Nội Dung
Hướng dẫn giải Bài Ôn tập Chương III. Phương pháp toạ độ trong không gian, sách giáo khoa Hình học 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 trang 91 92 93 sgk Hình học 12 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 12.
Lý thuyết
1. §1. Hệ tọa độ trong không gian
3. §3. Phương trình đường thẳng trong không gian
4. Các công thức định lượng của phương pháp tọa độ trong không gian
Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 trang 91 92 93 sgk Hình học 12. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Bài tập Ôn tập chương III
Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 12 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 trang 91 92 93 sgk Hình học 12 của Bài Ôn tập Chương III. Phương pháp toạ độ trong không gian cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
1. Giải bài 1 trang 91 sgk Hình học 12
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A( 1 ; 0 ; 0 ), B( 0 ; 1 ; 0 ), C( 0 ; 0 ; 1 ), D( -2 ; 1 ; -1)\).
a) Chứng minh \(A, B, C, D\) là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tìm góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\).
c) Tính độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\).
Bài giải:
a) Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\): Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có:
\((ABC)\): \({x \over 1} + {y \over 1} + {z \over 1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z – 1 = 0\)
Thế các toạ độ của \(D\) vào vế phải của phương trình mặt phẳng \((ABC)\), ta có:
\(-2 + 1 – 1 – 1 = 1 ≠ 0\)
Vậy \(D ∉ (ABC)\) hay bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng, suy ra đpcm.
b) Gọi \(α\) là góc giữa hai đường thẳng \(AB, CD\) ta có:
\(cos α =\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|\)
Do đó, ta tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \),\(\overrightarrow {CD} \) được tính theo công thức:
\(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = {{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( – 1,1,0)\), \(\overrightarrow {CD} = ( – 2,1, – 2)\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}= (-1).(-2) + 1.1 + 0.(-2) = 3\)
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{( – 1)}^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \)
\(\left| {\overrightarrow {CD} } \right| = \sqrt {{{( – 2)}^2} + {1^2} + {{( – 2)}^2}} = 3\)
\( \Rightarrow \cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = {3 \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = 45^0\) \( \Rightarrow α = 45^0\)
c) Ta có \(\overrightarrow {BC} = (0; – 1;1),\) \(\overrightarrow {BD} = ( – 2;0; – 1)\)
Gọi \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của \((BCD)\) thì:
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (-1; -2; 2)\)
Phương trình mặt phẳng \((BCD)\):
\(-1(x – 0) – 2(y – 1) + 2( z – 0) = 0\)
\( \Leftrightarrow x + 2y – 2z – 2 = 0\)
Chiều cao của hình chóp \(A.BCD\) bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((BCD)\):
\(h = d(A,(BCD)) = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( – 2)}^2}} }} = {3 \over 3} = 1\)
2. Giải bài 2 trang 91 sgk Hình học 12
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\) có đường kính là \(AB\) biết rằng \(A( 6 ; 2 ; -5), B(-4 ; 0 ; 7)\).
a) Tìm toạ độ tâm \(I\) và tính bán kính \(r\) của mặt cầu \((S)\)
b) Lập phương trình của mặt cầu \((S)\).
c) Lập phương trình của mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) tại điểm \(A\).
