Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 trang 106 107 108 sgk Đại số 10

Nội Dung

Hướng dẫn giải Bài Ôn tập Chương IV. Bất đẳng thức. Bất phương trình, sách giáo khoa Đại số 10. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 trang 106 107 108 sgk Đại số 10 cơ bản bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 10.

Lý thuyết

1. Bất đẳng thức

2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

3. Dấu của nhị thức bậc nhất

4. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

5. Dấu của tam thức bậc hai

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 trang 106 107 108 sgk Đại số 10 cơ bản. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số 10 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 trang 106 107 108 sgk Đại số 10 cơ bản của Bài Ôn tập Chương IV. Bất đẳng thức. Bất phương trình cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 trang 106 107 108 sgk Đại số 10

1. Giải bài 1 trang 106 sgk Đại số 10

Sử dụng dấu bất đẳng thức để viết các mệnh đề sau:

a) $x$ là số dương.

b) $y$ là số không âm.

c) Với mọi số thực $α, | α|$ là số không âm.

d) Trung bình cộng của hai số dương $a$ và $b$ không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng.

Trả lời:

a) Ta có số dương là những số lớn hơn $0$. Vậy $x > 0$

b) Ta có những số không âm là số dương hoặc số $0$. Vậy $y ≥ 0$

c) Tương tự ta có thể viết $∀ α ∈\mathbb R, | α|≥ 0$

d) $∀ a>0, b>0, {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} $

2. Giải bài 2 trang 106 sgk Đại số 10

Có thể rút ra kết luận gì về dấu của hai số $a$ và $b$ nếu biết:

a) $ab > 0$

b) ${a \over b} > 0$

c) $ab < 0$

d) ${a \over b} < 0$

Trả lời:

a) Nếu $ab > 0$ ta có thể kết luận hai số $a$và $b$ có cùng dấu, hay $a; b$ cùng mang dấu $+$ hoặc cùng mang dấu $-$.

b) Nếu $\frac{a}{b} > 0$ ta có thể kết luận hai số $a$và $b$ có cùng dấu, hay $a; b$ cùng mang dấu $+$ hoặc cùng mang dấu $-$.

c) Nếu $ab < 0$ ta có thể kết luận hai số $a$ và $b$ trái dấu.

d) Nếu $\frac{a}{b} < 0$ ta có thể kết luận hai số $a$ và $b$ trái dấu.

3. Giải bài 3 trang 106 sgk Đại số 10

Trong các suy luận sau, suy luận nào đúng?

(A)$\left\{ \matrix{x > 1 \hfill \cr y > 1 \hfill \cr} \right.\Rightarrow xy<1$

(B) $\left\{ \matrix{x > 1 \hfill \cr y > 1 \hfill \cr} \right.\Rightarrow {x \over y} <1$

(C)$\left\{ \matrix{0 < x < 1 \hfill \cr y < 1 \hfill \cr} \right.\Rightarrow xy<1$

(D) $\left\{ \matrix{x > 1 \hfill \cr y > 1 \hfill \cr} \right.\Rightarrow x – y < 1$

Trả lời:

(A) Ta có:

$\left\{ \matrix{x > 1 \hfill \cr y > 1 \hfill \cr} \right.\Rightarrow xy>1$

Vậy đáp án A sai.

(B) Ta có:

$\left\{ \matrix{x > 1 \hfill \cr y > 1 \hfill \cr} \right.\Rightarrow {x \over y} >1$

Vậy đáp án B sai.

(C) Ta có:

$\left\{ \matrix{0 < x < 1 \hfill \cr y < 1 \hfill \cr} \right.\Rightarrow xy<1$

Ví dụ: $0,5.0,1=0.05<1$

Vậy đáp án C đúng.

(D) Ta có:

$\left\{ \matrix{x > 1 \hfill \cr y > 1 \hfill \cr} \right.\Rightarrow x – y < 1$

Khẳng định đúng nếu $1<x<y$

Khẳng định sau nếu $1<y<x$

Vậy đáp án D sai.

