Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 5 trang 69 sgk Giải tích 12

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §3. Lôgarit, Chương 2. Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và Hàm số lôgarit, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 trang 69 sgk Giải tích 12 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 12.

Lý thuyết

1. Khái niệm lôgarit

Cho hai số thực dương $a$ và $b$ với $a\ne1$. Số $\alpha$ thỏa mãn $a^{\alpha}=b$ được gọi là lôgarit có số $a$ của $b$, kí hiệu $\log_ab=\alpha$.

Vậy: $\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a \ne 1,b > 0\\ {a^\alpha } = b \end{array} \right.$

Ví dụ:

$\log_2\sqrt{2}=\frac{1}{2}$ vì $2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}$

$\log_2\frac{1}{8}=-3$ vì $2^{-3}=\frac{1}{8}$

$\log_23=1$ vì $3^1=3$

$\log_a1=0$ vì $a^0=1$

$\log_23=x$ vì $2^x=3$

2. Các tính chất của lôgarit

a) Qui tắc tính lôgarit

Cho số thực $a$ thỏa $0< a\neq 1$, ta có các tính chất sau:

Với $b>0$: $a^{\log_ab}=b$

– Lôgarit của một tích:

Với $x_1,x_2>0$: $\log_a(x_1.x_2)=\log_ax_1+\log_ax_2$

Mở rộng với $x_1,x_2,…, x_n>0$: $\log_a(x_1.x_2….x_n)=\log_ax_1+\log_ax_2+…+\log_ax_n$

– Lôgarit của một thương

Với $x_1,x_2>0 :\ \log_a\frac{x_1}{x_2}=\log_ax_1-\log_ax_2$

Với $x> 0: \log_a\frac{1}{x}=-\log_ax$

– Lôgarit của một lũy thừa:

Với $b>0:$ $\log_ab^x=x\log_ab$

$\forall x$: $\log_aa^x=x$

b) Công thức đổi cơ số:

Cho số thực $a$ thỏa $0< a\neq 1$, ta có các tính chất sau:

$\log_ab=\frac{\log_c \ b}{\log_c \ a}$

Lấy $0 < b \ne 1$, chọn $c=b$ ta có: ${\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}$

– Với $\alpha \neq 0,b>0$: $\log_{a^\alpha }b^\beta =\frac{\beta }{\alpha }\log_ab$

– Với $\alpha \neq 0, b>0:$ $\log_{a^\alpha }b=\frac{1}{\alpha }\log_ab$

c) So sánh hai lôgarit cùng cơ số

Nếu $a>1$ thì $\log_ax>\log_ay \Leftrightarrow x>y>0$

3. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên

a) Lôgarit thập phân

Lôgarit cơ số 10 của số $x>0$ được gọi là lôgarit thập phân của $x$, kí hiệu là $\log x$ hoặc $\lg x$.

b) Lôgarit tự nhiên

Lôgarit cơ số $e$ của số $a>0$ được gọi là lôgarit tự nhiên (hay lôgarit Nê-pe) của số a, kí hiệu $\ln a.$

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Giải tích 12.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 62 sgk Giải tích 12

Tìm $x$ để:

$\eqalign{
& a)\,{2^x} = 8 \cr
& b)\,{2^x} = {1 \over 4} \cr
& c)\,{3^x} = 81 \cr
& d)\,{5^x} = {1 \over {125}} \cr} $

Trả lời:

Ta có:

$\eqalign{
& a)\,{2^x} = 8 \Leftrightarrow {2^x} = {2^3} \Leftrightarrow x = 3 \cr
& b)\,{2^x} = {1 \over 4} \Leftrightarrow {2^x} = {2^{ – 2}} \Leftrightarrow x = – 2 \cr
& c)\,{3^x} = 81 \Leftrightarrow {3^x} = {3^4} \Leftrightarrow x = 4 \cr
& d)\,{5^x} = {1 \over {125}} \Leftrightarrow {5^x} = {5^{ – 3}} \Leftrightarrow x = 3 \cr} $

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 63 sgk Giải tích 12

a) Tính ${\log _{\frac{1}{2}}}4,{\log _3}\dfrac{1}{{27}}$

b) Có các số $x,y$ nào để ${3^x} = 0,{2^{y\;}} = – 3$ hay không?