Bài giải:
a) Tâm \(I\) của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\):
\(\left\{ \matrix{
{x_1} = {1 \over 2}(6 – 4) \Rightarrow {x_1} = 1 \hfill \cr
{y_1} = {1 \over 2}(2 + 0) \Rightarrow {y_1} = 1 \hfill \cr
{z_1} = {1 \over 2}(7 – 5) \Rightarrow {z_1} = 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(I(1; 1; 1)\)
Bán kính \(R = {{AB} \over 2}\)
\(A{B^2} = {\rm{ }}{\left( { – 4{\rm{ }} – {\rm{ }}6} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {{\rm{ }}0{\rm{ }} – {\rm{ }}2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {7{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)^2} = {\rm{ }}248\)
\( \Rightarrow AB = \sqrt {248} = 2\sqrt {62} \)
Vậy \(R = {{AB} \over 2} = \sqrt {62} \)
b) Phương trình mặt cầu \((S)\)
\({\left( {x{\rm{ }} – {\rm{ }}1} \right)^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} – {\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {z{\rm{ }} – {\rm{ }}1} \right)^{2}} = {\rm{ }}62\)
\( \Leftrightarrow \) \({x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} – {\rm{ }}2x{\rm{ }} – {\rm{ }}2y{\rm{ }} – {\rm{ }}2z{\rm{ }} – {\rm{ }}59{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
c) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \(A\) chính là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với bán kính \(IA\). Ta có:
\(\overrightarrow {IA} = (5; 1 ; -6)\)
Phương trình mặt phẳng cần tìm là:
\(5(x – 6) + 1(y – 2) – 6(z + 5) = 0\)
\( \Leftrightarrow 5x + y – 6z – 62 = 0\)
3. Giải bài 3 trang 92 sgk Hình học 12
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A(-2 ; 6 ; 3), B(1 ; 0 ; 6), C(0; 2 ; -1), D(1 ; 4 ; 0)\).
a) Viết phương trình mặt phẳng \((BCD)\). Suy ra \(ABCD\) là một tứ diện.
b) Tính chiều cao \(AH\) của tứ diện \(ABCD\).
c) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\).
Bài giải:
a) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = (-1; 2; -7)\), \(\overrightarrow {BD}= (0; 4; -6)\)
Xét vectơ \(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]\) \( \Rightarrow \overrightarrow a = (16; – 6; – 4) = 2(8; – 3; – 2)\)
Mặt phẳng \((BCD)\) đi qua \(B\) và nhận \(\overrightarrow {a’} = (8; -3; -2)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
\(8(x – 1) -3y – 2(z – 6) = 0\) \( \Leftrightarrow 8x – 3y – 2z + 4 = 0\)
Thay toạ độ của \(A\) vào phương trình của \((BC)\) ta có:
\(8.(-2) – 3.6 – 2.6 + 4 = -42 ≠ 0\)
Điều này chứng tỏ điểm \(A\) không thuộc mặt phẳng \((BCD)\) hay bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng, và \(ABCD\) là một tứ diện.
b) Chiều cao \(AH\) là khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((BCD)\):
\(AH = d(A,(BCD))\) = \({{\left| {8.( – 2) – 3.6 – 2.3 + 4} \right|} \over {\sqrt {{8^2} + {{( – 3)}^2} + {{( – 2)}^2}} }} = {{36} \over {\sqrt {77} }}\)
c) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (3; – 6; 3)\), \(\overrightarrow {CD} = ( 1; 2; 1)\)
Mặt phẳng \((α)\) chứa \(AB\) và \(CD\) chính là mặt phẳng đi qua \(A(-2; 6; 3)\) và nhận cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {CD} \) làm cặp vectơ chỉ phương, có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]\)
\(\Rightarrow \overrightarrow n \) = \((-12; 0; 12) = -12(1; 0; -1)\)
Vậy phương trình của \((α)\) là:
\(1(x + 2) + 0(y – 6) – 1(z – 3) = 0 \)\( \Leftrightarrow x – z + 5 = 0\)
4. Giải bài 4 trang 92 sgk Hình học 12
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), lập phương trình tham số của đường thẳng:
a) Đi qua hai điểm \(A(1 ; 0 ; -3), B(3 ; -1 ; 0)\).
b) Đi qua điểm \(M(2 ; 3 ; -5)\) và song song với đường thẳng \(∆\) có phương trình.