4. Giải bài 4 trang 106 sgk Đại số 10

Khi cân một vật với độ chính xác đến $0,05kg$, người ta cho biết kết quả là $P = 26,4kg$. Hãy chỉ ra khối lượng thực của vật đó nằm trong khoảng nào.

Bài giải:

Ta có độ chính xác đến $0,05kg$ có nghĩa là khi cân thì có thể lệch $0,05kg $ so với khối lượng thấy trên cân.

Vây khối lượng thực của vật nằm trong khoảng: $(26,4-0,05; 26,4+0,05) (kg)$

5. Giải bài 5 trang 106 sgk Đại số 10

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, hãy vẽ đồ thị hai hàm số:

$y =f(x) = x+1$ và $y = g(x) =3-x$ và chỉ ra các giá trị nào của $x$ thỏa mãn

a) $f(x)=g(x)$

b) $f(x)>g(x)$

c) $f(x)<g(x)$

Kiểm tra lại kết quả bằng cách giải phương trình, bất phương trình.

Bài giải:

Đồ thị hàm số:

a) Đồ thị của $y = f(x) = x+1; \,\,y = g(x) =3-x$ cắt nhau tại điểm $(1;2)$

Vậy tại điểm có hoành độ $x=1$ thì $f(x)=g(x)=2$

Kiểm tra bằng tính toán:

$f(x)=g(x) ⇔ x+1 = 3-x ⇔ x = 2$

b) Ta thấy khi $x>1$ thì đồ thị hàm số $y = f(x)$ nằm phía trên đồ thị $y = g(x)$.

Vậy với $x>1$ thì $f(x)>g(x)$.

Kiểm tra lại bằng tính toán:

$f(x)>g(x) ) ⇔ x+1 > 3-x ⇔ 2x>2 ⇔ x>1$

c) Ta thấy với $x<1$ thì đồ thị hàm số $y=g(x)$ nằm phía trên đồ thị $y=f(x)$

Vậy với $x<1$ thì $g(x)>f(x)$

Kiểm tra lại bằng tính toán:

$f(x) < g(x) ⇔ x+1 < 3-x ⇔ 2x< 2 ⇔ x < 1$

6. Giải bài 6 trang 106 sgk Đại số 10

Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng: ${{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6$

Bài giải:

Biến đổi vế trái của bất đẳng thức ta được:

${{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b}$

$=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}$

$=\left ( {a \over c} + {c \over a} \right )+ \left ( {b \over c} + {c \over b} \right )+ \left ( {b \over a} + {a \over b} \right )$

Với $a, b, c > 0$, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

$\left ( {a \over c} + {c \over a} \right )+ \left ( {b \over c} + {c \over b} \right )+ \left ( {b \over a} + {a \over b} \right ) \ge 2.\sqrt {{a \over c}.{c \over a}} + 2.\sqrt {{b \over c}.{c \over b}} + 2.\sqrt {{b \over a}.{a \over b}}$

$\Leftrightarrow ({a \over c} + {c \over a}) + ({b \over c} + {c \over b}) + ({b \over a} + {a \over b}) \geq 2.1 + 2.1 + 2.1 = 6$ (đpcm)

Vậy ${{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6$

7. Giải bài 7 trang 107 sgk Đại số 10

Điều kiện của một bất phương trình là gì? Thế nào là hai bất phương trình tương đương?

Trả lời:

Điều kiện của bất phương trình là các điều kiện của ẩn $x$ sao cho các biểu thức $f(x)$ và $g(x)$ có nghĩa.

Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Biến đổi một bất phương trình thành một bất phương trình có cùng tập nghiệm gọi là phép biến đổi tương đương.

8. Giải bài 8 trang 107 sgk Đại số 10

Nêu quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình $ax+by\leq c$

Trả lời:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình (1) được gọi là miền nghiệm của nó.

Quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm (biểu diễn miền nghiệm)

Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường thẳng $\Delta : ax+by=c$

Bước 2: Lấy một điểm $M_0(x_0; y_0)\notin \Delta $ (ta thường lấy gốc tọa độ $O$)

Bước 3: Tính $ax_0+by_0$ và so sánh $ax_0+by_0$ với $c$.

