Hướng dẫn Giải bài 1 2 3 4 trang 49 50 sgk Đại số 10

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài §3. Hàm số bậc hai, Chương II. Hàm số bậc nhất và bậc hai, sách giáo khoa Đại số 10. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 trang 49 50 sgk Đại số 10 cơ bản bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 10.

Lý thuyết

1. Định nghĩa

Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng $y = a{x^2} + bx + c$ trong đó a, b, c là các hằng số cho trước và $a \ne 0$.

Tập xác định của hàm số bậc hai là $R$.

Hàm số $y=ax^2$ (a khác 0) mà chúng ta đã học ở lớp dưới là một hàm số bậc hai có đồ thị là một Parabol.

2. Đồ thị hàm số bậc hai

a) Nhắc lại về đồ thị $y=ax^2(a\ne0)$

Đồ thị luôn đi qua gốc tọa độ $O(0;0).$

Parabol đối xứng nhau qua trục tung.

Parabol hướng lên trên khi a dương, và hướng xuống dưới khi a âm.

b) Đồ thị hàm số $y=ax^2+bx+c(a\ne0)$

Ta biết rằng:

$\begin{array}{l} a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + 2\frac{b}{{2x}} + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right) – \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + c\\ = a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} – \frac{{{b^2} – 4ac}}{{4a}} \end{array}$

Vì vậy, nếu đặt: $\Delta = {b^2} – 4ac;p = – \frac{b}{{2a}};q = – \frac{\Delta }{{4a}}$

Thì hàm số $y=ax^2+bx+c(a\ne0)$ trở thành $y = a{\left( {x – p} \right)^2} + q$

Kết luận:

Đồ thị hàm số $y=ax^2+bx+c(a\ne0)$ là một Parabol có đỉnh $I\left( { – \frac{b}{{2a}}; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)$, nhận đường thẳng $x = – \frac{b}{{2a}}$ làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên khi a dương, bề lõm xuống dưới khi a âm.

3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai

Khi $a>0$ hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – \frac{b}{{2a}}} \right)$, đồng biến trên khoảng $\left( { – \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)$ và có giá trị nhỏ nhất là $ – \frac{\Delta }{{4a}}$ khi $x = – \frac{b}{{2a}}.$

Khi $a<0$ hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – \frac{b}{{2a}}} \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( { – \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)$ và có giá trị lớn nhất là $ – \frac{\Delta }{{4a}}$ khi $x = – \frac{b}{{2a}}.$

Dưới đây là phần trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số 10.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 42 sgk Đại số 10

Nhắc lại các kết quả đã biết về đồ thị của hàm số $y = ax^2$.

Trả lời:

Đồ thị hàm số $y = ax^2$ là một parabol:

Nằm phía trên trục hoành nếu $a > 0$ và nhận điểm $O(0;0)$ làm điểm thấp nhất.

Nằm phía dưới trục hoành nếu $a < 0$ và nhận điểm $O(0;0)$ làm điểm cao nhất.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 45 sgk Đại số 10

Vẽ parabol $y = -2x^2 + x + 3$.

Trả lời:

Đỉnh $I(1/4; 28/5)$

Trục đối xứng là đường thẳng $x = 1/4$

Giao điểm với trục $Oy$ là điểm $(0;3)$

Giao điểm với trục $Ox$ là điểm $(3/2;0)$ và $(-1;0)$

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 trang 49 50 sgk Đại số 10 cơ bản. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số 10 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 trang 49 50 sgk Đại số 10 cơ bản của Bài §3. Hàm số bậc hai trong Chương II. Hàm số bậc nhất và bậc hai cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 trang 49 50 sgk Đại số 10

1. Giải bài 1 trang 49 sgk Đại số 10

Xác định tọa độ của đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của một parabol:

a) $y = x^{2} – 3x + 2$

b) $y = -2x^{2} + 4x – 3$

c) $y = x^{2} – 2x$

d) $y = -x^{2} + 4$

Bài giải:

a) $y = {x^2} – 3x + 2$.

Hệ số: $a = 1, b = – 3, c = 2$.

Hoành độ đỉnh $x_1$= $-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}.$

Tung độ đỉnh $y_1$ = $-\frac{\Delta }{4a}=\frac{4.2.1-(-3)^{2}}{4.1}=-\frac{1}{4}.$

Vậy đỉnh parabol là $I(\frac{3}{2};-\frac{1}{4})$.

