Nội Dung
Hướng dẫn giải Bài Ôn tập Chương IV. Giới hạn, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 trang 141 142 143 144 sgk Đại số và Giải tích 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số và giải tích có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.
Lý thuyết
Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 trang 141 142 143 144 sgk Đại số và Giải tích 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Bài tập Ôn tập chương IV
Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số và giải tích 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 trang 141 142 143 144 sgk Đại số và Giải tích 11 của Bài Ôn tập Chương IV. Giới hạn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
1. Giải bài 1 trang 141 sgk Đại số và Giải tích 11
Hãy lập bảng liệt kê các giới hạn đặc biệt của dãy số và các giới hạn đặc biệt của hàm số.
Trả lời:
Một vài giới hạn đặc biệt của dãy số
| Giới hạn dãy | Giới hạn hàm |
| \(\eqalign{ & \lim {1 \over n} = 0 \cr & \lim {1 \over {{n^k}}} = 0,k \in {\mathbb Z^*} \cr & \lim {q^n} = 0,|q| < 1 \cr & \lim c = c \cr & \lim {n^k} = + \infty ,k \in {\mathbb Z^*} \cr & lim{q^n} = + \infty ,q > 1 \cr} \) |
\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0} \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {c \over {{x^k}}} = 0,k \in {\mathbb Z^*} \cr} \)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^k} = + \infty \) (nếu \(k\) chẵn)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^k} = – \infty \) (nếu \(k\) lẻ) |
2. Giải bài 2 trang 141 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho hai dãy số \((u_n)\) và \((v_n)\). Biết \(|u_n– 2| ≤ v_n\) với mọi \(n\) và \(\lim v_n=0\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số \((u_n)\)?
Trả lời:
Với mọi \(n ∈ \mathbb N^*\) , ta có:
\(|u_n– 2| ≤ v_n⇔ -v_n ≤ u_n– 2 ≤ v_n\)
Mà \(\lim (-v_n) = \lim (v_n) = 0\) nên
\(\lim (u_n– 2) = 0 ⇔ \lim u_n – \lim 2 = 0 ⇔ \lim u_n= 2\).
3. Giải bài 3 trang 141 sgk Đại số và Giải tích 11
Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 1530. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức \(A, H, N, O\) với:
\(A = \lim {{3n – 1} \over {n + 2}}\);
\(H = \lim (\sqrt {{n^2} + 2n} – n)\);
\(N = \lim {{\sqrt n – 2} \over {3n + 7}}\);
\(O = \lim {{{3^n} – {{5.4}^n}} \over {1 – 4n}}\).
Bài giải:
Ta có:
\(A = \lim {{3n – 1} \over {n + 2}} = \lim {{n(3 – {1 \over n})} \over {n(1 + {2 \over n})}} = \lim {{3 – {1 \over n}} \over {1 + {2 \over n}}} = 3\)
\(\eqalign{
& H = \lim (\sqrt {{n^2} + 2n} – n) = \lim {{({n^2} + 2n) – {n^2}} \over {\sqrt {{n^2} + 2n} + n}} \cr
& = \lim {2n \over {n\left[ {\sqrt {1 + {2 \over n}} + 1} \right]}} = \lim {2 \over {\sqrt {1 + {2 \over n}} + 1}} = 1 \cr} \)
\(\eqalign{
& N = \lim {{\sqrt n – 2} \over {3n + 7}} = \lim {{n(\sqrt {{1 \over n}} – {2 \over n})} \over {n(3 + {7 \over n})}} \cr
& = \lim {{\sqrt {{1 \over n}} – {2 \over n}} \over {3 + {7 \over n}}} = 0 \cr} \)
\(\eqalign{
& O = \lim {{{3^n} – {{5.4}^n}} \over {1 – 4n}} = \lim {{{4^n}\left[ {{{({3 \over 4})}^n} – 5} \right]} \over {{4^n}\left[ {{{({1 \over 4})}^n} – 1} \right]}} \cr
& = \lim {{{{({3 \over 4})}^n} – 5} \over {{{({1 \over 4})}^n} – 1}} = 5 \cr} \)
Vậy số $1530$ là mã số của chữ Hoan.
4. Giải bài 4 trang 142 sgk Đại số và Giải tích 11
a) Có nhận xét gì về công bội của các cấp số nhân lùi vô hạn.
b) Cho ví dụ về cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số âm và một cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số dương và tính tổng của mỗi cấp số nhân đó.
