Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 trang 102 103 sgk Giải tích 12

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §1. Nguyên hàm, Chương 3. Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 trang 102 103 sgk Giải tích 12 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 12.

Lý thuyết

1. Nguyên hàm và tính chất

a) Nguyên hàm

Kí hiệu $K$ là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của $\mathbb{R}.$

– Định nghĩa: Cho hàm số $f(x)$ xác định trên K.

Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên K nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in K.$

– Định lí 1: Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số $G(x) = F(x)+C$ cũng là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên K.

– Định lí 2: Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên K thì mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên K đều có dạng $F(x)+C$ với $C$ là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là $\int f(x)dx.$

Khi đó: $\int f(x)dx=F(x)+C,C\in \mathbb{R}.$

b) Tính chất

– Tính chất 1: $\int f'(x)dx=f(x)+C,C\in \mathbb{R}.$

– Tính chất 2: $\int fk(x)dx=k\int f(x)dx$ (với k là hằng số khác 0).

– Tính chất 3: $\int {\left( {f(x) \pm g(x)} \right)dx} = \int {f(x)dx} \pm \int {g(x)dx}.$

c) Sự tồn tại nguyên hàm

– Định lí 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

d) Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

♦ Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thương gặp:

$\int {kdx = kx + C,\,k \in \mathbb{R}}$

$\int {{x^\alpha }dx = \frac{1}{{1 + \alpha }}.{x^{\alpha + 1}} + C\,(\alpha \ne – 1)}$

$\int {\frac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right| + C}$

$\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x + C}$

$\int {{e^x}dx = {e^x} + C}$

$\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,(0 < a \ne 1)}$

$\int {\cos xdx = \sin x + C}$

$\int {\sin xdx = – \cos x + C}$

$\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \tan x + C}$

$\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} = – \cot x + C}$

♦ Ngoài ra còn có một số công thức thường gặp khác:

$\int {{{({\rm{ax}} + b)}^k}dx = \frac{1}{a}\frac{{{{{\rm{(ax}} + b)}^{k + 1}}}}{{k + 1}}\, + C\,,(a \ne 0,\,k \ne – 1)}$

$\int {\frac{1}{{{\rm{ax}} + b}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {{\rm{ax}} + b} \right|} + C,\,a \ne 0$

$\int {{e^{{\rm{ax}} + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{{\rm{ax}} + b}} + C}$

$\int {c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx = \frac{1}{a}\sin ({\rm{ax}} + b)} + C$

$\int {\sin ({\rm{ax}} + b)dx = – \frac{1}{a}c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)} + C$

2. Phương pháp tính nguyên hàm

a) Phương pháp đổi biến số

– Định lí 1: Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số $u = u(x)$ có đạo hàm và liên tục trên K và hàm số $y = f({\rm{u)}}$ liên tục sao cho $f[u(x)]$ xác định trên K. Khi đó nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$, tức là $\int {f(u)du = F(u) + C}$ thì $\int {f[u(x){\rm{]dx = F[u(x)] + C}}}.$

– Hệ quả: Với $u = ax + b\,(a \ne 0),$ ta có:

$\int {f(ax + b)dx} = \frac{1}{a}F(ax + b) + C$

b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

– Định lí 2: Nếu hai hàm số $u=u(x)$ và $v=v(x)$ có đạo hàm và liên tục trên K thì:

$\int {u(x)v'(x)dx} = u(x)v(x) – \int {u'(x)v(x)dx}$

Một số dạng thường gặp:

– Dạng 1: $\int {P(x).{e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,,\,\,\int {P(x)\sin ({\rm{ax}} + b)dx\,,\,\int {P(x)c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx} } }$

Cách giải: Đặt $u = P(x)\,,\,dv = {e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,$ hoặc $dv = \sin (ax + b)dx,\,\,dv = \cos (ax + b)dx.$

– Dạng 2: $\int {P(x)\ln ({\rm{ax}} + b)dx}$

Cách giải: Đặt $u = \ln ({\rm{ax}} + b)\,,\,dv = P(x)dx.$

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Giải tích 12.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 95 sgk Giải tích 12

