Ôn tập chương VI: Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 trang 155 156 157 sgk Đại số 10

Hướng dẫn giải Bài Ôn tập Chương VI – Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác, sách giáo khoa Đại số 10. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 trang 155 156 157 sgk Đại số 10 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 10.


Lý thuyết

1. Cung và góc lượng giác

2. Giá trị lượng giác của một cung

3. Công thức lượng giác

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 trang 155 156 157 sgk Đại số 10. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!


Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 10 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 trang 155 156 157 sgk Đại số 10 của Bài Ôn tập Chương VI – Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 trang 155 156 157 sgk Đại số 10
Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 trang 155 156 157 sgk Đại số 10

1. Giải bài 1 trang 155 sgk Đại số 10

Hãy nêu định nghĩa của \(sin\,\alpha, cos\,\alpha \) và giải thích vì sao ta có:

\(\sin(α+k2π) = \sin α; k ∈\mathbb Z\)

\(\cos(α+k2π) = \cos α; k ∈\mathbb Z\)

Trả lời:

Trên đường tròn lượng giác trong mặt phẳng \(Oxy\), lấy điểm \(A(1; 0)\) và điểm \(M(x;y)\) với \(sđ\overparen{AM} =α\)

\( y= sin \overparen{AM} ⇒ y = \sin α\)

\(x= cos \overparen{AM} ⇒ x = cos α\)

Mà \(\overparen{AM} = α+k2π ; k ∈\mathbb Z\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix}sin(α+k2π) = sin \,α; k ∈\mathbb Z & \\ cos(α+k2π) = cos \,α; k ∈\mathbb Z & \end{matrix}\right.\)


2. Giải bài 2 trang 155 sgk Đại số 10

Nêu định nghĩa của \(\tan α, \cot α\) và giải thích vì sao ta có:

\(\tan(α+kπ) = \tanα; k ∈\mathbb Z\)

\(\cot(α+kπ) = \cotα; k ∈\mathbb Z\)

Trả lời:

Ta có:

\(\tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}\)

\(\cot \alpha = {{{\rm{cos}}\alpha } \over {\sin \alpha }}\)

\(\Rightarrow \tan (\alpha + k\pi ) = {{\sin (\alpha + k\pi )} \over {\cos (\alpha + k\pi )}}\)

♦ Trường hợp 1: \(k\) chẵn

\(\sin(α+kπ) = \sin α\)

\(\cos(α+kπ) = \cos α\)

♦ Trường hợp 2: \(k\) lẻ

\(\sin(α+kπ) = – \sin α\)

\(\cos(α+kπ) = – \cos α\)

\(\Rightarrow \tan(α+kπ) = \tanα\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\cot(α+kπ) = \cotα; k ∈\mathbb Z\)


3. Giải bài 3 trang 155 sgk Đại số 10

Tính:

a) \(sin\,α,\) nếu \(cos\, \alpha = {{ – \sqrt 2 } \over 3};{\pi \over 2} < \alpha < \pi \)

b) \(\cosα\), nếu \(\tan \alpha = 2\sqrt 2 ,\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2}\)

c) \(\tanα\), nếu \(\sin \alpha = {{ – 2} \over 3},{{3\pi } \over 2} < \alpha < 2\pi \)

d) \(\cotα\), nếu \(\cos \alpha = {{ – 1} \over 4},{\pi \over 2} < \alpha < \pi \)

Bài giải:

a) \({\pi \over 2} < \alpha < \pi \Rightarrow \sinα>0\)

Ta có: \(\sin \alpha = \sqrt {1 – {{\cos }^2}x} = \sqrt {1 – {2 \over 9}} = {{\sqrt 7 } \over 3}\)

b) \(\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2}\Rightarrow \cosα<0\)

Ta có: \(\cos \alpha = – \sqrt {{1 \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }}} = – \sqrt {{1 \over {1 + 8}}} = – {1 \over 3}\)

c) \({{3\pi } \over 2} < \alpha < 2\pi \Rightarrow \tan α<0, \cosα>0\)

Ta có \(\tan\alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = \left ( – {2 \over 3} \right )\div \sqrt {1 – \left ( {2 \over 3} \right )^2} = – {{2\sqrt 5 } \over 5}\)

d) \({\pi \over 2} < \alpha < \pi \Rightarrow \cotα<0, \sinα>0\)

Ta có \(\cot \alpha = \left( { – {1 \over 4}} \right):\sqrt {1 – {{\left( {{1 \over 4}} \right)}^2}} = – {{\sqrt {15} } \over 15}\)


