – 1}} \cr
& y = {x^{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 .{x^{\sqrt 2 – 1}} \cr} \)
3. Trả lời câu hỏi 3 trang 59 sgk Giải tích 12
Tính đạo hàm của hàm số $y = (3x^2– 1)^{(-\sqrt 2)}$.
Trả lời:
$y’ = ((3x^2– 1)^{(-\sqrt 2)})’$
$= {-\sqrt 2}.(3x^2– 1)^{(-\sqrt 2-1)}.(3x^2– 1)’$
$= {-\sqrt 2}.(3x^2– 1)^{(-\sqrt 2-1)}.6x$
$= {-6\sqrt 2}x.(3x^2– 1)^{(-\sqrt 2-1)}.$
Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 trang 61 62 sgk Giải tích 12. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Bài tập
Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập giải tích 12 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 trang 61 62 sgk Giải tích 12 của Bài §2. Hàm số lũy thừa trong Chương 2. Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và Hàm số lôgarit cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
1. Giải bài 1 trang 61 sgk Giải tích 12
Tìm tập xác định của hàm số sau:
a) $y=(1-x)^{-\frac{1}{3}}$;
b) $y=(2-x^{2})^{\frac{3}{5}}$;
c) $y=(x^{2}-1)^{-2}$;
d) $y=(x^{2}-x-2)^{\sqrt{2}}$.
Bài giải:
a) \(y= \left ( 1-x \right )^{\frac{-1}{3}}\) có \(n = – \dfrac{1}{3} \notin Z\) xác định khi và chỉ khi \(1-x > 0 ⇔ x< 1\).
Vậy \(D=(-∞; 1)\).
b) \(y= \left ( 2-x^{2} \right )^{\frac{3}{5}}\) có \(n = \dfrac{3}{5} \notin Z\) xác định khi và chỉ khi \(2-x^2> 0 ⇔ -\sqrt{2} < x <\) \(\sqrt{2}\).
Vậy \(D= \left( {-\sqrt{2}}; {\sqrt{2}}\right)\).
c) \(y= \left ( x^{2}-1 \right )^{-2}\) có \(n = – 2 \in {Z^ – }\) xác định khi và chỉ khi \(x^2-1\ne 0 ⇔ x \ne ± 1\).
Vậy \(D=\mathbb R {\rm{\backslash }} {\rm{\{ – 1;1\} }}\) .
d) \(y= \left ( x^{2}-x-2\right )^{\sqrt{2}}\) có \(n = \sqrt 2 \notin Z\) xác định khi và chỉ khi \({x^2} – x – 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < – 1\end{array} \right.\)
Vậy \(D=(-∞;-1) ∪ (2; +∞)\).
2. Giải bài 2 trang 62 sgk Giải tích 12
Tính đạo hàm của các hàm số:
a) $y=(2x^{2}-x+1)^{\frac{1}{3}}$;
b) $y=(4-x-x^{2})^{\frac{1}{4}}$;
c) $y=(3x+1)^{\frac{\prod}{2}}$;
d) $y=(5-x)^{\sqrt{3}}$.
Bài giải:
Áp dụng công thức tính đạo hàm, ta có:
a) $y’=\left [ (2x^{2}-x+1)^{\frac{1}{3}} \right ]’$
= $\frac{1}{3}(2x^{2}-x+1)^{(\frac{1}{3}-1)}(2x^{2}-x+1)’$
= $\frac{4x-1}{3.(2x^{2}-x+1)^{\frac{2}{3}}}$
b) $y’=\left [ (4-x-x^{2})^{\frac{1}{4}} \right ]’$
= $\frac{1}{4}(4-x-x^{2})^{(\frac{1}{4}-1)}(4-x-x^{2})’$
= $\frac{-2x-1}{4.(4-x-x^{2})^{\frac{3}{4}}}$
c) $y’=\left [ (3x+1)^{\frac{\prod}{2}} \right ]’$
= $\frac{\prod }{2}(3x+1)^{(\frac{\prod }{2}-1)}(3x+1)’$
= $\frac{3\prod }{2}(3x+1)^{(\frac{\prod }{2}-1)}$
d) $y’=\left [(5-x)^{\sqrt{3}} \right ]’$
= $\sqrt{3}(5-x)^{(\sqrt{3}-1)}(5-x)’$
= $-\sqrt{3}(5-x)^{(\sqrt{3}-1)}$
3. Giải bài 3 trang 62 sgk Giải tích 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) $y=x^{\frac{4}{3}}$;
b) $y=x^{-3}$.