Tìm hàm số $F(x)$ sao cho $F’(x) = f(x) $ nếu:

a) $f(x)=3x^2$ với $x ∈ (-∞; +∞)$;

b) $\displaystyle f(x) = {1 \over {{{\cos }^2 x}}}\,\,;\,\,x \in ({{ – \pi } \over 2};{\pi \over 2})$

Trả lời:

Ta có:

a) $F\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}$ vì ${\rm{ }}({x^3})'{\rm{ }} = {\rm{ }}3{x^2}$

b) $F\left( x \right){\rm{ }} = \tan x $ vì $\displaystyle \left( \tan x \right)'{\rm{ }} = {1 \over {{{\cos }^2 x}}}$

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 95 sgk Giải tích 12

Hãy tìm thêm những nguyên hàm khác của các hàm số nêu trong Ví dụ 1.

Trả lời:

– Vì $F\left( x \right) = {x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2x$ trên $\mathbb{R}$ nên ta cũng có một số nguyên hàm khác của $f\left( x \right) = 2x$ là ${x^2} + 1,{x^2} – 2,{x^2} + \sqrt 2 ,…$

Tổng quát: $F\left( x \right) = {x^2} + C,C \in \mathbb{R}$ là họ nguyên hàm của $f\left( x \right) = 2x$.

– Vì $F\left( x \right) = \ln x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nên ta cũng có một số nguyên hàm khác của $f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}$ là $\ln x + 1,\ln x – 3,\ln x + \dfrac{1}{2},…$

Tổng quát: $F\left( x \right) = \ln x + C,C \in \mathbb{R}$ là họ nguyên hàm của $f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}$.

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 95 sgk Giải tích 12

Hãy chứng minh Định lí 1.

Trả lời:

Vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nên $(F(x))’ = f(x)$.

Vì $C$ là hằng số nên $(C)’ = 0$.

Ta có:

$(G(x))’ = (F(x) + C)’ = (F(x))’ + (C)’ = f(x) + 0 = f(x)$

Vậy $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$.

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 97 sgk Giải tích 12

Hãy chứng minh Tính chất 3.

Trả lời:

Gọi $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$, $G\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $g\left( x \right)$.

Ta có $f\left( x \right) = F’\left( x \right),g\left( x \right) = G’\left( x \right)$.

Suy ra $\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx} $ $ = \int {\left[ {F’\left( x \right) \pm G’\left( x \right)} \right]dx} $ $ = \int {\left[ {F\left( x \right) \pm G\left( x \right)} \right]’dx} $ $ = F\left( x \right) \pm G\left( x \right) + C$

Lại có $\int {f\left( x \right)dx} \pm \int {g\left( x \right)dx} $ $ = \int {F’\left( x \right)dx} \pm \int {G’\left( x \right)dx} $ $ = F\left( x \right) \pm G\left( x \right) + C$.

Vậy $\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} \pm \int {g\left( x \right)dx} $ (đpcm)

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 98 sgk Giải tích 12

Lập bảng theo mẫu dưới đây rồi dùng bảng đạo hàm trang 77 và trong SGK Đại số và Giải tích 11 để điền vào các hàm số thích hợp vào cột bên phải.

$f’\left( x \right)$	$f\left( x \right) + C$
$0$
$\alpha {x^{\alpha – 1}}$
$\dfrac{1}{x}$
${e^x}$
${a^x}\ln a\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$
$\cos x$
$ – \sin x$
$\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}$
$ – \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}$

Trả lời:

$f’\left( x \right)$	$f\left( x \right) + C$
$0$	$C$
$\alpha {x^{\alpha – 1}}$	${x^\alpha } + C$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln \left\| x \right\| + C$
${e^x}$	${e^x} + C$
${a^x}\ln a\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$	${a^x} + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$ – \sin x$	$\cos x + C$
$\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}$	$\tan x + C$
$ – \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}$	$\cot x + C$

6. Trả lời câu hỏi 6 trang 100 sgk Giải tích 12

a) Cho $\smallint {\left( {x{\rm{ }} – {\rm{ }}1} \right)^{10}}dx$. Đặt $u = x – 1$, hãy viết ${\left( {x{\rm{ }} – {\rm{ }}1} \right)^{10}}dx$ theo $u$ và $du$.

