Nội Dung
Hướng dẫn giải Bài Ôn tập Chương III. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 trang 107 108 109 sgk Đại số và Giải tích 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số và giải tích có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.
Lý thuyết
1. §1. Phương pháp quy nạp toán học
2. §2. Dãy số
Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 trang 107 108 109 sgk Đại số và Giải tích 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Bài tập Ôn tập chương III
Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số và giải tích 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 trang 107 108 109 sgk Đại số và Giải tích 11 của Bài Ôn tập Chương III. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
1. Giải bài 1 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11
Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm?
Trả lời:
Xét cấp số cộng \((u_n)\) với \(u_{n+1}= u_n+ d\)
Ta có: \(u_{n+1}– u_n= d\)
Nếu \(d > 0\Rightarrow u_{n+1}> u_n\)
Nếu \(d < 0\Rightarrow u_{n+1}< u_n\)
Vậy cấp số cộng \((u_n)\)tăng nếu \(d > 0\); giảm nếu \(d < 0\)
2. Giải bài 2 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho cấp số nhân có \(u_1< 0\) và công bội \(q\). Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau:
a) \(q > 0\)?
b) \(q < 0\)?
Trả lời:
Ta có: \(u_n=u_1q^{n-1}\)
a) Nếu \(\left\{ \matrix{q > 0 \hfill \cr {u_1} < 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow {u_n} < 0,\forall n\)
b) Nếu \(\left\{ \matrix{q < 0 \hfill \cr {u_1} < 0 \hfill \cr} \right.\)
Thì \(u_n< 0\) khi \(n – 1\) chẵn và \(u_n> 0\) khi \(n – 1\) lẻ.
3. Giải bài 3 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng. Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành một cấp số cộng không? Vì sao? Cho ví dụ minh họa.
Trả lời:
Gọi \((u_n)\) và \((a_n)\) là hai cấp số cộng có công sai lần lượt là \(d_1\) và \(d_2\)và có cùng \(n\) số hạng.
Ta có:
\(u_n= u_1+ (n-1)d_1\)
\(a_n= a_1+ (n-1)d_2\)
\(\Rightarrow u_n+ a_n= u_1 +a_1+ (n – 1).(d_1+ d_2)\)
Vậy \(u_n+ a_n\) là cấp số cộng có số hạng đầu là \(u_1+a_1\) và công sai là \(d_1+d_2\)
Ví dụ:
\(2, 4, 6, 8 ,…\) là cấp số cộng có công sai \(d_1= 2\)
\(0, 5, 10, 15,…\) là cấp số cộng có công sai \(d_2= 5\)
\(⇒ 2, 9, 16, 23 ,…\) là cấp số cộng có công sai là \(d = d_1+d_2= 2 + 5 = 7\).
4. Giải bài 4 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho hai cấp số nhân có cùng số các số hạng. Tính các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.
Trả lời:
Ta có \((a_n)\) là cấp số nhân và \((b_n)\) là cấp số nhân tương ứng.
Ta có:
\({a_n} = {a_1}.{q_1}^{n – 1},{q_1}\) là hằng số
\({b_n} = {b_1}.{q_1}^{n – 1},{q_2}\) là hằng số
Khi đó: \({a_n}.{b_n} = = {a_1}.{q_1}^{n – 1}.{b_1}.{q_1}^{n – 1} = ({a_1}{b_1}){({q_1}{q_2})^{n – 1}}\)
Vậy dãy số \(a_nb_n\) là một cấp số nhân có công bội : \(q = q_1.q_2\)
Ví dụ:
\(1, 5, 25 ,…\) là cấp số nhân có công bội \(q_1= 5\)
\(3, 9, 27, …\) là cấp số nhân có công bội \(q_2= 3\)
Suy ra: \(3, 45, 675…\) là cấp số nhân có công bội: \(q = q_1q_2= 5.3 = 15\).