Bài giải:
a) Hàm số \(y=x^{4\over3}\)
– Tập xác định: \(D=(0;+\infty )\).
– Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = \displaystyle{4 \over 3}{x^{{1 \over 3}}}>0,\forall x>0 \)
Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\)
– Giới hạn đặc biệt: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \).
– Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
– Bảng biến thiên:
– Đồ thị: Đồ thị hàm số qua \((1;1)\), \((2;\root 3 \of {{2^4}} )\).
b) Hàm số \(y = {x^{ – 3}}\)
– Tập xác định: \(D=\mathbb ℝ \backslash {\rm{\{ }}0\} \).
– Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = – 3{x^{ – 4}} < 0,\forall x \in D\)
Hàm nghịch biến trong khoảng \((-∞;0)\) và \((0; +∞)\).
– Giới hạn đặc biệt:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} y = – \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 0 \cr }\)
– Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận đứng, trục hoành làm tiệm cận ngang.
– Bảng biến thiên:
– Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua điểm \((-1;-1)\), \((1;1)\), \(\left( {2;{1 \over 8}} \right)\), \(\left( {-2;{-1 \over 8}} \right)\). Hàm số đồ thị đã cho là hàm số lẻ nên đối xứng qua gốc tọa độ.
4. Giải bài 4 trang 62 sgk Giải tích 12
Hãy so sánh các số sau với 1:
a) $(4,1)^{2,7}$;
b) $(0,2)^{0,3}$;
c) $(0,7)^{3,2}$;
d) $\sqrt{3}^{0,4}$.
Bài giải:
a) Ta có: \(1 = {\left( {4,1} \right)^0}\)
Vì \(\left\{ \matrix{ 4,1 > 1 \hfill \cr 2,7 > 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow {\left( {4,1} \right)^{2,7}} > {\left( {4,1} \right)^0} = 1\)
b) Ta có: \(1 = {\left( {0,2} \right)^0}\)
Vì \(\left\{ \matrix{ 0,2 < 1 \hfill \cr 0,3 > 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow {\left( {0,2} \right)^{0,3}} < {\left( {0,2} \right)^0} = 1\)
c) Ta có: \(1 = {\left( {0,7} \right)^0}\)
Vì \(\left\{ \matrix{ 0,7 < 1 \hfill \cr 3,2 > 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow {\left( {0,7} \right)^{3,2}} < {\left( {0,7} \right)^0} = 1\)
d) Ta có: \(1 = {\left( {\sqrt 3 } \right)^0}\)
Vì \(\left\{ \matrix{ \sqrt 3 > 1 \hfill \cr 0,4 > 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow {\left( {\sqrt 3 } \right)^{0,4}} > {\left( {\sqrt 3 } \right)^0} = 1\)
5. Giải bài 5 trang 62 sgk Giải tích 12
Hãy so sánh các cặp số sau:
a) $(3,1)^{7,2}$ và $(4,3)^{7,2}$;
b) $(\frac{10}{11})^{2,3}$ và $(\frac{12}{11})^{2,3}$;
c) $(0,3)^{0,3}$ và $(0,2)^{0,3}$.
Bài giải:
a) Vì \(7,2 > 0\) và \(3,1 < 4,3\) suy ra \(\left ( 3,1 \right )^{7,2}\) < \(\left ( 4,3 \right )^{7,2}\).
b) Vì \(2,3 > 0\) và \(\dfrac{10}{11}\) < \(\dfrac{12}{11}\) suy ra \(\left ( \dfrac{10}{11} \right )^{2,3}\) < \(\left ( \dfrac{12}{11} \right )^{2,3}\).
c) Vì \(0,3 > 0\) và \(0,3 > 0,2\) suy ra \(\left ( 0,3 \right )^{0,3}\) > \(\left ( 0,2 \right )^{0,3}\).
Bài trước:
Bài tiếp theo:
Xem thêm:
- Các bài toán 12 khác
- Để học tốt môn Vật lí lớp 12
- Để học tốt môn Sinh học lớp 12
- Để học tốt môn Ngữ văn lớp 12
- Để học tốt môn Lịch sử lớp 12
- Để học tốt môn Địa lí lớp 12
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 12
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 12 thí điểm
- Để học tốt môn Tin học lớp 12
- Để học tốt môn GDCD lớp 12
Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 12 với giải bài 1 2 3 4 5 trang 61 62 sgk Giải tích 12!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“