\(\left\{ \matrix{
x = – 2 + 2t \hfill \cr
y = 3 – 4t \hfill \cr
z = – 5t. \hfill \cr} \right.\)
Bài giải:
a) Đường thẳng \(d\) qua \(A, B\) có vectơ chỉ phương \((2, -1, 3)\) nên phương trình tham số của \(d\) có dạng:
\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = – t \hfill \cr
z = – 3 + 3t \hfill \cr} \right.\)
với \(t ∈ \mathbb{R}\).
b) Đường thẳng \(d // ∆\). Mà \(\overrightarrow u (2, -4, -5)\) là vectơ chỉ phương của \(∆\) nên cũng là vectơ chỉ phương của \(d\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là:
\(\left\{ \matrix{
x = 2 + 2s \hfill \cr
y = 3 – 4s \hfill \cr
z = – 5 – 5s \hfill \cr} \right.\)
với \(s ∈ \mathbb{R}\).
5. Giải bài 5 trang 92 sgk Hình học 12
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\) có phương trình: \({(x – 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z – 1)^2} = 100\) và mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(2x – 2y – z + 9 = 0\). Mặt phẳng \((α)\) cắt mặt cầu \((S)\) theo một đường tròn \((C)\).
Hãy xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn \((C)\).
Bài giải:
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(3, -2, 1)\) và bán kính \(R = 10\).
Khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu \((S)\) đến mặt phẳng \((α)\) là:
\(d(I, α)\) = \(\left| {{{2.3 – 2.( – 2) – 1 + 9} \over {\sqrt {{2^2} + {{( – 2)}^2} + {{( – 1)}^2}} }}} \right| = {{18} \over 3} = 6\)
Vì \(d(I, α) < R\) \( \Rightarrow \) Mặt phẳng \((α)\) cắt mặt cầu \((S)\) theo đường tròn \((C)\) có phương trình \((C)\):
\(\left\{ \matrix{
2x – 2y – z + 9 = 0 \hfill \cr
{(x – 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z – 1)^2} = 100 \hfill \cr} \right.\)
Tâm \(K\) của đường tròn \((C)\) là hình chiếu vuông góc của tâm \(I\) của mặt cầu trên mặt phẳng \((α)\).
Mặt phẳng \(((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (2, -2. -1)\).
Đường thẳng \(d\) qua \(I\) và vuông góc với \((α)\) nhận \(\overrightarrow n = (2, -2, -1)\) làm vectơ chỉ phương và có phương trình \(d\) :
\(\left\{ \matrix{
x = 3 + 2t \hfill \cr
y = – 2 – 2t \hfill \cr
z = 1 – t \hfill \cr} \right.\)
Thế các biểu thức của \(x,y,z\) theo \(t\) vào phương trình của \((\alpha)\) ta được:
\(2.(3+2t)-2.(-2-2t)-(1-t)+9=0\)
\(\Rightarrow t=-2\)
Thay \(t = -2\) vào phương trình của \(d\), ta được toạ độ tâm \(K\) của đường tròn \((C)\).
\(\left\{ \matrix{
x = 3 + 2.( – 2) = – 1 \hfill \cr
y = – 2 – 2.( – 2) = 2 \hfill \cr
z = 1 – 2.( – 2) = 3 \hfill \cr} \right.\)
\( \Rightarrow K(-1; 2;3)\)
Ta có: \(I{K^2} = {\rm{ }}{\left( { – 1{\rm{ }} – {\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {3{\rm{ }} – {\rm{ }}1} \right)^2} = {\rm{ }}36\)
Bán kính \(r\) của đường tròn \((C)\) là:
\({r^2} = {\rm{ }}{R^2} – {\rm{ }}I{K^2} = {\rm{ }}{10^2} – {\rm{ }}36{\rm{ }} = {\rm{ }}64\) \( \Rightarrow r= 8\)
6. Giải bài 6 trang 92 sgk Hình học 12
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(3x + 5y – z -2 = 0\) và đường thẳng \(d\) có phương trình:
\(\left\{ \matrix{
x = 12 + 4t \hfill \cr
y = 9 + 3t \hfill \cr
z = 1 + t. \hfill \cr} \right.\)
a) Tìm giao điểm \(M\) của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((α)\).
b) Viết phương trình mặt phẳng \((β)\) chứa điểm \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(d\).