Giao điểm của parabol với trục tung là $A(0; 2)$.

Hoành độ giao điểm của parabol với trục hoành là nghiệm của phương trình:

$x^2- 3x + 2 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.$

Vậy các giao điểm của parabol với trục hoành là $B(1; 0)$ và $C(2; 0)$.

b) $y = – 2{x^2} + {\rm{ }}4x – 3$

Hệ số: $a=-2;b=4;c=-3$

Hoành độ đỉnh $x_1$= $-\frac{b}{2a}=1$

Tung độ đỉnh $y_1$ = $-\frac{\Delta }{4a}=\frac{4.(-2).(-3)-4^{2}}{4.(-2)}=-1.$

Vậy đỉnh parabol là $I(1;-1)$.

Giao điểm với trục tung $A(0;- 3)$.

Phương trình $- 2x^2+ 4x – 3 = 0$ vô nghiệm. Không có giao điểm của parabol với trục hoành.

c) $y= {x^2} – 2x$

Hệ số: $a = 1; b = -2; c = 0$

Hoành độ đỉnh $x_1$= $-\frac{b}{2a}=1$

Tung độ đỉnh: $y_1$ = $-\frac{\Delta }{4a}=-1.$

Đỉnh $I(1;- 1)$.

Giao điểm của đồ thị với trục tung là: $A(0; 0)$

Các giao điểm với trục hoành là: $A(0; 0), B(2; 0)$.

d) $y = – {x^2} + 4$

Hệ số: $a = – 1; b = 0; c = 4$

Hoành độ đỉnh $x_1$= $-\frac{b}{2a}=0$

Tung độ đỉnh: $y_1$ = $-\frac{\Delta }{4a}=4.$

Đỉnh $I(0;4)$.

Giao điểm của đồ thị với trục tung là: $A(0; 4)$

Các giao điểm với trục hoành là: $A(-2; 0), B(2; 0)$.

2. Giải bài 2 trang 49 sgk Đại số 10

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số.

a) $y = 3x^2- 4x + 1$; b) $y = – 3x^2 + 2x – 1$;

c) $y = 4x^2- 4x + 1$; d) $y = – x^2 + 4x – 4$;

e) $y = 2x^2+ x + 1$; f) $y = – x^2 + x – 1$.

Bài giải:

a) Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Hoành độ đỉnh ${x_0} = – \frac{b}{{2a}} = \frac{2}{3} \Rightarrow {y_0} = – \frac{1}{3}$

Đỉnh $I\left( {\frac{2}{3}; – \frac{1}{3}} \right)$

Trục đối xứng: $x = \frac{2}{3}$

Giao điểm với $Oy$ là $A(0;1)$

b) Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đỉnh $I\left( {\frac{1}{3}; – \frac{2}{3}} \right)$

Trục đối xứng: $x = \frac{1}{3}$

Giao điểm với $Oy$ là $A(0;-1)$

c) Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đỉnh $I\left( {\frac{1}{2};0} \right)$

Trục đối xứng: $x = \frac{1}{2}$

Giao điểm với $Oy$ là $A(0;1)$

d) Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đỉnh $I\left( {2;0} \right)$

Trục đối xứng: $x = 2$

Giao điểm với $Oy$ là $A(0;-4)$

e) Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đỉnh $I\left( { – \frac{1}{4};\frac{7}{8}} \right)$

Trục đối xứng: $x = – \frac{1}{4}$

Giao điểm với $Oy$ là $A(0;1)$

f) Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đỉnh $I\left( {\frac{1}{2}; – \frac{3}{4}} \right)$

Trục đối xứng: $x = \frac{1}{2}$

Giao điểm với $Oy$ là $A(0;-1)$

3. Giải bài 3 trang 49 sgk Đại số 10

Xác định parabol $y = ax^{2} + bx + 2$, biết rằng parabol đó:

a) Đi qua hai điểm $M(1; 5)$ và $N(-2; 8)$

b) Đi qua hai điểm $A(3; -4)$ và có trục đối xứng là $x = \frac{-3}{2}$

c) Có đỉnh là $I(2; -2)$

d) Đi qua điểm $B(-1; 6)$ và tung độ của đỉnh là $\frac{-1}{4}$

Bài giải:

a) Vì parabol đi qua $M(1; 5)$ nên tọa độ của $M$ là nghiệm đúng phương trình của parabol:

$5 = a.1^2+ b.1 + 2$.