5. Giải bài 5 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11
Chứng minh rằng với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\), ta có:
a) \(13^n-1\) chia hết cho 6;
b) \(3n^3+ 15n\) chia hết cho 9.
Bài giải:
a) Với \(n = 1\), ta có:
\(13^1– 1 = 13– 1 = 12 ⋮ 6\)
Giả sử: \((13^k- 1) ⋮ 6\) với mọi \(k ≥ 1\)
Ta chứng minh: \(13^{k+1}– 1\) chia hết cho \(6\)
Thật vậy:
\({13^{k + 1}}-1= {13^{k + 1}}-{13^k} + {13^k} – 1 = {12.13^k} + {13^k}-1\)
Vì : \(12.13^k ⋮ 6\) và \((13^k– 1) ⋮ 6\) (theo giả thiết quy nạp)
\(\Rightarrow (13^{k+1}– 1) ⋮ 6\)
Vậy \((13^n-1)\) chia hết cho 6
b) Với \(n = 1\), ta có: \(3.1^3+ 15.1 = 18 ⋮ 9\)
Giả sử: \((3k^3+ 15k) ⋮ 9\).
Ta chứng minh: \([3(k + 1)^3+ 15(k + 1)] ⋮ 9\)
Thật vậy:
\(3{\left( {k + 1} \right)^3} + 15\left( {k + 1} \right) \)
\(= 3.({k^3} + 3{k^2} + 3k + 1) + 15\left( {k + 1} \right)\)
\(= 3k^3+ 9k^2+ 9k + 15k + 18\)
\(= 3k^3+ 15k + 9(k^2+ k + 2)\)
Vì \((3k^3 + 15k) ⋮ 9\)(theo giả thiết quy nạp) và \(9(k^2+ k + 2) ⋮ 9\)
\(\Rightarrow [3(k + 1)^3+ 15(k + 1)] ⋮ 9\)
Vậy: \(3n^3+ 15n\) chia hết cho 9 với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)
6. Giải bài 6 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_1= 2, u_{n+1} =2u_n– 1\)(với \(n ≥ 1\))
a) Viết năm số hạng đầu của dãy;
b) Chứng minh: \(u_n= 2^{n-1}+ 1\)bằng phương pháp quy nạp.
Bài giải:
a) Ta có năm số hạng đầu của dãy là:
\({u_1} = 2\)
\({u_2} = 2{u_1}-1 = 2.2-1=3\)
\({u_3} = 2{u_2}-1 = 2.3-1=5\)
\({u_4} = 2{u_3} – 1 = 2.5-1=9\)
\({u_5} = 2{u_4}-1 = 2.9-1=17\)
b) Với \(n = 1\), ta có: \(u_1= 2^{1-1}+ 1 = 2\) công thức đúng.
Giả sử công thức đúng với \(n = k\)
Hay \({u_k} = {2^{k – 1}} + 1\)
Ta chứng minh công thức cũng đúng với \(n = k + 1\)
Hay là ta cần phải chứng minh \({u^{k + 1}} = {2^{\left( {k + 1} \right) – 1}} + 1 = {2^k} + 1\)
Ta có: \({u_{k + 1}} = 2{u_k} – 1 = 2({2^{k – 1}} + 1) – 1 = {2.2^{k – 1}} + 2-1 = {2^k} + 1\) (đpcm)
Vậy \(u_n= 2^{n-1}+ 1\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\).
7. Giải bài 7 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số \((u_n)\), biết:
a) \({u_n} = n + {1 \over n}\);
b) \({u_n} = {( – 1)^n}\sin {1 \over n}\);
c) \({u_n} = \sqrt {n + 1} – \sqrt n \).