4. Giải bài 4 trang 155 sgk Đại số 10

Rút gọn biểu thức

a) \({{2\sin 2\alpha – \sin 4\alpha } \over {2\sin 2\alpha + \sin 4\alpha }}\)

b) \(\tan \alpha ({{1 + {{\cos }^2}\alpha } \over {\sin \alpha }} – \sin \alpha )\)

c) \({{\sin ({\pi \over 4} – \alpha ) + \cos ({\pi \over 4} – \alpha )} \over {\sin ({\pi \over 4} – \alpha ) – \cos ({\pi \over 4} – \alpha )}}\)

d) \({{\sin 5\alpha – \sin 3\alpha } \over {2\cos 4\alpha }}\)

Bài giải:

a) \({{2\sin 2\alpha – \sin 4\alpha } \over {2\sin 2\alpha + \sin 4\alpha }} \)

\(= {{2\sin 2\alpha – 2\sin 2\alpha .cos2\alpha } \over {2\sin 2\alpha + 2\sin 2\alpha .cos2\alpha }}\)

\(= {{1 – \cos 2\alpha } \over {1 + \cos 2\alpha }} \)

\(= {{2{{\sin }^2}\alpha } \over {2{{\cos }^2}\alpha }} =\tan^2\alpha \)

b) \(\tan \alpha \left({{1 + {{\cos }^2}\alpha } \over {\sin \alpha }} – \sin \alpha\right ) \)

\(= {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}\left({{1 + {{\cos }^2}\alpha – {{\sin }^2}\alpha } \over {\sin \alpha }}\right) \)

\(= {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}.{{2{{\cos }^2}\alpha } \over {\sin \alpha }} \)

\(= 2\cos \alpha \)

c) \({{\sin ({\pi \over 4} – \alpha ) + \cos ({\pi \over 4} – \alpha )} \over {\sin ({\pi \over 4} – \alpha ) – \cos ({\pi \over 4} – \alpha )}}\)

\(= {{\tan \left({\pi \over 4} – \alpha \right) + 1} \over {\tan\left({\pi \over 4} – \alpha \right) – 1}} \)

\(= \left({{\tan {\pi \over 4} – \tan \alpha } \over {1 + \tan {\pi \over 4}.\tan \alpha }} + 1\right):\left({{\tan {\pi \over 4} – \tan \alpha } \over {1 + \tan {\pi \over 4}.\tan \alpha }} – 1\right) \)

\(= \left({{1 – \tan \alpha + 1 + \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }} \right):\left({{1 – \tan \alpha – 1 – \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }} \right) \)

\(= {{ – 1} \over {\tan \alpha }} = – \cot \alpha \)

d) \({{\sin 5\alpha – \sin 3\alpha } \over {2\cos 4\alpha }} \)

\(= {{2\cos {{5\alpha + 3\alpha } \over 2}\sin {{5\alpha – 3\alpha } \over 2}} \over {2\cos 4\alpha }} \)

\(= \sin \alpha \)


5. Giải bài 5 trang 156 sgk Đại số 10

Không sử dụng máy tính, hãy tính:

a) \(\cos {{22\pi } \over 3}\)

b) \(\sin {{23\pi } \over 4}\)

c) \(\sin {{25\pi } \over 3} – \tan {{10\pi } \over 3}\)

d) \({\cos ^2}{\pi \over 8} – {\sin ^2}{\pi \over 8}\)

Bài giải:

a) \(\cos {{22\pi } \over 3} = \) \(\cos \left ( 8\pi – {{2\pi } \over 3} \right )\)

\(= \cos \left ( – {{2\pi } \over 3} \right )\) \(= \cos ({{2\pi } \over 3}) \)

\(= – \cos {\pi \over 3} = {{ – 1} \over 2}\)

b) \(\sin {{23\pi } \over 4} \) \(= \sin (6\pi – {\pi \over 4})\)

\(= \sin ( – {\pi \over 4}) \) \(= – \sin ({\pi \over 4}) = – {{\sqrt 2 } \over 2}\)

c) \( \sin {{25\pi } \over 3} – \tan {{10\pi } \over 3} \)

\(= \sin (8\pi + {\pi \over 3}) – \tan (3\pi + {\pi \over 3}) \)

\(= sin{\pi \over 3} – \tan {\pi \over 3} \)

\(= {{\sqrt 3 } \over 2} – \sqrt 3 = {{ – \sqrt 3 } \over 2} \)

d) \({\cos ^2}{\pi \over 8} – {\sin ^2}{\pi \over 8} = \cos {\pi \over 4} = {{\sqrt 2 } \over 2}\)