Trả lời:
a) Công bội \(q\) của cấp số nhân lùi vô hạn phải thoản mãn \(|q| < 1\)
b) Ví dụ: cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \(u_1= 2\) và công bội là: \(q = {{ – 1} \over 2}\)
\(2, – 1, {1 \over 2}, – {1 \over {{2^2}}},…\)
Và tổng là:
\(S = {{{u_1}} \over {1 – q}} = {2 \over {1 + {1 \over 2}}} = {4 \over 3}\)
Cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là \(u_1= 3\) và công bội là \(q = {1 \over 3}\)
\(3, 1, {1 \over 3}, {1 \over {{3^2}}},…\)
Và tổng là:
\(S = {{{u_1}} \over {1 – q}} = {3 \over {1 – {1 \over 3}}} = {9 \over 2}\)
5. Giải bài 5 trang 142 sgk Đại số và Giải tích 11
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x + 3} \over {{x^2} + x + 4}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} {{{x^2} + 5x + 6} \over {{x^2} + 3x}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} {{2x – 5} \over {x – 4}}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( – {x^3} + {x^2} – 2x + 1)\)
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{x + 3} \over {3x – 1}}\)
f) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{\sqrt {{x^2} – 2x + 4} – x} \over {3x – 1}}\)
Bài giải:
a) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x + 3} \over {{x^2} + x + 4}} = {{2 + 3} \over {{2^2} + 2 + 4}} = {1 \over 2}\)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} {{{x^2} + 5x + 6} \over {{x^2} + 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} {{(x + 2)(x + 3)} \over {x(x + 3)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} {{x + 2} \over x} \cr
& = {{ – 3 + 2} \over { – 3}} = {1 \over 3} \cr} \)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} {{2x – 5} \over {x – 4}}\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} (2x – 5) = 3 > 0\)(1)
\(\left\{ \matrix{
x – 4 < 0,\forall x < 4 \hfill \cr
\mathop {\lim }\limits_{x \to – 4} (x – 4) = 0 \hfill \cr} \right.\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} {{2x – 5} \over {x – 4}} = – \infty \)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( – {x^3} + {x^2} – 2x + 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}( – 1 + {1 \over x} – {2 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}}) = – \infty \)
e) Ta có:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{x + 3} \over {3x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{x(1 + {3 \over x})} \over {x(3 – {1 \over x})}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{1 + {3 \over x}} \over {3 – {1 \over x}}} = {1 \over 3} \cr} \)
f) Ta có:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{\sqrt {{x^2} – 2x + 4} – x} \over {3x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{|x|\sqrt {1 – {2 \over x} + {4 \over {{x^2}}}} – x} \over {3x – 1}} \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{ – x\sqrt {1 – {2 \over x} + {4 \over {{x^2}}}} – x} \over {x(3 – {1 \over x})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{ – \sqrt {1 – {2 \over x} + {4 \over {{x^2}}}} – 1} \over {3 – {1 \over x}}} = {{ – 2} \over 3} \cr} \).
6. Giải bài 6 trang 142 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho hai hàm số \(f(x) = {{1 – {x^2}} \over {{x^2}}}\) và \(g(x) = {{{x^3} + {x^2} + 1} \over {{x^2}}}\)
a) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x);\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x);\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x);\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x)\)
b) Hai đường cong sau đây (h.60) là đồ thị của hai hàm số đã cho. Từ kết quả câu a), hãy xác định xem đường cong nào là đồ thị của mỗi hàm số đó.