Bài giải:
a) Xét hiệu:
$u_{n +1} -u_{n}= \left ( n+1+\frac{1}{n+1} \right ) – \left ( n+\frac{1}{n+1} \right )$
\(= 1 + \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n} = \frac{n^{2}+n-1}{n(n+1)},n \in {N^*}\)
Vậy \(u_n\) là dãy số tăng (1)
Ta lại có: \({u_n} = n + {1 \over n} \ge 2\sqrt {n.{1 \over n}} = 2,\forall n \in {N^*}\)
Nên \(u_n\) là dãy số bị chặn dưới (2)
Ta thấy khi \(n\) càng lớn thì \(u_n\) càng lớn nên \(u_n\) là dãy số không bị chặn trên (3)
Từ (1), (2), (3) ta có \(u_n\) là dãy số tăng và bị chặn dưới.
b) Ta có:
\(u_1= (-1)^0sin1 = sin 1 > 0\)
$u_{2}=(-1)^{1}.sin\frac{1}{2}=-sin\frac{1}{2}<0$
$u_{3}=(-1)^{2}.sin\frac{1}{3}=sin\frac{1}{3}>0$
$\Rightarrow u_{1}> u_{2}$và $u_2< u_3$
Vậy \(u_n\) là dãy số tăng không đơn điệu.
Ta lại có:\(\eqalign{ & |{u_n}| = |{( – 1)^{n – 1}}.\sin {1 \over n}| = |\sin {1 \over n}| \le 1 \cr \Leftrightarrow – 1 \le {u_n} \le 1 \cr} \)
Vậy \(u_n\) là dãy số bị chặn và không đơn điệu.
c) Ta có:
\({u_n} = \sqrt {n + 1} – \sqrt n = {{n + 1 – n} \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)
Xét hiệu:
$u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{\sqrt{(n+1)+1}+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
$=\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
Ta có:
\(\left\{ \matrix{ \sqrt {n + 2} > \sqrt {n + 1} \hfill \cr \sqrt {n + 1} > \sqrt n \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} > \sqrt {n + 1} + \sqrt n \)
\(\Rightarrow {1 \over {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} < {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)
\(\Rightarrow {u_{n + 1}} – {u_n} < 0\)
$\Rightarrow u_{n}$là dãy số giảm (1)
Ta lại có: \({u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 0,\forall n \in N*\)
Suy ra: un là dãy số bị chặn dưới (2)
Ta lại có: với n ≥ 1 thì \(\sqrt {n + 1} + \sqrt n \ge \sqrt 2 + 1\)
Nên \({u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \le {1 \over {\sqrt 2 + 1}}\)
Suy ra: \(u_n\) là dãy số bị chặn trên (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: \(u_n\) là dãy số giảm và bị chặn.
8. Giải bài 8 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11
Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) của các cấp số cộng (un) biết:
a) \(\left\{ \matrix{5{u_1} + 10u_5 = 0 \hfill \cr {S_4} = 14 \hfill \cr} \right.\)
b) \(\left\{ \matrix{{u_7} + {u_{15}} = 60 \hfill \cr u_4^2 + u_{12}^2 = 1170 \hfill \cr} \right.\)
Bài giải:
a) Ta có:
\(\left\{ \matrix{ 5{u_1} + 10u_5 = 0 \hfill \cr {S_4} = 14 \hfill \cr} \right.\)
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}5u_{1}+10(u_{1}+4d)=0 & \\ \frac{4(2u_{1}+3d)}{2}=14 & \end{matrix}\right.$
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{3{u_1} + 8d = 0 \hfill \cr 2{u_1} + 3d = 7 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{u_1} = 8 \hfill \cr d = – 3 \hfill \cr} \right.\)
Vậy số hạng đầu \(u_1= 8\), công sai \(d = -3\)
b) Ta có:
\(\left\{ \matrix{ {u_7} + {u_{15}} = 60 \hfill \cr u_4^2 + u_{12}^2 = 1170 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ ({u_1} + 6d) + ({u_1} + 14d) = 60 (1) \hfill \cr {({u_1} + 3d)^2} + {({u_1} + 11d)^2} = 1170 (2) \hfill \cr} \right.\)
Giải phương trình (1) ta được:
\(2u_1+ 20d = 60 \Leftrightarrow u_1= 30 – 10d\)
Thế vào phương trình (2) ta được phương trình (2) tương đương:
\([(30 – 10d) + 3d]^2+ [(30 – 10d) + 11d]^2= 1170\)
\(\Leftrightarrow (30 – 7d)^2+ (30 + d)^2= 1170\)
\(\Leftrightarrow 900 – 420d + 49d^2+ 900 + 60d + d^2= 1170\)
\(\Leftrightarrow 50d^2– 360d + 630 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{d = 3 \Rightarrow {u_1} = 0 \hfill \cr d = {{21} \over 5} \Rightarrow {u_1} = – 12 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(\left\{ \matrix{ {u_1} = 0 \hfill \cr d = 3 \hfill \cr} \right.\)hoặc \(\left\{ \matrix{ {u_1} = – 12 \hfill \cr d = {{21} \over 5} \hfill \cr} \right.\)
9. Giải bài 9 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11
Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công bội của các cấp số nhân \((u_n)\), biết:
a) \(\left\{ \matrix{{u_6} = 192 \hfill \cr {u_7} = 384 \hfill \cr} \right.\)
b)\(\left\{ \matrix{{u_4} – {u_2} = 72 \hfill \cr {u_5} – {u_3} = 144 \hfill \cr} \right.\)
c) \(\left\{ \matrix{{u_2} + {u_5} – {u_4} = 10 \hfill \cr {u_3} + {u_6} – {u_5} = 20 \hfill \cr} \right.\)
Bài giải:
a) Ta có: \(\left\{ \matrix{ {u_6} = 192 \hfill \cr {u_7} = 384 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.{q^5} = 192 (1) \hfill \cr {u_1}.{q^6} = 384 (2) \hfill \cr} \right.\)
Lấy (2) chia (1) theo vế tương ứng ta được: \(q = 2\)
Thế vào (1) ta được
\(\Leftrightarrow u_1.2^5= 192 \Leftrightarrow u_1= 6\)
Vậy \(u_1= 6; q = 2\).
b) Ta có: \(\left\{ \matrix{ {u_4} – {u_2} = 72 \hfill \cr {u_5} – {u_3} = 144 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.{q^3} – {u_1}.q = 72 \hfill \cr {u_1}.{q^4} – {u_1}.{q^2} = 144 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.q({q^2} – 1) = 72 (1) \hfill \cr {u_1}.{q^2}({q^2} – 1) = 144 (2) \hfill \cr} \right.\)
Lấy (2) chia (1) theo vế tương ứng ta được: \(q = 2\)
Thế vào (1) ta được:
\(\Leftrightarrow 2u_1(4 – 1) = 72 \Leftrightarrow u_1= 12\)
Vậy \(u_1= 12; q = 2\)
c) Ta có: \(\left\{ \matrix{ {u_2} + {u_5} – {u_4} = 10 \hfill \cr {u_3} + {u_6} – {u_5} = 20 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.q + {u_1}.{q^4} – {u_1}.{q^3} = 10 \hfill \cr {u_1}.{q^2}+u_1.q^5-u_1.q^4 = 20 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}q(1 + {q^3} – {q^2}) = 10 (1) \hfill \cr {u_1}q^2(1 + {q^3} – {q^2}) = 20 (2) \hfill \cr} \right.\)
Lấy (2) chia (1) theo vế tương ứng ta được: \(q = 2\)
Thế vào (1) ta được:
(1) \(\Leftrightarrow 2u_1(1 + 8 – 4) = 10 \Leftrightarrow u_1= 1\)
Vậy \(u_1= 1; q = 2\)
10. Giải bài 10 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11
Tứ giác \(ABCD\) có số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự \(A, B, C, D\). Biết rằng góc \(C\) gấp bốn lần góc \(A\). Tính các góc của tứ giác.