6. Giải bài 6 trang 156 sgk Đại số 10

Không sử dụng máy tính, hãy chứng minh:

a) \(\sin {75^0} + \cos {75^0} = {{\sqrt 6 } \over 2}\)

b) \(\tan {267^0} + \tan {93^0} = 0\)

c) \(\sin {65^0} + \sin {55^0} = \sqrt 3 \cos {5^0}\)

d) \(\cos {12^0} – \cos {48^0} = \sin {18^0}\)

Bài giải:

a) \(\sin {75^0} + \cos {75^0} = \sin ({45^0} + {30^0}) + \cos ({45^0} + {30^0}) \)

\(= \sin {45^0}.\cos{30^0}+\cos {45^0}.\sin {30^0} + \cos {45^0}.\cos{30^0} – \sin {45^0}.\sin{30^0} \)

\(= {{\sqrt 2 } \over 2}(\cos{30^0} + \sin {30^0} + \cos{30^0} – \sin {30^0}) \)

\(= {{\sqrt 2 } \over 2}.2{{\sqrt 3 } \over 2} = {{\sqrt 6 } \over 2} \) (đpcm)

b) \(\tan {267^0} + \tan {93^0} = \tan ({267^0} – {360^0}) + \tan {93^0} \)

\(= \tan ( – {93^0}) + tan{93^0} = 0\) (đpcm)

c) \(\sin {65^0} + \sin {55^0} = 2\sin {{{{65}^0} + {{55}^0}} \over 2}\cos {{{{65}^0} – {{55}^0}} \over 2} \)

\(= 2\sin {60^0}\cos {5^0} = \sqrt 3 \cos {5^0} \) (đpcm)

d) \(\cos {12^0} – \cos {48^0} = – 2\sin {{{{12}^0} + {{48}^0}} \over 2}\sin {{{{12}^0} – {{48}^0}} \over 2} \)

\(= – 2\sin {30^0}\sin ( – {18^0}) = 2\sin {30^0}\sin {18^0} \)

\(= 2.{1 \over 2}\sin {18^0} = \sin {18^0} \) (đpcm)


7. Giải bài 7 trang 156 sgk Đại số 10

Chứng minh các đồng nhất thức

a) \(\frac{1-cos\,x+cos\,2x}{sin\,2x-sin\,x}=cot\,x\)

b) \(\frac{sin\,x+sin\,\frac{x}{2}}{1+cos\,x+cos\,\frac{x}{2}}=tan\,\frac{x}{2}\)

c) \(\frac{2cos\,2x-sin\,4x}{2cos\,2x+sin\,4x}=tan^2\,\left ( \frac{\pi }{4}-x \right )\)

d) \(tan\,x-tan\,y=\frac{sin\,(x-y)}{cos\,x\,cos\,y}\)

Bài giải:

a) \({{1 – \cos x + \cos 2x} \over {\sin 2x – {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x}}}} \)

\(= {{1 + \cos 2x – \cos x} \over {2\sin x\cos x – {\mathop{\rm sinx}\nolimits} }} \)

\(= {{\cos x(2\cos x – 1)} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}(2\cos x – 1)}} \)

\(= \cot x\) (đpcm)

b) \( {{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} + sin{x \over 2}} \over {1 + \cos x + \cos {x \over 2}}}\)

\(= {{2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2} + \sin {x \over 2}} \over {2{{\cos }^2}{x \over 2} + \cos {x \over 2}}}\)

\(= {{\sin {x \over 2}(2\cos {x \over 2} + 1)} \over {\cos {x \over 2}(2\cos {x \over 2} + 1)}}\)

\(=\tan {x \over 2} \) (đpcm)

c) \({{2\cos 2x – \sin 4x} \over {2\cos 2x + \sin 4x}}\)

\(= {{2\cos 2x – 2\sin2 x\cos 2x} \over {2\cos 2x + 2\sin 2x\cos 2x}}\)

\(=\frac{2cos\,2x(1-sin\,2x)}{2cos\,2x(1+sin\,2x)}\)

\(= {{1 – \sin 2x} \over {1 + \sin 2x}}\)

\(= {{1 – \cos \left ( {\pi \over 2} – 2x \right )} \over {1 + \cos \left ( {\pi \over 2} – 2x \right )}}\)

\(= {{2{{\sin }^2}\left ( {\pi \over 4} – x \right )} \over {2{{\cos }^2}\left ( {\pi \over 4} – x \right )}}\)