Trả lời:

Ta có:

a) ${\log _{\frac{1}{2}}}4 = – 2$ vì ${\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ – 2}} = \dfrac{1}{{{2^{ – 2}}}} = 4$

${\log _3}\dfrac{1}{{27}} = – 3$ và ${3^{ – 3}} = \dfrac{1}{{{3^3}}} = \dfrac{1}{{27}}$

b) Không có số $x,y$ nào để ${3^x} = 0,{2^{y\;}} = – 3$ vì ${3^x}\; > 0;{2^y}\; > 0$ với mọi $x,y$.

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 63 sgk Giải tích 12

Hãy chứng minh các tính chất trên:

$\eqalign{
& \log _a^1 = {\log _a}{a^0} = 0 \cr
& {\log _a}a = {\log _a}{a^1} = 1 \cr} $

Trả lời:

Ta có:

${a^{{{\log }_a}b}} = {a^\alpha }\,\,(a = {\log _a}b)$

Từ định nghĩa ta có: ${a^\alpha } = b \Rightarrow {a^{{{\log }_a}b}} = {a^\alpha } = b$

Đặt ${\log _a}{a^\alpha } = b$

Theo định nghĩa ${a^\alpha } = {a^b} \Rightarrow \alpha = b$

Vậy ${\log _a}{a^\alpha } = b = \alpha $

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 64 sgk Giải tích 12

Tính: ${4^{\log _2{{1 \over 7}}}};\,\,{(\,{1 \over {25}})^{\log _5{{1 \over 3}}}}$

Trả lời:

Ta có:

$\eqalign{
& {4^{\log _2{{1 \over 7}}}} = {2^{{2^{\log _2{{1 \over 7}}}}}} = {({2^{^{\log _2{{1 \over 7}}}}})^2} = {({1 \over 7})^2} = {1 \over 49} \cr
& {(\,{1 \over {25}})^{\log _5{{1 \over 3}}}} = {5^{ – {2^{\log _5{{1 \over 3}}}}}} = {({5^{^{\log _5{{1 \over 3}}}}})^{ – 2}} = {({1 \over 3})^{ – 2}} = 9 \cr} $

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 64 sgk Giải tích 12

Cho ${b_1} = {2^3};\,\,{b_2} = {2^5}$

Tính ${\log _2}{b_1}\, + {\log _2}{b_2};\,\,{\log _2}{b_1}{b_2}$ và so sánh các kết quả.

Trả lời:

Ta có:

$\eqalign{
& {\log _2}{b_1}\, + {\log _2}{b_2} = {\log _2}{2^3} + {\log _2}{2^5} = 3 + 5 = 8 \cr
& {\log _2}{b_1}{b_2} = {\log _2}({2^3}{.2^5}) = \log ({2^{3 + 5}}) = {\log _2}{2^8} = 8 \cr} $

Vậy ${\log _2}{b_1}\, + {\log _2}{b_2} = {\log _2}{b_1}{b_2}$

6. Trả lời câu hỏi 6 trang 65 sgk Giải tích 12

Tính:

${\log _{{1 \over 2}}}2 + 2{\log _{{1 \over 2}}}{1 \over 3} + {\log _{{1 \over 2}}}{3 \over 8}$

Trả lời:

Ta có:

$\eqalign{
& {\log _{{1 \over 2}}}2 + 2{\log _{{1 \over 2}}}{1 \over 3} + {\log _{{1 \over 2}}}{3 \over 8} \cr
& = {\log _{{1 \over 2}}}2 + {\log _{{1 \over 2}}}{1 \over 3} + {\log _{{1 \over 2}}}{1 \over 3} + {\log _{{1 \over 2}}}{3 \over 8} \cr
& = {\log _{{1 \over 2}}}(2.{1 \over 3}.{1 \over 3}.{3 \over 8}) = {\log _{{1 \over 2}}}{1 \over 12} \cr} $

7. Trả lời câu hỏi 7 trang 65 sgk Giải tích 12

Cho ${b_1} = 25;\,{b_2} = 23$. Tính ${\log _2}{b_1} – {\log _2}{b_1};\,{\log _2}{{{b_1}} \over {{b_2}}}$ và so sánh các kết quả.