b) $\displaystyle \int {{{\ln x} \over x}} dx$. Đặt $x=e^t$, hãy viết $\displaystyle\int {{{\ln x} \over x}} dx$ theo $t$ và $dt$

Trả lời:

a) Ta có: $u = x – 1 \Rightarrow x=u+1 $ $\Rightarrow dx= (u+1)’du=du$

$\Rightarrow {\left( {x{\rm{ }} – {\rm{ }}1} \right)^{10}}dx{\rm{ }} = {\rm{ }}{u^{10}}du{\rm{ }}$

b) Ta có: $x = {e^t} $ $ \Rightarrow dx = \left( {{e^t}} \right)’dt = {e^t}dt$

Do đó: $\displaystyle{{\ln x} \over x}dx = {{\ln ({e^t})} \over {{e^t}}}{e^t}dt = tdt$

7. Trả lời câu hỏi 7 trang 101 sgk Giải tích 12

Ta có: $\left( {xcosx} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}cosx{\rm{ }}-{\rm{ }}xsinx $ hay $ – {\rm{ }}xsinx{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {xcosx} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}cosx.$

Hãy tính: $\smallint {\rm{ }}\left( {xcosx} \right){\rm{ }}dx$ và $\smallint {\rm{ }}cosxdx$

Từ đó tính $\smallint {\rm{ }}xsinxdx.$

Trả lời:

Ta có: $\int {\left( {x\cos x} \right)’dx} = x\cos x + {C_1}$ và $\int {\cos xdx} = \sin x + {C_2}$

Do đó $\int {x\sin xdx} = – \int { – x\sin xdx} $ $ = – \int {\left[ {\left( {x\cos x} \right)’ – \cos x} \right]dx} $ $ = – \int {\left( {x\cos x} \right)’dx} + \int {\cos xdx} $ $ = – x\cos x – {C_1} + \sin x + {C_2}$ $ = – x\cos x + \sin x + C$.

8. Trả lời câu hỏi 8 trang 102 sgk Giải tích 12

Cho $P(x)$ là đa thức của $x$. Từ Ví dụ 9, hãy lập bảng theo mẫu dưới đây rồi điền $u$ và $dv$ thích hợp vào chỗ trống theo phương pháp nguyên phân hàm từng phần.

	$\int {P\left( x \right){e^x}dx} $	$\int {P\left( x \right)\cos xdx} $	$\int {P\left( x \right)\ln xdx} $
$u$	$P\left( x \right)$
$dv$	${e^x}dx$

Trả lời:

	$\int {P\left( x \right){e^x}dx} $	$\int {P\left( x \right)\cos xdx} $	$\int {P\left( x \right)\ln xdx} $
$u$	$P\left( x \right)$	$P\left( x \right)$	$\ln x$
$dv$	${e^x}dx$	$\cos xdx$	$P\left( x \right)dx$

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 trang 102 103 sgk Giải tích 12. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập giải tích 12 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 trang 102 103 sgk Giải tích 12 của Bài §1. Nguyên hàm của hàm số trong Chương 3. Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 trang 102 103 sgk Giải tích 12

1. Giải bài 1 trang 102 sgk Giải tích 12

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?

a) $e^{-x}$ và $-e^{-x}$;

b) $\sin 2x$ và $\sin^{2} x$;

c) $(1-\frac{2}{x})^{2}e^{x}$ và $(1-\frac{4}{x})e^{x}$.