Bài giải:
Theo giả thiết ta có: \(A, B, C, D\) là một cấp số cộng và \(\widehat C = 4\widehat A\)
Giả sử cấp số cộng tạo thành có công sai là: \(d\).
Theo tính chất của cấp số cộng ta có:
$\left\{\begin{matrix}\widehat B=\widehat A+d & \\ \widehat C=\widehat A+2d & \\ \widehat D=\widehat A+3d & \end{matrix}\right.$
\(\Rightarrow \widehat A+2d= 4\widehat A\Leftrightarrow 3\widehat A-2d=0\) (1)
Ta lại có: \(\widehat A+\widehat B+ \widehat C+\widehat D=360^0\)
\(\Leftrightarrow 4\widehat A +6d=360^0\) (2)
Ta được hệ: $\left\{\begin{matrix}3\widehat A-2d=0 & \\ 4\widehat A +6d=360^0 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}d=41,5^{0} & \\ \widehat A = 27,7^{0}=27^{0}42′ & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \widehat B=\widehat A+d=27,7^{0}+41,5^{0}=69,2^{0}=69^{0}12’$
$\Rightarrow \widehat C=\widehat A+2d=27,7^{0}+2.41,5^{0}=110,7^{0}=110^{0}42’$
$\Rightarrow \widehat D=\widehat A+3d=27,7^{0}+3.41,5^{0}=152,2^{0}=152^{0}12’$
Vậy \(\widehat A = 27^{0}42′; \widehat B = 69^{0}12′ ; \widehat C = 110^{0}42′ ; \widehat D = 152^{0}12′ \).
11. Giải bài 11 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11
Biết rằng ba số \(x, y, z\) lập thành một cấp số nhân và ba số \(x, 2y, 3z\) lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.
Bài giải:
Ba số \(x, y, z\) lập thành một cấp số nhân nên ta có:
\(y = x.q; z = y.q = x.q^2\),với q là công bội
Ba số \(x, 2y, 3z\) lập thành một cấp số cộng nên ta có:
\(x + 3z = 4y\)
\(\Leftrightarrow x + 3.(xq^2) = 4.(xq)\)
\(\Leftrightarrow x. (1 + 3q^2– 4q) = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 0\)
Hay \(3q^2– 4q + 1 = 0\)
Nếu $x = 0$thì \(x = y= z= 0\), q là một số tùy ý
Nếu \(x ≠ 0\)thì:
\(3q^2- 4q + 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ q = 1 \hfill \cr q = {1 \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Vậy công bội của cấp số nhân là $q=1$hoặc $q=\frac{1}{3}$
12. Giải bài 12 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11
Người ta thiết kế một tháp gồm $11$ tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là \(12 288\) \(m^2\). Tính diện tích mặt trên cùng.
Bài giải:
Theo đề bài, diện tích các mặt lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu:
\(u_1= 12 288\) \(m^2\) và công bội \(q = {1 \over 2}\)
Vậy diện tích mặt trên cùng là:
\({u_{12}} = {u_1}.{q^{12-1}} ={u_1}.{q^{11}}= 12288.{({1 \over 2})^{11}} = 6{m^2}\)
13. Giải bài 13 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11
Chứng minh rằng nếu các số \({a^2},{b^2},{c^2}\)lập thành một cấp số cộng \((abc ≠ 0)\)thì các số \({1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}\) cũng lập thành một cấp số cộng.