Bước 4: Kết luận:

Nếu $ax_0+by_0<c$ thì nửa mặt phẳng bờ $\Delta $ chứa $M_0$ là miền nghiệm của bất phương trình.

Nếu $ax_0+by_0>c$ thì nửa mặt phẳng bờ $\Delta $ không chứa $M_0$ là miền nghiệm của bất phương trình.

9. Giải bài 9 trang 107 sgk Đại số 10

Phát biểu định lí về dấu của tam thức bậc hai.

Trả lời:

Cho $f(x)=ax^2+bx+c\,(a\neq 0), \Delta = b^2-4ac$

Nếu $\Delta <0$ thì $f(x)$luôn cùng dấu với hệ số $a, \forall x \in \mathbb{R}$

Nếu $\Delta =0$ thì $f(x)$luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi $x=-\frac{-b}{2a}$

Nếu $\Delta >0$ thì $f(x)$cùng dấu với hệ số a khi $x<x_1$hoặc $x>x_2$, trái dấu với hệ số a khi $x_1<x<x_2$ trong đó $x_1; x_2\,(x_1<x_2)$là hai nghiệm của $f(x)$.

10. Giải bài 10 trang 107 sgk Đại số 10

Cho $a>0, b>0$. Chứng minh rằng: ${a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b $

Bài giải:

Đặt $x=\sqrt a, y = \sqrt b$

Điều kiện $x>0; y>0$

$\Rightarrow {a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} = {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} = {{{x^3} + {y^3}} \over {xy}} = {{(x + y)({x^2} + {y^2} – xy)} \over {xy}}$

Ta lại có $x^2+y^2≥ 2xy$(bất đẳng thức Cô-si)

$\Rightarrow x^2+y^2- xy ≥ xy ⇔{{{x^2} + {y^2} – xy} \over {xy}} \ge 1$

$\Rightarrow {{{x^3} + {y^3}} \over {xy}}≥ x+y $

Hay $ {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} \ge x + y$

Hay ${a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b $ (đpcm)

11. Giải bài 11 trang 107 sgk Đại số 10

a) Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức $a^2-b^2= (a-b)(a+b)$

Hãy xét dấu $f(x)= x^4– x^2+6x – 9$ và $g(x) = x^2– 2x – {4 \over {{x^2} – 2x}}$

b) Hãy tìm nghiệm nguyên của bất phương trình sau: $x(x^3– x + 6) > 9$

Bài giải:

a) Ta có

$f(x) = {x^4} – {x^2} + 6x – 9 = {\left( {{x^2}} \right)^2} – {\left( {x – 3} \right)^2} = \left( {{x^2} + x – 3} \right)\left( {{x^2} – x + 3} \right)$

Ta lại có ${{x^2} – x + 3} > 0, ∀x ∈\mathbb R$ ( vì $a = 1> 0, Δ = 1- 4.3<0$)

$\Rightarrow f(x)$ cùng dấu với $x^2+x-3$

Tam thức $x^2+x-3$ có hai nghiệm là $\frac{-1-\sqrt {13}}{2}; \frac{-1+\sqrt {13}}{2}$

Vậy

$f(x)>0$ khi $x < {{ – 1 – \sqrt {13} } \over 2}$ hoặc $x > {{ – 1 + \sqrt {13} } \over 2}$

$f(x)<0$ khi $\frac{-1-\sqrt {13}}{2} < x < \frac{-1+\sqrt {13}}{2}$

$g(x) = x^2– 2x – {4 \over {{x^2} – 2x}}$

$={{{{({x^2} – 2x)}^2} – {2^2}} \over {{x^2} – 2x}}$

$= {{({x^2} – 2x + 2)({x^2} – 2x – 2)} \over {{x^2} – 2x}}$

Ta lại có $x^2– 2x + 2 > 0 ,∀x ∈\mathbb R$

$\Rightarrow g(x)$ cùng dấu với ${{{x^2} – 2x – 2} \over {{x^2} – 2x}}$

Tam thức $x^2-2x-2$ có hai nghiệm là $1-\sqrt 3; 1+\sqrt 3$

$x^2-2x$ có hai nghiệm là $x; 2$

Ta lập bảng xét dấu

Vậy

$g(x)>0$ khi $x \in \left ( -\infty ;1-\sqrt{3} \right )\cup \left ( 0;2 \right )\cup \left ( 1+\sqrt{3}; +\infty \right )$