Bài giải:
a) Thay toạ độ \(x, y, z\) trong phương trình đường thẳng \(d\) vào phương trình \((α)\), ta có: \(3(12 + 4t) + 5( 9 + 3t) – (1 + t) – 2 = 0\).
\(\Rightarrow 26t + 78 = 0\) \( \Rightarrow t = – 3\) \( \Rightarrow M(0; 0; – 2)\).
b) Vectơ \(\overrightarrow u (4; 3; 1)\) là vectơ chỉ phương của \(d\). Mặt phẳng \((β)\) vuông góc với \(d\) nhận \(\overrightarrow u \) làm vectơ pháp tuyến. Vì \(M(0; 0; -2) ∈ (β)\) nên phương trình \((β)\) có dạng:
\(4(x – 0) + 3(y – 0) + (z + 2) = 0\)
hay \(4x + 3y + z + 2 = 0\)
7. Giải bài 7 trang 92 sgk Hình học 12
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho điểm \(A(-1 ; 2 ; -3)\), vectơ \(\vec a= (6 ; -2 ; -3)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình:
\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 3t \hfill \cr
y = – 1 + 2t \hfill \cr
z = 3 – 5t. \hfill \cr} \right.\)
a) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa điểm \(A\) và vuông góc với giá của \(\vec a\).
b) Tìm giao điểm của \(d\) và \((α)\).
c) Viết phương trình đường thẳng \(∆\) đi qua điểm \(A\), vuông góc với giá của \(\vec a\) và cắt đường thẳng \(d\).
Bài giải:
a) Mặt phẳng \((α)\) vuông góc với giá của \(\vec a\) nhận \(\vec a\) làm vectơ pháp tuyến; \((α)\) đi qua \(A(-1; 2; -3)\) có phương trình:
\(6(x + 1) – 2(y – 2) – 3(z + 3) = 0\) \( \Leftrightarrow 6x – 2y – 3z + 1 = 0\)
b) Thay các biểu thức của \(x, y, z\) theo \(t\) trong phương trình tham số của \(∆\) vào phương trình \((α)\) ta có:
\(6.(1 + 3t) – 2(-1 + 2t) – 3(3 – 5t) + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow t = 0\).
Từ đây ta tính được toạ độ giao điểm \(M\) của \(d\) và \((α)\): \(M(1; -1; 3)\).
c) Đường thẳng \(∆\) cần tìm chính là đường thẳng \(AM\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AM} \) làm vectơ chỉ phương: \(\overrightarrow {AM} = (2; -3; 6)\)
Phương trình đường thẳng \(AM\):
\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = – 1 – 3t \hfill \cr
z = 3 + 6t \hfill \cr} \right.\)
8. Giải bài 8 trang 93 sgk Hình học 12
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu
(S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 10x + 2y + 26z + 170 = 0\)
và song song với hai đường thẳng
\(d:\left\{ \matrix{
x = – 5 + 2t \hfill \cr
y = 1 – 3t \hfill \cr
z = – 13 + 2t \hfill \cr} \right.\)
\(d’:\left\{ \matrix{
x = – 7 + 3k \hfill \cr
y = – 1 – 2k \hfill \cr
z = 8 \hfill \cr} \right.\)
Bài giải:
Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (2; -3; 2)\)
\(d’\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a’} = (3; -2; 0)\)
Mặt phẳng \((α)\) song song với \(d\) và \(d’\) nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a’} } \right]\) làm vectơ pháp tuyến.