\(= {\tan ^2}\left ( {\pi \over 4} – x \right ) \) (đpcm)

d) \(\tan x – \tan y\)

\(= {{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }} – {{\sin y} \over {\cos y}}\)

\(= {{\sin {\rm{x}}\cos y – \cos x\sin y} \over {\cos x\cos y}}\)

\(= {{\sin (x – y)} \over {\cos x\cos y}}\) (đpcm)


8. Giải bài 8 trang 156 sgk Đại số 10

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào \(x\)

a) \(A = \sin ({\pi \over 4} + x) – \cos ({\pi \over 4} – x)\)

b) \(B = \cos ({\pi \over 6} – x) – \sin ({\pi \over 3} + x)\)

c) \(C = {\sin ^2}x + \cos ({\pi \over 3} – x)cos({\pi \over 3} + x)\)

d) \(D = {{1 – \cos 2x + \sin 2x} \over {1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\)

Bài giải:

a) \(A = \sin \left ( {\pi \over 4} + x \right ) – \cos \left ( {\pi \over 4} – x \right ) \)

\(= \sin {\pi \over 4}\cos x + \cos {\pi \over 4}\sin x – \cos x\cos {\pi \over 4} – \sin x \sin {\pi \over 4} \)

\(= {{\sqrt 2 } \over 2}(\cos x + \sin x – \cos x – {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}) = 0 \)

Vậy biểu thức $A$ không phụ thuộc vào \(x\)

b) \(B = \cos \left ( {\pi \over 6} – x \right )- \sin \left ( {\pi \over 3} + x \right ) \)

\(= \cos {\pi \over 6}{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + \sin {\pi \over 6}sinx – sin{\pi \over 3}\cos x – \cos {\pi \over 3}\sin x \)

\(= \cos x\left ( \cos {\pi \over 6} – sin{\pi \over 3} \right )+ sin\,x\left ( sin\,\frac{\pi }{6}-cos\,\frac{\pi }{3} \right )\)

\(=0.cos\,x+0.sin\,x=0\)

Vậy biểu thức $B$ không phụ thuộc vào $x$.

c) \(C = {\sin ^2}x + cos \,\left ( {\pi \over 3} – x \right )\,cos\,\left ( {\pi \over 3} + x \right ) \)

\(= {\sin ^2}x + \left[ {\cos {\pi \over 3}\cos x + \sin {\pi \over 3}\sin x} \right]\left[ {\cos {\pi \over 3}\cos x – \sin {\pi \over 3}\sin x} \right] \)

\(= {\sin ^2}x + {\cos ^2}{\pi \over 3}{\cos ^2}x – {\sin ^2}{\pi \over 3}{\sin ^2}x \)

\(= {\sin ^2}x + {1 \over 4}{\cos ^2}x – {3 \over 4}{\sin ^2}x \)

\(=\frac{1}{4}cos^2\,x+\frac{1}{4}\,sin^2\,x\)

\(= {1 \over 4}({\cos ^2}x + {\sin ^2}x) = {1 \over 4} \)

Vậy biểu thức $C$ không phụ thuộc vào $x$.

d) \(D = {{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x} \over {2{{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x}}\cot x\)

\(= \frac{2sin\,x(sin\,x+cos\,x)}{2cos\,x(cos\,x+sin\,x)}.\frac{cos\,x}{sin\,x}\)

\(=\frac{sin\,x}{cos\,x}.\frac{cos\,x}{sin\,x}=1\)

Vậy biểu thức $D$ không phụ thuộc vào $x.$


Bài tập trắc nghiệm

Chọn phương án đúng trong các bài tập sau

9. Giải bài 9 trang 157 sgk Đại số 10

Giá trị \(\sin {{47\pi } \over 6}\) là:

(A) \({{\sqrt 3 } \over 2}\) (B) \({1 \over 2}\)
(C) \({{\sqrt 2 } \over 2}\) (D) \({{ – 1} \over 2}\)

Bài giải:

Ta có:

\(\sin {{47\pi } \over 6} = \sin \left ( 8\pi – {\pi \over 6} \right )= \sin \left ( – {\pi \over 6} \right )= – \sin \left ( {\pi \over 6} \right )= {{ – 1} \over 2} \)

Vậy chọn đáp án D.