Trả lời:

Ta có:

$\eqalign{
& {\log _2}{b_1} – {\log _2}{b_1} = {\log _2}{2^5} – {\log _2}{2^3} = 5 – 3 = 2 \cr
& {\log _2}{{{b_1}} \over {{b_2}}} = {\log _2}{{{2^5}} \over {{2^3}}} = {\log _2}{2^2} = 2 \cr
& \Rightarrow {\log _2}{b_1} – {\log _2}{b_1} = {\log _2}{{{b_1}} \over {{b_2}}} \cr} $

8. Trả lời câu hỏi 8 trang 66 sgk Giải tích 12

Cho $a = 4, b = 64, c = 2$. Tính ${\log _a}b;\,\,{\log _c}a;\,\,{\log _c}b$

Tìm một hệ thức liên hệ giữa ba kết quả thu được.

Trả lời:

Ta có:

$\eqalign{
& {\log _a}b = \,{\log _4}64 = 3 \cr
& {\log _c}a = {\log _2}4 = 2 \cr
& {\log _c}b = {\log _2}64 = {\log _2}{2^6} = 6 \cr
& \Rightarrow {\log _a}b = {\log _c}a = {\log _c}b \cr} $

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 trang 69 sgk Giải tích 12. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập giải tích 12 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 trang 69 sgk Giải tích 12 của Bài §3. Lôgarit trong Chương 2. Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và Hàm số lôgarit cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 trang 69 sgk Giải tích 12

1. Giải bài 1 trang 69 sgk Giải tích 12

Không sử dụng máy tính, hãy tính:

a) $\log _{2}\frac{1}{8}$;

b) $\log _{\frac{1}{4}}2$;

c) $\log _{3}\sqrt[4]{3}$;

d) $\log _{0,5}0,125$.

Bài giải:

Áp dụng công thức Lôgarit, ta có:

a) $\log _{2}\frac{1}{8}$ = $\log _{2}2^{-3}=-3$

Vậy $\log _{2}\frac{1}{8}=-3$

b) $\log _{\frac{1}{4}}2$ = $\log _{2^{-2}}2$ = $\frac{-1}{2}\log _{2}2=\frac{-1}{2}$

Hoặc dùng công thức đổi cơ số:

$log_{\frac{1}{4}}2 = \dfrac{log_{2}2}{log_{2}\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{log_{2}2^{-2}} = -\dfrac{1}{2}$.

Vậy $\log _{\frac{1}{4}}2=\frac{-1}{2}$

c) $\log _{3}\sqrt[4]{3}$ = $\log _{3}3^{\frac{1}{4}}$ = $\frac{1}{4}\log _{3}3=\frac{1}{4}$

Vậy $\log _{3}\sqrt[4]{3}=\frac{1}{4}$

d) $\log _{0,5}0,125$ = $\log _{0,5}(0,5^{3})$ = $3\log _{0,5}0,5=3$

Vậy $\log _{0,5}0,125=3$

2. Giải bài 2 trang 69 sgk Giải tích 12

Tính:

a) $4^{\log _{2}3}$;

b) $27^{\log _{9}2}$;

c) $9^{\log _{\sqrt{3}}2}$;

d) $4^{\log _{8}27}$.

Bài giải:

Áp dụng công thức Lôgarit, ta có:

a) ${4^{lo{g_2}3}} = {\left( {{2^2}} \right)^{lo{g_2}3}} = {\left( {{2^{lo{g_2}3}}} \right)^2} = {3^2} = 9$.

Vậy $4^{\log _{2}3}=9$

$\eqalign{ b) & {27^{lo{g_9}2}} = {\left( {{3^3}} \right)^{lo{g_9}2}} = {\left( {{9^{{1 \over 2}}}} \right)^{3lo{g_9}2}} \cr & = {\left( {{9^{lo{g_9}2}}} \right)^{{3 \over 2}}} = {2^{{3 \over 2}}} = 2\sqrt 2 \cr} $

Vậy $27^{\log _{9}2}=2\sqrt{2}$

c) ${9^{lo{g_{\sqrt 3 }}2}} = {\left( {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^4}} \right)^{lo{g_{\sqrt 3 }}2}} = {\left( {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^{lo{g_{\sqrt 3 }}2}}} \right)^4} = {2^4} $$= 16$

Vậy $9^{\log _{\sqrt{3}}2}=16$

d) Có ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_8}{\rm{27 = }}lo{g_{{2^3}}}{3^3} = {3 \over 3}lo{g_2}3 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{\rm{3}}$

nên ${4^{lo{g_8}27}} = {\left( {{2^2}} \right)^{lo{g_2}3}} = {\left( {{2^{lo{g_2}3}}} \right)^2} = {3^2} = 9$.