\(\overrightarrow n \) = (4; 6; 5)
Phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng: \(4x + 6y + 5z + D = 0\)
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(5; -1; -13)\) và bán kính \(R = 5\). Để \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\), ta phải có:
\(d(I, (α)) = R \Leftrightarrow {{\left| {4.5 + 6( – 1) + 5( – 13) + D} \right|} \over {\sqrt {{4^2} + {6^2} + {5^2}} }} = 5\)
\( \Leftrightarrow \left| {D – 5} \right| = 5\sqrt {77} \)
Ta được hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu:
\(D – 51 = 5\sqrt{77}\) \( \Rightarrow ({\alpha _1}):4x + 6y + 5z + 51 + 5\sqrt {77} = 0\)
\(D – 51 = -5\sqrt{77}\) \( \Rightarrow ({\alpha _2}):4x + 6y + 5z + 51 – 5\sqrt {77} = 0\)
9. Giải bài 9 trang 93 sgk Hình học 12
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), tìm toạ độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M( 1 ; -1 ; 2)\) trên mặt phẳng \((α): 2x – y + 2z +11 = 0\)
Bài giải:
Điểm \(H\), hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mp \((α)\) chính là giao điểm của đường thẳng \(∆\) đi qua \(M\) và vuông góc với \((α)\). Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (2; -1; 2)\).
Đường thẳng \(∆\) vuông góc với mp\( (α)\) nhận \(\overrightarrow n \) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của \(∆\):
\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = – 1 – t \hfill \cr
z = 2 + 2t \hfill \cr} \right.\)
Thay các biểu thức này vào phương trình \(mp (α)\), ta có:
\(2(1 + 2t) – (-1 – t) + 2(2 + 2t) + 11 = 0 \)
\(\Leftrightarrow t = -2\).
Từ đây ta được \(H(-3; 1; -2)\).
10. Giải bài 10 trang 93 sgk Hình học 12
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho điểm \(M(2 ; 1 ; 0)\) và mặt phẳng \((α): x + 3y – z – 27 = 0\). Tìm toạ độ điểm \(M’\) đối xứng với \(M\) qua \((α)\).
Bài giải:
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên mặt phẳng \((α)\) và \(M’\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \((α)\) thì \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MM’\). Xét đường thẳng \(∆\) qua \(M\) và \(∆\) vuông góc với \((α)\).
Phương trình \(∆\) có dạng:
\(\left\{ \matrix{
x = 2 + t \hfill \cr
y = 1 + 3t \hfill \cr
z = – t \hfill \cr} \right.\)
Từ đây ta tìm được toạ độ điểm \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \((α)\).
Thay các tọa độ \(x,y,z\) theo \(t\) từ phương trình \(\Delta\) và phương trình \((\alpha)\) ta được:
\(2+t+3(1+3t)-(-t)-27=0\Rightarrow 11t=22\)
\(\Rightarrow t=2\)
\(\Rightarrow H(4; 7; -2)\)
\(M\) và \(M’\) đối xứng nhau qua \((α)\) nên \(\overrightarrow {MM’} = 2\overrightarrow {MH} \)
Gọi \((x, y, z)\) là toạ độ của \(M’\) ta có: \(\overrightarrow {MM’} = (x – 2; y – 1; z)\); \(\overrightarrow {MH} = (2; 6; -2)\)
\(\overrightarrow {MM’} \)=\(2\overrightarrow {MH} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x – 2 = 2.2 \Rightarrow x = 6 \hfill \cr
y – 1 = 2.6 \Rightarrow y = 13 \hfill \cr
z = 2.( – 2) \Rightarrow z = – 4 \hfill \cr} \right.\)
\( \Rightarrow M’ (6; 13; -4)\)
11. Giải bài 11 trang 93 sgk Hình học 12
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(∆\) vuông góc với mặt phẳng toạ độ \((Oxz)\) và cắt hai đường thẳng
\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = – 4 + t \hfill \cr
z = 3 – t \hfill \cr} \right.\)
\(d’:\left\{ \matrix{
x = 1 – 2k \hfill \cr
y = – 3 + k \hfill \cr
z = 4 – 5k. \hfill \cr} \right.\)
Bài giải:
Gọi \(M\) là điểm thuộc đường thẳng \(d\), toạ độ của \(M\) là \(M( t; -4 + t; 3 – t)\). \(N\) là điểm thuộc đường thẳng \(d’\), toạ độ của \(N\) là \(N(1 – 2k; -3 + k; 4 – 5k)\).