Tương tự, với $N(- 2; 8)$ ta có:

$8 = a.(- 2)^2 + b.(- 2) + 2$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} a+b+2=5\\ 4a-2b+2=8 \end{matrix}\right.$

Ta được $a = 2, b = 1$.

Parabol có phương trình là: $y = 2x^2 + x + 2$.

b) Vì parabol đi qua hai điểm $A(3;- 4)$ nên tọa độ $A$ là nghiệm đúng phương trình của parabol:

$a(3)^{2}+b.3+2=-4$

Parabol có trục đối xứng là $x=-\frac{3}{2}$ nên ta có:

$-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} -\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}\\a(3)^{2}+b.3+2=-4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-\frac{1}{3}\\ b=-1 \end{matrix}\right.$

Phương trình parabol cần tìm là: $y = -\frac{1}{3} x^2- x + 2$.

c) Parabol có đỉnh $I(2;- 2)$ do đó tọa độ $I$ là nghiệm đúng phương trình của parabol:

$a.2^2+b.2+2=-2$

Parabol có đỉnh $I(2;- 2)$ nên parabol có trục đối xứng là: $x=2$ do đó:

$ -\frac{b}{2a}=2$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} -\frac{b}{2a}=2\\a.2^2+b.2+2=-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-4 \end{matrix}\right.$

Phương trình parabol cần tìm là: $y = x^2- 4x + 2$.

d) Vì parabol đi qua điểm $B(- 1; 6)$ nên tọa độ $B$ là nghiệm đúng phương trình của parabol:

$a(-1)^{2}+b(-1)+2=6$

Parabol có tung độ của đỉnh là $-\frac{1}{4}$ nên ta có:

${ – \frac{\Delta }{{4a}}}=-\frac{1}{4} $

Khi đó ta có hệ phương trình sau:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
6 = a{\left( { – 1} \right)^2} + b.\left( { – 1} \right) + 2\\
– \frac{\Delta }{{4a}} = – \frac{1}{4}
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a – b = 4\\
{b^2} – 4ac = a
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4 + b\\
{b^2} – 9a = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4 + b\\
{b^2} – 9\left( {4 + b} \right) = 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4 + b\\
{b^2} – 9b – 36 = 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = – 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 16\\
b = 12
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}$

Phương trình parabol cần tìm là: $y = 16x^2+ 12x + 2$ hoặc $y = x^2- 3x + 2$.

4. Giải bài 4 trang 50 sgk Đại số 10

Xác định $a, b, c$ biết parabol $y = ax^{2} + bx + c$ đi qua điểm $A(8 ; 0)$ và có đỉnh là $I(6 ; -12).$

Bài giải:

Parabol đi qua điểm $A(8; 0)$ nên tọa độ điểm $A$ là nghiệm đúng phương trình của parabol ta có:

$a.8^2+b.8+c=0$

Parabol có đỉnh $I(6; – 12)$ nên ta có:

$ -\frac{b}{2a} =6 $

${ – \frac{\Delta }{{4a}}}=\frac{4ac-b^{2}}{4a} =-12 $

Ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} a(8)^{2}+b(8)+c=0\\ -\frac{b}{2a} =6 \\\frac{4ac-b^{2}}{4a} =-12 \end{matrix}\right.$

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
64a + 8b + c = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\
12a + b = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\
4ac – {b^2} + 48a = 0\,\,\,\,\left( 3 \right)
\end{array} \right.\\
\left( 2 \right) \Rightarrow b = – 12a\\
\Rightarrow \left( 3 \right):\,\,4ac – 144{a^2} + 48a = 0\,\\ \Leftrightarrow c = \frac{{144{a^2} – 48a}}{{4a}} = 36a – 12\,\,\left( 4 \right)
\end{array}$

Thay (2) và (4) vào (1) ta được:

$\begin{array}{l}
64a + 8.\left( { – 12a} \right) + 36a – 12 = 0\\
\Leftrightarrow 64a – 96a + 36a – 12 = 0\\
\Leftrightarrow a = 3
\end{array}$

Khi đó $b = -36$ ; $c= 96$

Phương trình parabol cần tìm là: $y = 3x^2- 36x + 96$.

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 trang 41 42 sgk Đại số 10

Bài tiếp theo:

Ôn tập chương II: Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 trang 50 51 sgk Đại số 10

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 10 với giải bài 1 2 3 4 trang 49 50 sgk Đại số 10!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“