Vậy $4^{\log _{8}27}=9$

3. Giải bài 3 trang 69 sgk Giải tích 12

Rút gọn biểu thức:

a) $\log _{3}6.\log _{8}9.\log _{6}2$

b) $\log _{a}b^{2}+\log _{a^{2}}b^{4}$

Bài giải:

Từ công thức đổi cơ số suy ra $∀a,b,c > 0$ $(a,b \ne 1)$, $lo{g_a}b.{\rm{ }}lo{g_b}c{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_a}c$. Ta có:

a) $\log _{3}6.\log _{8}9.\log _{6}2$

= $\log _{8}9.\log _{3}6.\log _{6}2$

= $\log _{8}9.\log _{3}2$

= $\frac{\log _{3}2}{\log _{8}9}$

= $\frac{2\log _{3}2}{3\log _{3}2}=\frac{2}{3}$

Vậy $\log _{3}6.\log _{8}9.\log _{6}2=\frac{2}{3}$

b) $\log _{a}b^{2}+\log _{a^{2}}b^{4}$

= $2\log _{a}.\left |b \right |+2\log _{a}\left |b \right |$

= $4\log _{a}\left |b \right |$

Vậy $\log _{a}b^{2}+\log _{a^{2}}b^{4}=4\log _{a}\left |b \right |$

4. Giải bài 4 trang 69 sgk Giải tích 12

So sánh các cặp số sau:

a) $\log _{3}5$ và $\log _{7}4$;

b) $\log _{0,3}2$ và $\log _{5}3$;

c) $\log _{2}10$ và $\log _{5}30$.

Bài giải:

a) Ta có: ${\log _3}5 > {\log _3}3 = 1;$ ${\log _7}4 < {\log _7}7 = 1$.

Do đó ${\log _3}5 > 1 > {\log _7}4$ hay ${\log _3}5 > {\log _7}4$.

b) Ta có: ${\log _{0,3}}2 < {\log _{0,3}}1 = 0$ (vì $0 < 0,3 < 1$).

Lại có ${\log _5}3 > {\log _5}1 = 0$ (vì $5 > 1$).

Do đó ${\log _{0,3}}2 < 0 < {\log _5}3$ hay ${\log _{0,3}}2 < {\log _5}3$.

c) Ta có: ${\log _2}10 > {\log _2}8 = {\log _2}\left( {{2^3}} \right) = 3$

Lại có ${\log _5}30 < {\log _5}125 = {\log _5}\left( {{5^3}} \right) = 3$.

Do đó ${\log _2}10 > 3 > {\log _3}50$ hay ${\log _2}10 > {\log _3}50$.

5. Giải bài 5 trang 69 sgk Giải tích 12

a) Cho $a=\log _{30}3$, $b=\log _{30}5$. Hãy tính $\log _{30}1350$ theo a, b.

b) Cho $c=\log _{15}3$. Hãy tính $\log _{25}15$ theo c.

Bài giải:

Áp dụng công thức Lôgarit, ta được:

a) Ta có $1350 = 30.3^2 .5$ Do đó:

$\log _{30}1350=\log _{30}3^{2}.5.30$

$=\log _{30}3^{2}+\log _{30}5+\log _{30}30$

$=2\log _{30}3+\log _{30}5+1= 2a+b+1$

b) $\log _{25}15=\log _{5^{2}}15=\frac{1}{2}\log _{5}3.5=\frac{1}{2}(\log _{5}3+\log _{5}5)$

Mà theo bài ra: $c=\log _{15}3$

⇔ $c=\frac{1}{\log _{3}15}=\frac{1}{\log _{3}3.5}=\frac{1}{1+\log _{3}5}$

⇒ $\log _{3}5=\frac{1}{c}-1$

⇒ $\log _{5}3=\frac{c}{1-c}$

⇒ $\log _{25}15=\frac{1}{2}(\frac{c}{1-c}+1)=\frac{1}{2(1-c)}$

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 5 trang 61 62 sgk Giải tích 12

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 3 4 5 trang 78 79 sgk Giải tích 12

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 12 với giải bài 1 2 3 4 5 trang 69 sgk Giải tích 12!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“