$g(x)>0$ khi $x \in \left ( 1-\sqrt{3};0 \right )\cup \left ( 2; 1+ \sqrt{3} \right )$

b) $x({x^3} – x + 6) > 9 $

$\Leftrightarrow {x^4} – {x^2} + 6x – 9 > 0 $

$\Leftrightarrow {x^4} – {(x – 3)^2} > 0 $

$\Leftrightarrow ({x^2} – x + 3)({x^2} + x – 3) > 0$

Ta có ${{x^2} – x + 3} > 0, ∀x ∈\mathbb R ( \text{vì} \,\,a = 1> 0, Δ = 1- 4.3<0)$

$\Rightarrow ({x^2} + x – 3) > 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{x < {{ – 1 – \sqrt {13} } \over 2} \hfill \cr x > {{ – 1 + \sqrt {13} } \over 2} \hfill \cr} \right.$

Vậy nghiệm nguyên của bất phương trình là $\left\{x\in \mathbb Z|x\le-3\text{ hoặc } x\ge2\right\}$

12. Giải bài 12 trang 107 sgk Đại số 10

Cho $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai , chứng minh rằng: $b^2x^2-(b^2 + c^2-a^2)x + c^2> 0,\forall x$

Bài giải:

Đặt $f(x)=b^2x^2-(b^2 + c^2-a^2)x + c^2$

${\Delta = {{\left( {{b^2} + {c^2}-{a^2}} \right)}^2}-4{b^2}{c^2}}$

${ = \left( {{b^2} + {c^2}-{a^{2}} + 2bc} \right)\left( {{b^2} + {c^2}-{a^2} – 2bc} \right)}$

${ = \left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2}-{a^2}} \right]\left[ {{{\left( {b – c} \right)}^2}-{a^2}} \right]}$

$=(b+c+a)(b+c-a)(b-c-a)(b-c+a)< 0$

Vì trong một tam giác tổng của hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba

Nên $b+a+c>0,b+c – a>0, b-c+a>0, b – c – a<0$

Do đó $f(x)$ cùng dấu với $b^2>0, ∀x$.

Hay ${b^2}{x^{2}}-({b^2} + {c^2}-{a^2})x + {c^2} > 0,\forall x$

13. Giải bài 13 trang 107 sgk Đại số 10

Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

$\left\{ \matrix{3x + y \ge 9 \hfill \cr x \ge y – 3 \hfill \cr 2y \ge 8 – x \hfill \cr y \le 3 \hfill \cr} \right.$

Bài giải:

Trên cùng một hệ trục tọa độ vẽ các đường thẳng

$(\Delta ):3x+y-9=0$

$(\Delta _1):x-y+3=0$

$(\Delta _2):x+2y-8=0$

$(\Delta _3)y=3$

Miền nghiệm là miền gạch chéo kể cả các đường biên của nó

Bài tập trắc nghiệm

Chọn phương án đúng trong các bài tập sau

14. Giải bài 14 trang 107 sgk Đại số 10

Số $-2$ thuộc tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau:

(A). $2x +1 > 1 – x$

(B). $(2x + 1) (1 – x) < x^2$

(C). ${1 \over {1 – x}} + 2 \le 0$

(D) $(2 – x) (x + 2)^2 < 0$

Bài giải:

(A). $2.(-2) +1 = -3 < 1 – (-2) = 3$

Vậy A sai.

(B). $[2.(-2) + 1] [1 – (-2)] = -9 < (-2)^2 = 4$

Vậy B đúng.

(C). ${1 \over {1 – (-2)}} + 2 =\frac{7}{3} > 0$

Vậy C sai.

(D) $[2 – (-2)] (-2 + 2)^2 = 4 > 0$

Vậy D sai.

15. Giải bài 15 trang 108 sgk Đại số 10

Bất phương trình $(x+1) \sqrt x ≤ 0$ tương đương với bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?