10. Giải bài 10 trang 157 sgk Đại số 10

Cho \(\cos {{ – \sqrt 5 } \over 3},\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2}\) . Giá trị của \(\tanα\) là:

(A) \({{ – 4} \over {\sqrt 5 }}\) (B) \({2 \over {\sqrt 5 }}\)
(C) \(-{2 \over {\sqrt 5 }}\) (D) \({{ – 3} \over {\sqrt 5 }}\)

Bài giải:

Ta có: \(\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2}\Rightarrow \tan α>0\)

\(\tan \alpha = \sqrt {{1 \over {{{\cos }^2}\alpha }} – 1} = \sqrt {{1 \over {{{\left ( {-{\sqrt 5 } \over 3} \right )}^2}}} – 1} \)

\(=\sqrt{1\div \frac{5}{9}-1}=\sqrt {\frac{9}{5}-1}\)

\(=\sqrt{\frac{4}{5}}={2 \over {\sqrt 5 }}\)

Vậy chọn đáp án B.


11. Giải bài 11 trang 157 sgk Đại số 10

Cho \(\alpha = {{5\pi } \over 6}\). Giá trị của biểu thức \(cos3\alpha + 2cos(\pi – 3\alpha ){\sin ^2}({\pi \over 4} – 1,5\alpha )\) là:

(A) \({1 \over 4}\) (B) \({{\sqrt 3 } \over 2}\)
(C) 0 (D) \({{2 – \sqrt 3 } \over 4}\)

Bài giải:

Thay giá trị của \(\alpha\) vào biểu thức ta được:

\(\cos {{15\pi } \over 6} + 2\cos\,\left ( \pi – {{15\pi } \over 6} \right )\,{\sin ^2}\left ( {\pi \over 4} – {{5\pi } \over 4} \right )\)

\(=cos\,{-\pi \over 2}+2cos\,\left ( -\frac{3\pi }{2} \right )\,sin^2\,(-\pi )=0\)

Vậy chọn đáp án C.


12. Giải bài 12 trang 157 sgk Đại số 10

Giá trị của biểu thức \(A = {{2{{\cos }^2}{\pi \over 8} – 1} \over {1 + 8{{\sin }^2}{\pi \over 8}{{\cos }^2}{\pi \over 8}}}\) là:

(A) \({{ – \sqrt 3 } \over 2}\) (B) \({{ – \sqrt 3 } \over 4}\)
(C) \({{ – \sqrt 2 } \over 2}\) (D) \({{\sqrt 2 } \over 4}\)

Bài giải:

Rút gọn biểu thức A sau đó tính giá trị lượng giác ta được:

\(A = {{\cos {\pi \over 4}} \over {1 + 2{{\sin }^2}{\pi \over 4}}} = {{\sqrt 2 } \over 2}:(1 + 1) = {{\sqrt 2 } \over 4}\)

Vậy chọn đáp án D.


13. Giải bài 13 trang 157 sgk Đại số 10

Cho \(\cot \alpha = {1 \over 2}\) .Tính giá trị của biểu thức \(B = {{4\sin \alpha + 5\cos \alpha } \over {2\sin \alpha – 3\cos \alpha }}\) là:

(A) \({1 \over {17}}\) (B) \({5 \over 9}\)
(C) 13 (D) \({2 \over 9}\)

Bài giải:

\(B = {{4\sin \alpha + 5\cos \alpha } \over {2\sin \alpha – 3\cos \alpha }}\)

Chia cả tử và mẫu cho \(sin\,\alpha\) ta được

\(B= {{4\sin \alpha + 5\cos \alpha } \over {2\sin \alpha – 3\cos \alpha }} = {{4 + 5\cot \alpha } \over {2 – 3\cot \alpha }} = 13\)

Vậy chọn đáp án C.


14. Giải bài 14 trang 157 sgk Đại số 10

Cho \(\tan a = 2\). Giá trị của biểu thức \(C = {{\sin a} \over {{{\sin }^3}a + 2{{\cos }^3}a}}\) là:

(A) \({5 \over {12}}\) (B) 1
(C) \({{ – 8} \over {11}}\) (D) \({{ – 10} \over {11}}\)

Bài giải:

Chia cả tử và mẫu của biểu thức C cho \(cos^3\,a\) ta được:

\(C = {{\sin a} \over {{{\sin }^3}a + 2{{\cos }^3}a}} \)

\(= {{{1 \over {{{\cos }^2}a}}.\tan\, a} \over {{{\tan }^3}a + 2}} \)

\(= {{(1 + {{\tan }^2}a).tana} \over {2 + {{\tan }^3}a}} = {{(1 + {2^2}).2} \over {2 + 8}} = 1 \)

Vậy chọn đáp án B.


Bài trước:

Bài tiếp theo:


Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 10 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 trang 155 156 157 sgk Đại số 10!


“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com