Bài giải:

Ta có:

a) $e^{-x}$ và $- e^{-x}$ là nguyên hàm của nhau, vì:

$({e^{ – x}})’= {e^{ – x}}\left( { – 1} \right)= – {e^{ – x}}$ và $( – {e^{ – x}})’ = \left( { – 1} \right)( – {e^{ – x}}) = {e^{ – x}}$

b) $sin^2x$ là nguyên hàm của $sin2x$, vì:

$\left( {si{n^2}x} \right)'{\rm{ }} = {\rm{ }}2sinx.\left( {sinx} \right)’ = 2sinxcosx = sin2x$

c) $(1-\dfrac{4}{x})e^{x}$ là một nguyên hàm của $(1-\dfrac{2}{x})^{2}e^{x}$ vì:

$({(1-\dfrac{4}{x})e^{x})}’$ $= \dfrac{4}{x^{2}}e^{x}+(1-\dfrac{4}{x})e^{x}$$= \left (1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{x^{2}} \right )e^{x}$ $= (1-\dfrac{2}{x})^{2}e^{x}.$

2. Giải bài 2 trang 102 sgk Giải tích 12

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

a) $\small f(x)=\frac{x+\sqrt{x}+1}{^{\sqrt[3]{x}}}$.

b) $f(x)=\frac{2^{x}-1}{e^{x}}$.

c) $f(x)=\frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}$.

d) $f(x) = sin5x.cos3x$.

e) $f(x) = tan^2x$.

g) $f(x) = e^{3-2x}$.

h) $f(x)=\frac{1}{(1+x)(1-2x)}$.

Bài giải:

a) Điều kiện $x>0$. Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:

$f(x) = \dfrac{x+x^{\frac{1}{2}}+1}{x^{\frac{1}{3}}} \\= x^{1-\frac{1}{3}}+ x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}+ x^{-\frac{1}{3}}\\ = x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}}.$

$\Rightarrow ∫f(x)dx = ∫(x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}})dx \\= \dfrac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+ \dfrac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}+\dfrac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} +C.$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}\;\;f\left( x \right) = \dfrac{{{2^x} – 1}}{{{e^x}}} = {\left( {\dfrac{2}{e}} \right)^x} – {e^{ – x}}.\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{{\left( {\dfrac{2}{e}} \right)}^x} – {e^{ – x}}} \right)} dx\\= \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{e}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\dfrac{2}{e}} \right)}} + {e^{ – x}} + C = \dfrac{{{2^x}}}{{{e^x}\left( {\ln 2 – 1} \right)}} + \dfrac{1}{{{e^x}}} + C\\= \dfrac{{{2^x} + \ln 2 – 1}}{{{e^x}\left( {\ln 2 – 1} \right)}} + C.\end{array}$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}\;\;f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} \\= \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} } dx\\ = – \cot x + \tan x + C = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} – \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} + C\\ = \dfrac{{{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x}}{{\sin x.\cos x}} + C = \dfrac{{ – \cos 2x}}{{\dfrac{1}{2}\sin 2x}} + C = – 2\cot2 x + C.\end{array}$

d) Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta có:

$\begin{array}{l}f\left( x \right) = \sin 5x.\cos 3x = \dfrac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right).\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\dfrac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{2}\left( { – \dfrac{1}{8}\cos 8x – \dfrac{1}{2}\cos 2x} \right) + C\\ = – \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{4}\cos 8x + \cos 2x} \right) + C.\end{array}$

e) Ta có:

$\begin{array}{l}\;\;f\left( x \right) = {\tan ^2}x = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1} \right)dx}\\ = \tan x – x + C.\end{array}$

g) Ta có:

$\begin{array}{l}\;\;f\left( x \right) = {e^{3 – 2x}}.\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = } \int {{e^{3 – 2x}}dx} \\= – \dfrac{1}{2}\int {{e^{3 – 2x}}\left( {3 – 2x} \right)’dx} = – \dfrac{1}{2}{e^{3 – 2x}} + C.\end{array}$

h) Ta có :

$f\left( x \right) = \dfrac{1}{{\left( {1 + x} \right)\left( {1 – 2x} \right)}} = \dfrac{1}{{3\left( {x + 1} \right)}} + \dfrac{2}{{3\left( {1 – 2x} \right)}}.$

$\Rightarrow \int \dfrac{dx}{(1+x)(1-2x)}=\dfrac{1}{3}\int (\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{2}{1-2x})dx \\= \dfrac{1}{3}(ln\left | 1+x \right |)-ln\left | 1-2x \right |)+C\\ = \dfrac{1}{3}ln\left | \dfrac{1+x}{1-2x} \right | +C.$