Bài giải:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 – {x^2}} \over {{x^2}}} = + \infty \)
Vì: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (1 – {x^2}) = 1 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2} = 0;{x^2} > 0,\forall x \ne 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^3} + {x^2} + 1} \over {{x^2}}} = + \infty \)
Vì: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ({x^3} + {x^2} + 1) = 1 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2} = 0,{x^2} > 0,\forall x \ne 0\)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 – {x^2}} \over {{x^2}}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^2}({1 \over {{x^2}}} – 1)} \over {{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({1 \over {{x^2}}} – 1) = – 1 \cr} \)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} + {x^2} + 1} \over {{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3}(1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^3}}})} \over {{x^3}({1 \over x})}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^3}}}} \over {{1 \over x}}} = + \infty \cr} \)
b) Gọi \((C_1)\) và \((C_2)\) lần lượt là hai đồ thị của hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\)
Vì
\(\left\{ \matrix{
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = + \infty \hfill \cr
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = + \infty \hfill \cr} \right.\)
nên hai đồ thị \((C_1)\) và \((C_2)\) có nhánh vô tận đi lên khi \(x \rightarrow 0\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = – 1\) nên \((C_1)\) có nhánh vô tận tiến gần đến đường thẳng \(y = -1\) \(khi x \rightarrow ∞\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = + \infty \) \((C_2)\) có nhánh vô tận đi lên khi \(x \rightarrow +∞\)
Dựa vào đặc điểm của \((C_1)\) và \((C_2)\) như trên ta có\((C_1)\) là đồ thị b và \((C_2)\) là đồ thị a.
7. Giải bài 7 trang 143 sgk Đại số và Giải tích 11
Xét tính liên tục trên R của hàm số:
\(g(x) = \left\{ \matrix{
{{{x^2} – x – 2} \over {x – 2}}(x > 2) \hfill \cr
5 – x(x \le 2) \hfill \cr} \right.\)
Bài giải:
Ta có:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} – x – 2} \over {x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{(x – 2)(x + 1)} \over {x – 2}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x + 1) = 3 (1)\cr} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} (5 – x) = 3\) (2)
\(g(2) = 5 – 2 = 3 \) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = g(2)\) .
Do đó hàm số \(y = g(x)\) liên tục tại \(x_0= 2\)
Mặt khác trên \((-∞, 2)\), \(g(x)\) là hàm đa thức và trên \((2, +∞)\), \(g(x)\) là hàm số phân thức hữu tỉ xác định trên \((2, +∞)\) nên hàm số \(g(x)\) liên tục trên hai khoảng \((-∞, 2)\) và \((2, +∞)\)
Vậy hàm số \(y = g(x)\) liên tục trên \(\mathbb R\).
8. Giải bài 8 trang 143 sgk Đại số và Giải tích 11
Chứng minh rằng phương trình \(x^5– 3x^4+ 5x – 2 = 0\) có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng \((-2, 5)\)
Bài giải:
Đặt \(f(x) = x^5– 3x^4+ 5x – 2\), ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
f( – 2) = {( – 2)^5} – 3{( – 2)^4} + 5( – 2) – 2 < 0 \hfill \cr
f(0) = – 2 < 0 \hfill \cr
f(1) = 1 – 3 + 5 – 2 = 1 > 0 \hfill \cr
f(2) = {2^5} – {3.2^4} + 5.2 – 2 = – 8 < 0 \hfill \cr
f(3) = {3^5} – {3.3^4} + 5.3 – 2 = 13 > 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
f(0).f(1) < 0(1) \hfill \cr
f(1).f(2) < 0(2) \hfill \cr
f(2).f(3) < 0(3) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Hàm số \(f(x)\) là hàm số đa thức liên tục trên \(\mathbb R\).
\(⇒\) Hàm số \(f(x)\) liên tục trên các đoạn \([0, 1], [1, 2], [2, 3]\) (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra
Phương trình \(x^5– 3x^4+ 5x – 2=0\) có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng \((0, 1), (1, 2), (2, 3)\).
Vậy phương trình \(x^5– 3x^4+ 5x – 2=0\) có ít nhất ba nghiệm trên khoảng \((-2, 5)\) (đpcm)
Bài tập trắc nghiệm
9. Giải bài 9 trang 143 sgk Đại số và Giải tích 11
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
(A) Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm
(B) Nếu \((u_n)\) là dãy số tăng thì \(\lim u_n= + ∞\)
(C) Nếu \(\lim u_n= + ∞\) và \(\lim v_n= + ∞\) thì \(\lim (u_n– v_n) = 0\)
(D) Nếu \(u_n= a^n\) và \(-1< a < 0\) thì \(\lim u_n=0\)
Trả lời:
Câu (A) sai:
“Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn giảm” là mệnh đề sai.