Ta có: \(\overrightarrow {MN}= (1 – 2k – t; 1 + k – t; 1 – 5k + 1)\)
Vì \(MN ⊥ (Oxz)\) nên \(MN ⊥ Ox\) và \(MN ⊥ Oz\)
\(Ox\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i = (1; 0; 0)\);
\(Oz\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow j = (0; 0; 1)\).
\(MN ⊥ Ox\)
\( \Leftrightarrow (1 – 2k – t).1 + (1 + k – t).0 + (1 – 5k + t).0\) \(= 0\)
\( \Leftrightarrow 1 – 2k – t = 0\) (1)
\(MN ⊥ Oz\)
\( \Leftrightarrow (1 – 2k – t).0 + (1 + k – t).0 + (1 – 5k + t) = 0\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ
\(\left\{ \matrix{
1 – 2k – t = 0 \hfill \cr
1 – 5k + t = 0 \hfill \cr} \right.\)
Hệ này cho ta \(k = {2 \over 7}\); t =\({3 \over 7}\) và được toạ độ của M\(\left( {{3 \over 7}; – {{25} \over 7};{{18} \over 7}} \right)\) , N\(\left( {{3 \over 7}; – {{19} \over 7};{{18} \over 7}} \right)\)
Từ đây ta có \(\overrightarrow {MN} = (0; 1; 0)\) và được phương trình đường thẳng \(MN\) là:
\(\left\{ \matrix{
x = {3 \over 7} \hfill \cr
y = – {{25} \over 7} + t \hfill \cr
z = {{18} \over 7} \hfill \cr} \right.\)
12. Giải bài 12 trang 93 sgk Hình học 12
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), tìm toạ độ điểm \(A’\) đối xứng với điểm \(A(1 ; -2 ; -5)\) qua đường thẳng \(∆\) có phương trình
\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = – 1 – t \hfill \cr
z = 2t. \hfill \cr} \right.\)
Bài giải:
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên đường thẳng \(△\). Khi đó \(H\) là trung điểm của \(AA’\).
Xét mặt phẳng \((P)\) qua \(A\) và \((P) ⊥ △\). Khi đó \(H = (P) ⋂ △\).
Vì \(\overrightarrow u (2; -1; 2)\) là vectơ chỉ phương của \(△\) nên \(\overrightarrow u \) là vectơ pháp tuyến của \((P)\). Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng:
\(2(x – 1) – (y + 2) + 2(z + 5) = 0\) hay \(2x – y + 2z + 6 = 0\) (1)
Để tìm giao điểm \(H = (P) ⋂ △\). Thay toạ độ \(x, y, z\) trong phương trình của \(△\) vào (1), ta có:
\(2(1 + 2t) + (1 + t) + 4t + 6 = 0\)
\( \Rightarrow 9t + 9 = 0\Rightarrow t = -1\) \( \Rightarrow H(-1; 0; -2)\).
Từ đó ta tìm được \(A'(-3; 2; 1)\)
Bài trước:
Bài tiếp theo:
Xem thêm:
- Các bài toán 12 khác
- Để học tốt môn Vật lí lớp 12
- Để học tốt môn Sinh học lớp 12
- Để học tốt môn Ngữ văn lớp 12
- Để học tốt môn Lịch sử lớp 12
- Để học tốt môn Địa lí lớp 12
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 12
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 12 thí điểm
- Để học tốt môn Tin học lớp 12
- Để học tốt môn GDCD lớp 12
Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 12 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 trang 91 92 93 sgk Hình học 12!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“