(A). $\sqrt {x{{(x + 1)}^2}} \le 0$

(B). $(x-1) \sqrt x<0$

(C). $(x+1)^2\sqrt x ≤ 0$

(D). $(x+1)^2\sqrt x < 0$

Bài giải:

Ta có:

$\sqrt {x{{(x + 1)}^2}} \le 0 ⇔ x = 0$ hoặc $x =-1$. Vậy (A) không tương đương

$(x-1) \sqrt x<0⇔ x <1$. Vậy B không tương đương.

$(x+1)^2\sqrt x ≤ 0 ⇔ x = 0$. Vậy (C) tương đương

$(x+1)^2≥0,\sqrt x≥0 ⇒ (x+1)^2\sqrt x≥ 0$

$\Rightarrow (x+1)^2\sqrt x < 0$ vô nghiệm. Vậy (D) không tương đương.

Vậy chọn đáp án C.

16. Giải bài 16 trang 108 sgk Đại số 10

Bất phương trình : $mx^2+(2m-1)x+m+1<0$ có nghiệm khi

(A). $m=1$

(B). $m =3$

(C). $m = 0$

(D). $m=0,25$

Bài giải:

Ta có:

$m = 1: x^2+ x+2> 0 ;∀x$ Vậy (A) sai.

$m = 3: 3x^2+ 5x + 4 > 0 ;∀x$ Vậy (B) sai.

$m = 0$, bất phương trình trở thành $–x+1< 0$ có nghiệm. Vậy (C) đúng.

$m = 0,25$ thì có $0,25x^2-0,5x+1,25 > 0 ;∀x$. Vậy (D) sai.

17. Giải bài 17 trang 108 sgk Đại số 10

Chỉ ra hệ bất phương trình nào vô nghiệm trong các hệ bất phương trình sau:

(A) $\left\{ \matrix{{x^2} – 2x \le 0 \hfill \cr 2x + 1 < 3x + 2 \hfill \cr} \right.$

(B) $\left\{ \matrix{{x^2} – 4 > 0 \hfill \cr {1 \over {x + 2}} < {1 \over {x + 1}} \hfill \cr} \right.$

(D) $\left\{ \matrix{|x – 1| \le 2 \hfill \cr |2x + 1| \le 3 \hfill \cr} \right.$

Bài giải:

Giải hệ phương trình của từng đáp án ta được:

(A)

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – 2x \le 0\\
2x + 1 < 3x + 2
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x\left( {x – 2} \right) \le 0\\
3x – 2x > 1 – 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 \le x \le 2\\
x > – 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le 2.
\end{array}$

(B)

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – 4 > 0\\
\frac{1}{{x + 2}} < \frac{1}{{x + 1}}
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 2 \ne 0\\
x + 1 \ne 0\\
\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right) > 0\\
\frac{1}{{x + 1}} – \frac{1}{{x + 2}} > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne – 2\\
x \ne – 1\\
\left[ \begin{array}{l}
x > 2\\
x < – 2
\end{array} \right.\\
\frac{{x + 2 – x – 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} > 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne – 2\\
x \ne – 1\\
\left[ \begin{array}{l}
x > 2\\
x < – 2
\end{array} \right.\\
\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne – 2\\
x \ne – 1\\
\left[ \begin{array}{l}
x > 2\\
x < – 2
\end{array} \right.\\
\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) > 0\;\;\left( {do\;\;1 > 0} \right)
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne – 2\\
x \ne – 1\\
\left[ \begin{array}{l}
x > 2\\
x < – 2
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x > – 1\\
x < – 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 2\\
x > – 2
\end{array} \right..
\end{array}\)

(C)

$\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – 5x + 2 < 0\\
{x^2} + 8x + 1 \le 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{5 – \sqrt {17} }}{2} < x < \frac{{5 + \sqrt {17} }}{2}\\
– 4 – \sqrt {17} < x < – 4 + \sqrt {17}
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x \in \emptyset .$

(D) có ngiệm $-1 ≤ x ≤ 1$

⇒ Vậy chọn C.

Bài trước:

Giải bài 1 2 3 4 trang 105 sgk Đại số 10

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 10 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 trang 106 107 108 sgk Đại số 10!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“