Bài giải:
Ta phải chứng minh: \({1 \over {b + c}} + {1 \over {a + b}} = {2 \over {c + a}}\)
Biến đổi ta có:
\({1 \over {b + c}} + {1 \over {a + b}} = {2 \over {c + a}}\)
\(\Leftrightarrow {1 \over {b + c}} – {1 \over {c + a}} = {1 \over {c + a}} – {1 \over {a + b}}\)
\(\Leftrightarrow {{c + a – b – c} \over {(c + a)(b + c)}} = {{a + b – c – a} \over {(c + a)(a + b)}}\)
\(\Leftrightarrow {{a – b} \over {b + c}} = {{b – c} \over {a + b}}\)
\(\Leftrightarrow {a^2} – {b^2} = {b^2} – {c^2}\)
$\Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 2{b^2}$
Do đó \({1 \over {b + c}} + {1 \over {a + b}} = {2 \over {c + a}}\) đúng vì \(a^2,b^2,c^2\) lập thành cấp số cộng.
Vậy \({1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}\) là cấp số cộng.
Bài tập trắc nghiệm
14. Giải bài 14 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_n= 3^n\). Hãy chọn phương án đúng:
a) Số hạng \(u_{n+1}\) bằng:
(A) \(3^n+1\) ; (B) \(3^n+ 3\) ; (C) \(3^n.3\) ; (D) \(3(n+1)\).
b) Số hạng \(u_{2n}\) bằng:
(A) \(2.3^n\) ; (B) \(9^n\) ; (C) \(3^n+ 3\) ; (D) \(6n\).
c) Số hạng \(u_{n-1}\) bằng:
(A) \(3^n-1\) ; (B) \({1\over 3}.3^n\) ; (C) \(3^n– 3\) ; (D) \(3n – 1\).
d) Số hạng \(u_{2n-1}\) bằng:
(A) \(3^2.3^n-1\) ; (B) \(3^n.3^{n-1}\) ; (C) \(3^{2n}- 1\) ; (D) \(3^{2(n-1)}\).
Trả lời:
a) Ta có: \({u_{n + 1}} = {3^{n + 1}} = {3^n}.3\)
⇒ Chọn đáp án: (C).
b) Ta có: \({u_{2n}} = {3^{2n}} = {({3^2})^n} = {9^n}\),
⇒ Chọn đáp án: (B).
c) Ta có: \({u_{n – 1}} = {3^{n – 1}} = {3^n}{.3^{ – 1}} = {{{3^n}} \over 3}\)
⇒ Chọn đáp án: (B).
d) Ta có: \({u_{2n – 1}} = {3^{2n – 1}}=3^n.3^{n-1}\)
⇒ Chọn đáp án: (B).
15. Giải bài 15 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11
Hãy cho biết dãy số \((u_n)\) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát \(u_n\) của nó là:
| (A) \({( – 1)^{n + 1}}.\sin {\pi \over n}\) ; | (B) \({( – 1)^{2n}}({5^n} + 1)\) ; |
| (C) \({1 \over {\sqrt {n + 1} + n}}\) ; | (D) \({n \over {{n^2} + 1}}\). |
Trả lời:
Xét từng phương án ta có:
Phương án (A) không được vì dãy số có chứa nhân tử \({\left( { – 1} \right)^{n + 1}}\)
Nên các số hạng sẽ có dấu (-); (+) xen kẽ, do đó, \(u_n\) không thể là dãy số tăng.
Phương án (C) :
\(\eqalign{ & {u_3} = {1 \over {\sqrt {3 + 1} + 1}} = {1 \over 3} \cr & {u_8} = {1 \over {\sqrt {8 + 1} + 1}} = {1 \over 4} \cr} \)
\(⇒ u_8 < u_3 ⇒ u_n\) không là dãy số tăng
Nên đáp án (C) sai.
Phương án (D): \({u_1} = {1 \over 2},{u_2} = {2 \over 5}\)
\(⇒ u_2< u_1⇒ u_n\) không là dãy số tăng
Vậy đáp án (D) sai.
Phương án (B):
\({u_n} = {\left( { – 1} \right)^{2n}}.({5^n} + 1) = {5^n} + 1\)
Vì 2n chẵn nên \({\left( { – 1} \right)^{2n}} = 1\)
Ta có:\({u_{n + 1}} – {u_n} =({5^{n + 1}} + 1)-({5^n} +1) = {5^{n + 1}}-{5^n}\)
\(= 5^n. (5 – 1) = 4. 5^n> 0, ∀ n ∈ {\mathbb N}^*\)
\(\Rightarrow u_n\) là dãy số tăng
⇒ Chọn đáp án: (B).