Xét phần ví dụ sau:
Dãy số: \({u_n} = {{{{(-1)}^n}} \over n}\)
Có \(\lim {{{{( – 1)}^n}} \over n} = 0\)
Ta có: \({u_1} = – 1 < {u_2} = {1 \over 2},{u_2} = {1 \over 2} > {u_3} = – {1 \over 3}\)
\(⇒ \) Không tăng cũng không giảm
Câu (B) sai:
“Nếu \((u_n)\) là dãy số tăng thì \(\lim(u_n) = + ∞\)” là mệnh đề sai, chẳng hạn:
Dãy số \((u_n)\) với \({u_n} = 1 – {1 \over n}\)
Xét \({u_{n + 1}} – {u_n} = (1 – {1 \over {n + 1}}) – (1 – {1 \over n}) = {1 \over n} – {1 \over {n + 1}} = {1 \over {n(n + 1)}} > 0\)
\(⇒ (u_n)\) là dãy số tăng.
\({{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = \lim (1 – {1 \over n}) = 1\)
Câu (C) sai, xem phần ví dụ sau:
Hai dãy số \({u_n} = {{{n^2}} \over {n + 2}},{v_n} = n + 1\)
+ \({{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = \lim {{{n^2}} \over {n + 2}} = \lim {{{n^2}} \over {{n^2}({1 \over n} + {1 \over {{n^2}}})}} = \lim {1 \over {{1 \over n} + {2 \over {n2}}}} = + \infty \)
+ \(\lim {v_n} = \lim (n + 1) = + \infty \)
+ Nhưng :
\(\eqalign{
& \lim ({u_n} – {v_n}) = \lim \left[ {{{{n^2}} \over {n + 2}} – (n + 1)} \right] = \lim {{ – 3n – 2} \over {n + 2}} \cr
& = \lim {{n( – 3 – {2 \over n})} \over {n(1 + {2 \over n})}} = \lim {{ – 3 – {2 \over n}} \over {1 + {2 \over n}}} = – 3 \ne 0 \cr} \)
Câu (D) đúng vì \(\lim q^n= 0\) khi \(|q| <1\). Do đó: \(-1 < a < 0\) thì \(\lim q^n= 0\)
⇒ Chọn đáp án: (D).
10. Giải bài 10 trang 143 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho dãy số \((u_n)\) với \({u_n} = {{1 + 2 + 3 + … + n} \over {{n^2} + 1}}\)
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
(A) \(\lim u_n= 0\) ;
(B) \({{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = {1 \over 2}\);
(C) \(\lim u_n= 1\);
(D) Dãy \((u_n)\) không có giới hạn khi \(n \rightarrow -∞\).
Trả lời:
Vì \(1 + 2 + 3 + …. + n = {{n(n + 1)} \over 2}\)
Nên: \({u_n} = {{n(n + 1)} \over {2({n^2} + 1)}}\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow \lim {u_n} = \lim {{n(n + 1)} \over {2({n^2} + 1)}} = \lim {{{n^2}(1 + {1 \over n})} \over {{n^2}(2 + {2 \over {{n^2}}})}} \cr
& = \lim {{1 + {1 \over n}} \over {2 + {2 \over {{n^2}}}}} = {1 \over 2} \cr } \)
⇒ Chọn đáp án:(B).
11. Giải bài 11 trang 143 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho dãy số \((u_n)\) với : \(u_n = \sqrt 2 + (\sqrt2)^2+……+( \sqrt 2)^n\)
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
(A) \(\lim {u_n} = \sqrt 2 + {(\sqrt 2 )^2} + … + {(\sqrt 2 )^n} = {{\sqrt 2 } \over {1 – \sqrt 2 }}\);
(B) \(\lim u_n = -∞\);
(C) \(\lim u_n= +∞\);
(D) Dãy số \((u_n)\) không có giới hạn khi \(n \rightarrow ∞\).
Trả lời:
+ Ta có \((u_n)\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu là \(u_1= \sqrt 2\) và công bội
\(q = \sqrt 2\) nên:
\(\eqalign{
& {u_n} = {{{u_1}(1 – {q_n})} \over {1 – q}} = {{\sqrt 2 \left[ {1 – {{(\sqrt 2 )}^n}} \right]} \over {1 – \sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 \left[ {{{(\sqrt 2 )}^n} – 1} \right]} \over {\sqrt 2 – 1}} \cr
& \Rightarrow \lim {u_n} = \lim {{\sqrt 2 \left[ {{{(\sqrt 2 )}^n} – 1} \right]} \over {\sqrt 2 – 1}} = + \infty \cr} \)
(vì \(\sqrt 2 > 1\) nên \(\lim(\sqrt 2)^n= + ∞\).