3. Giải bài 3 trang 103 sgk Giải tích 12

Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:

a) $\int (1-x)^{9}dx$ đặt $u=1-x$

b) $\int x(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}dx$ đặt $u=1+x^{2}$

c) $\int \cos ^{3}x\sin xdx$ đặt $t=\cos x$

d) $\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}$ đặt $u=e^{x}+1$

Bài giải:

a) ♦ Cách 1: Đặt $u = 1 – x \Rightarrow du= -dx$. Khi đó ta được $-\int u^{9}du = -\dfrac{1}{10}u^{10}+C$

Suy ra $\int(1-x)^{9}dx=-\dfrac{(1-x)^{10}}{10}+C$

♦ Cách 2: $\smallint {\left( {1 – x} \right)^9}dx = – \smallint {\left( {1 – x} \right)^{9}}d\left( {1 – x} \right)=$ $-\dfrac{(1-x)^{10}}{10} +C$

b) $\;\;\int {x{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}dx} .$

♦ Cách 1: Đặt $u = 1 + {x^2} \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{1}{2}du.$

$ \Rightarrow \int {\dfrac{1}{2}{u^{\dfrac{3}{2}}}du =\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{u^{\dfrac{3}{2} + 1}}}}{{\dfrac{3}{2} + 1}} + C = \dfrac{{{u^{\dfrac{5}{2}}}}}{5} + C =\dfrac{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{\dfrac{5}{2}}}}}{5}} +C.$

♦ Cách 2: $\int x(1+x^{2})^{\dfrac{3}{2}}dx= \dfrac{1}{2}\int (1+x^{2})^{\dfrac{3}{2}}d(1+x^2{}) \\= \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{5}(1+x^{2})^{\dfrac{5}{2}}+C = \dfrac{1}{5}.(1+x^{2})^{\dfrac{5}{2}}+C$

c) $\;\;{\cos ^3}x.\sin xdx.$

♦ Cách 1: Đặt: $t = {\mathop{\rm cosx}\nolimits} \Rightarrow dt = – sinxdx.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int {{{\cos }^3}x.{\mathop{\rm sinxdx}\nolimits} } = \int { – {t^3}du} \\ = – \dfrac{1}{4}{t^4} + C = – \dfrac{1}{4}{\cos ^4}x + C.\end{array}$

♦ Cách 2: $∫cos^3xsinxdx = -∫cos^3xd(cosx)\\= -\dfrac{1}{4}.cos^{4}x + C.$

d) $\;\;\int {\dfrac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}} + 2}}.} $

♦ Cách 1:

Ta có: ${e^x} + {e^{ – x}} + 2 = {e^x} + \dfrac{1}{{{e^x}}} + 2 = \dfrac{{{e^{2x}} + 2{e^x} + 1}}{{{e^x}}} = \dfrac{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}{{{e^x}}}.$

$ \Rightarrow \dfrac{1}{{{e^x} + {e^{ – x}} + 2}} = \dfrac{{{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}.$

Đặt $u = {e^x} + 1 \Rightarrow du = {e^x}dx.$

$\int {\dfrac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}} + 2}}} = \int {\dfrac{{{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}dx} $ $ = \int {\dfrac{{du}}{{{u^2}}}} = – \dfrac{1}{u} + C = – \dfrac{1}{{{e^x} + 1}} + C$

♦ Cách 2: $\int \dfrac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2} = \int \dfrac{e^{x}}{e^{2x}+2e^{x}+1}dx\\ = \int \dfrac{d(e^{x}+1)}{(e^{x}+1)^{2}}dx=\dfrac{-1}{e^{x}+1} + C.$