16. Giải bài 16 trang 109 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho cấp số cộng \(-2, x, 6, y\). Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
| (A) \(x = -6, y = -2\) ; | (B) \(x = 1, y = 7\) ; |
| (C) \(x = 2, y = 8\) ; | (D) \(x = 2, y = 10\). |
Trả lời:
Theo giả thiết: \(-2, x, 6, y\) là cấp số cộng.
\(\Rightarrow \left\{ \matrix{ 2x = ( – 2) + 6 \hfill \cr 2.6 = x + y \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = 10 \hfill \cr} \right.\)
⇒ Chọn đáp án: (D).
17. Giải bài 17 trang 109 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho cấp số nhân \(-4, x, -9\). Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
| \((A) x = 36\) ; | \((B) x = -6,5\) ; | \((C) x = 6\) ; | \((D) x -36\). |
Trả lời:
Ta có: \(-4, x, -9\) là ba số hạng của một cấp số nhân nên:
\(x^2= (-4). (-9) = 36\)
\(\Leftrightarrow x = 6\)
⇒ Chọn đáp án: (C).
18. Giải bài 18 trang 109 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho cấp số cộng \((u_n)\). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
(A) \({{{u_{10}} + {u_{20}}} \over 2} = {u_5} + {u_{10}}\) ;
(B) \({u_{90}} + {u_{210}} = 2{u_{150}}\) ;
(C) \({u_{10}}{u_{30}} = {\rm5{ }}{u_{20}}\) ;
(D) \({{{u_{10}}.{u_{30}}} \over 2} = {u_{20}}\).
Trả lời:
Ta có:
\(\left\{ \matrix{{u_{90}} = {u_1} + 89d \hfill \cr {u_{210}} = {u_1} + 209d \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow {u_{90}} + {u_{210}} = 2{u_1} + 298d\)
\(\Rightarrow {{{u_{90}} + {u_{210}}} \over 2} = {u_1} + 149d = {u_{150}}\)
⇒ Chọn đáp án: (B).
19. Giải bài 19 trang 109 sgk Đại số và Giải tích 11
Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân:
(A) \(\left\{ \matrix{{u_1} = 2 \hfill \cr {u_{n + 1}} = u_n^2 \hfill \cr} \right.\)
(B) \(\left\{ \matrix{{u_1} = – 1 \hfill \cr {u_{n + 1}} = 3{u_n} \hfill \cr} \right.\)
(C) \(\left\{ \matrix{{u_1} = – 3 \hfill \cr {u_{n + 1}} = {u_n} + 1 \hfill \cr} \right.\)
(D) \(7,77,777,….\underbrace {777..77}_n\)
Trả lời:
Ta có:
\(\left\{ \matrix{ {u_1} = – 1 \hfill \cr {u_{n + 1}} = 3{u_n} \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \matrix{ {u_n} \ne 0 \hfill \cr {{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = 3 \hfill \cr} \right.\)
Dãy \((u_n)\) là cấp số nhân công bội \(q = 3\).
⇒ Chọn đáp án: (B).
Bài trước:
Bài tiếp theo:
Xem thêm:
- Các bài toán 11 khác
- Để học tốt môn Vật lí lớp 11
- Để học tốt môn Sinh học lớp 11
- Để học tốt môn Ngữ văn lớp 11
- Để học tốt môn Lịch sử lớp 11
- Để học tốt môn Địa lí lớp 11
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 11
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 11 thí điểm
- Để học tốt môn Tin học lớp 11
- Để học tốt môn GDCD lớp 11
Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 trang 107 108 109 sgk Đại số và Giải tích 11!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“