⇒ Chọn đáp án: (C).
Chọn phương án đúng:
12. Giải bài 12 trang 144 sgk Đại số và Giải tích 11
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} {{ – 3x – 1} \over {x – 1}}\) bằng:
(A) \(-1\) ; (B) \(-∞\) ; (C) \(-3\) ; (D) \(+∞\).
Trả lời:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} ( – 3x – 1) = – 4 < 0\)
\(\left\{ \matrix{
x – 1 < 0,\forall x < 1 \hfill \cr
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} (x – 1) = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \lim {{ – 3x – 1} \over {x – 1}} = + \infty \)
⇒ Chọn đáp án: (D).
13. Giải bài 13 trang 144 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho hàm số: \(f(x) = {{1 – {x^2}} \over x}\) bằng:
(A) \(+∞\) ; (B) \(1\) ; (C) \(-∞\) ; (D) \(-1\).
Trả lời:
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{1 – {x^2}} \over x} = \lim {{{x^2}({1 \over {{x^2}}} – 1)} \over {{x^2}.{1 \over x}}} = \lim {{{1 \over {{x^2}}} – 1} \over {{1 \over x}}}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {{1 \over {{x^2}}} – 1} \right] = – 1 < 0\) (1)
Khi \(x \rightarrow -∞\) thì \({1 \over x} <\) 0 và \({1 \over x} \rightarrow -∞\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x)\) = +∞
⇒ Chọn đáp án: (A).
14. Giải bài 14 trang 144 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho hàm số:
\(f(x) = \left\{ \matrix{
{{3 – x} \over {\sqrt {x + 1} – 2}};\text{ nếu } x \ne 3 \hfill \cr
m;\text{ nếu }x = 3 \hfill \cr} \right.\)
Hàm số đã cho liên tục tại \(x = 3\) khi \(m\) bằng:
(A) \(4\) ; (B) \(-1\) ; (C) \(1\) ; (D) \(-4\).
Trả lời:
Ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
f(3) = m \hfill \cr
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{3 – x} \over {\sqrt {x + 1} – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty 3} {{(3 – x)(\sqrt {x + 1} + 2)} \over {x + 1 – 4}} \hfill \cr} \right. \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{(3 – x)(\sqrt {x + 1} + 2)} \over { – (3 – x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{\sqrt {x + 1} + 2} \over { – 1}} = – 4 \cr} \)
Hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \(x = 3\)\( ⇔ \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = f(3) \Leftrightarrow m = – 4\)
⇒ Chọn đáp án: (D).
15. Giải bài 15 trang 144 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho phương trình: \(-4x^3+ 4x – 1 = 0\) (1)
Mệnh đề sai là:
(A) Hàm số \(f(x) = -4x^3+ 4x – 1\) liên tục trên \(\mathbb R\);
(B) Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng \((-∞, 1)\);
(C) Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng \((-2, 0)\);
(D) Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng \(( – 3,{1 \over 2})\).
Trả lời:
Mệnh đề (A) đúng vì \(f(x)\) là hàm số đa thức nên liên tục trên \(\mathbb R\).
Mệnh đề (B) sai vì:
Xét hàm số \(f(x) = -4x^3+ 4x – 1\), ta có \(f(1) = -1; f(-2) = 23\)
Suy ra \(f(1).f(-2) = -23 < 0\)
Ta lại có hàm số \(f(x)\) liên tục trên \((-2, 1)\) nên phương trình có ít nhất một nghiệm
\(x_0 ∈ (-2, 1)\)
Do đó, phương trình \(-4x^3+ 4x – 1 = 0\) có nghiệm trên \((-∞, 1)\)
⇒ Chọn đáp án: (B).
Bài trước:
Bài tiếp theo:
Xem thêm:
- Các bài toán 11 khác
- Để học tốt môn Vật lí lớp 11
- Để học tốt môn Sinh học lớp 11
- Để học tốt môn Ngữ văn lớp 11
- Để học tốt môn Lịch sử lớp 11
- Để học tốt môn Địa lí lớp 11
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 11
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 11 thí điểm
- Để học tốt môn Tin học lớp 11
- Để học tốt môn GDCD lớp 11
Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 trang 141 142 143 144 sgk Đại số và Giải tích 11!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“