4. Giải bài 4 trang 103 sgk Giải tích 12

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) $∫x\ln (1+x)dx$;

b) $\int {({x^2} + 2x – 1){e^x}dx}$

c) $∫x\sin(2x+1)dx$;

d) $\int (1-x)\cos xdx$

Bài giải:

a) $\;\;\int {x\ln \left( {1 + x} \right)dx.} $

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = xdx\end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{{x + 1}}dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right..$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int {x\ln \left( {1 + x} \right)dx = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) – \int {\dfrac{{{x^2}}}{{2\left( {x + 1} \right)}}dx} } \\ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) – \dfrac{1}{2}\int {\left( {\dfrac{{{x^2} – 1}}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) – \dfrac{1}{2}\int {\left( {x – 1 + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) – \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} – x + \ln \left( {1 + x} \right)} \right) + C\\ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) – \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{x}{2} – \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 + x} \right) + C\\= \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} – 1} \right)\ln \left( {1 + x} \right) – \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{x}{2} + C.\end{array}$

b) $\;\int {\left( {{x^2} + 2x – 1} \right){e^x}dx.} $

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} + 2x – 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {2x + 2} \right)dx\\v = {e^x}\end{array} \right..$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\left( {{x^2} + 2x – 1} \right){e^x}dx = \left( {{x^2} + 2x – 1} \right){e^x} – \int {\left( {2x + 2} \right){e^x}dx} } \\ = \left( {{x^2} + 2x – 1} \right){e^x} – 2\int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx} .\end{array}$

Xét $\int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx:} $

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right..$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx} = \left( {x + 1} \right){e^x} – \int {{e^x}dx} \\ = \left( {x + 1} \right){e^x} – {e^x} + C = x{e^x} + C.\\ \Rightarrow \int {\left( {{x^2} + 2x – 1} \right){e^x}dx} = \left( {{x^2} + 2x – 1} \right){e^x} – 2x{e^x} + C\\ = \left( {{x^2} – 1} \right){e^x} + C.\end{array}$

c) $\;\;\int {x\sin \left( {2x + 1} \right)dx} .$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin \left( {2x + 1} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = – \dfrac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right)\end{array} \right..$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int {x\sin \left( {2x + 1} \right)dx} = – \dfrac{1}{2}x\cos \left( {2x + 1} \right) + \dfrac{1}{2}\int {\cos \left( {2x + 1} \right)dx} \\ = – \dfrac{1}{2}x\cos \left( {2x + 1} \right) + \dfrac{1}{4}\sin \left( {2x + 1} \right) + C.\end{array}$

d) $\;\;\int {\left( {1 – x} \right)\cos xdx} $

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = 1 – x\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = – dx\\v = \sin x\end{array} \right..$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \int {\left( {1 – x} \right)\cos xdx} = \left( {1 – x} \right)\sin x + \int {\sin xdx} \\= \left( {1 – x} \right)\sin x – \cos x + C.\end{array}$

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 114 115 sgk Giải tích 12

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 12 với giải bài 1 2 3 4 trang 102 103 sgk Giải tích 12!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“

\(f’\left( x \right)\)	\(f\left( x \right) + C\)
\(0\)
\(\alpha {x^{\alpha – 1}}\)
\(\dfrac{1}{x}\)
\({e^x}\)
\({a^x}\ln a\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)
\(\cos x\)
\( – \sin x\)
\(\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
\( – \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)

\(f’\left( x \right)\)	\(f\left( x \right) + C\)
\(0\)	\(C\)
\(\alpha {x^{\alpha – 1}}\)	\({x^\alpha } + C\)
\(\dfrac{1}{x}\)	\(\ln \left\| x \right\| + C\)
\({e^x}\)	\({e^x} + C\)
\({a^x}\ln a\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)	\({a^x} + C\)
\(\cos x\)	\(\sin x + C\)
\( – \sin x\)	\(\cos x + C\)
\(\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)	\(\tan x + C\)
\( – \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)	\(\cot x + C\)

	\(\int {P\left( x \right){e^x}dx} \)	\(\int {P\left( x \right)\cos xdx} \)	\(\int {P\left( x \right)\ln xdx} \)
\(u\)	\(P\left( x \right)\)
\(dv\)	\({e^x}dx\)

	\(\int {P\left( x \right){e^x}dx} \)	\(\int {P\left( x \right)\cos xdx} \)	\(\int {P\left( x \right)\ln xdx} \)
\(u\)	\(P\left( x \right)\)	\(P\left( x \right)\)	\(\ln x\)
\(dv\)	\({e^x}dx\)	\(\cos xdx\)	\(P\left( x \right)dx\)