Nội Dung
Hướng dẫn giải bài Ôn tập cuối năm Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 trang 178 179 180 181 sgk Đại số và Giải tích 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số và giải tích có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.
Lý thuyết
1. Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
2. Chương II. Tổ hợp – Xác suất
3. Chương III. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 trang 178 179 180 181 sgk Đại số và Giải tích 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Bài tập
Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số và giải tích 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 trang 178 179 180 181 sgk Đại số và Giải tích 11 của Bài Ôn tập cuối năm Đại số và Giải tích 11 cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
1. Giải bài 1 trang 178 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho hàm số \(y = \cos 2x\)
a) Chứng minh rằng: \(\cos 2(x + k π) = \cos 2x\) với mọi số nguyên \(k\). Từ đó vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = \cos2x\).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ \(x = {\pi \over 3}\).
c) Tìm tập xác định của hàm số \(z = \sqrt {{{1 – \cos 2x} \over {1 + {{\cos }^2}2x}}} \).
Bài giải:
a) Ta có: \(\cos 2(x + k π) = \cos (2x + k2 π) = \cos 2x\).
Từ kết quả trên ta suy ra hàm số \(y = cos 2x\) là hàm số tuần hoàn có chu kì là \(π\).
Do đó, ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số \(y = cos2x\) trên \([0, π]\) và tịnh tiến nó song song với trục \(0x\) các đoạn có độ dài là \(π\).
Bảng giá trị đặc biệt:
|
\(x\) |
\(0\) |
\({\pi \over 4}\) | \({\pi \over 2}\) |
\({{3\pi } \over 4}\) |
\(π\) |
|
\(\cos 2x\) |
\(1\) |
\(0\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
Đồ thị hàm số :
b) Ta có: \({x_0} = {\pi \over 3} \Rightarrow {y_0} = \cos {{2\pi } \over 3} = – {1 \over 2}\)
Ta lại có:
\(\eqalign{
& f'(x) = – 2\sin 2x \cr
& \Rightarrow f'({\pi \over 3}) = – 2\sin {{2\pi } \over 3} = – \sqrt 3 \cr} \)
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
\(y + {1 \over 2} = – \sqrt 3 (x – {\pi \over 3}) \Leftrightarrow y = – \sqrt 3 x + {{\pi \sqrt 3 } \over 3} – {1 \over 2}\)
c) Ta có:
\(|cos 2x| ≤ 1\) nên \(1 – cos 2x ≥ 0 ,∀ x ∈ \mathbb R\).
\( \Rightarrow \dfrac{{1 – \cos 2x}}{{1 + {{\cos }^2}2x}} \ge 0\,\,\forall x \in R\)
Do đó, tập xác định của hàm số \(z\) là \(\mathbb R\).
2. Giải bài 2 trang 179 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho hàm số \(y = {5 \over {6 + 7\sin 2x}}\)
a) Tính \(A = {5 \over {6 + 7\sin 2x}}\) , biết rằng \(\tan α = 0,2\).
b) Tính đạo hàm của hàm đã cho.
c) Xác định các khoảng trên đó \(y’\) không dương.
Bài giải:
a) Tính \(A\):
Đặt \(t= \tan α = 0,2\), ta có:
\(\eqalign{
& \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \cr
& = {{2\sin \alpha \cos \alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }} \cr
& = {{2\sin \alpha \cos \alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha (1 + {{\tan }^2}\alpha )}} \cr
& = {{2\sin \alpha } \over {\cos \alpha (1 + ta{n^2}\alpha )}} \cr
& = {{2\tan \alpha } \over {1 + ta{n^2}\alpha }} = {{2t} \over {1 + {t^2}}} \cr} \)
Với \(t = 0,2\) ta có:
\(A = {5 \over {6 + 7.{{2t} \over {1 + {t^2}}}}} = {5 \over {6 + {{14.0,2} \over {1 + {{(0,2)}^2}}}}} = {{65} \over {113}}\)
b) Ta có:
\(y’ = {{-5(6 + 7\sin 2x)’} \over {{{(6 + 7\sin 2x)}^2}}} = {{-70.cos2x} \over {{{(6 + 7\sin 2x)}^2}}}\)
c) Các khoảng mà trên đó y’ không dương:
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow y’ \le 0,x \in D \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\cos 2x \ge 0 \hfill \cr
\sin 2x \ne {{ – 6} \over 7} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x \in \left[ { – {\pi \over 2} + k2\pi ;{\pi \over 2} + k2\pi } \right] \hfill \cr
\sin 2x \ne {-6 \over 7} \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb Z) \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \in \left[ { – {\pi \over 4} + k\pi ;{\pi \over 4} + k\pi } \right] \hfill \cr
\sin 2x \ne {-6 \over 7} \hfill \cr} \right. (k \in \mathbb Z) \cr} \)
3. Giải bài 3 trang 179 sgk Đại số và Giải tích 11
Giải các phương trình:
a) \(2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x – 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x – {\sin ^2}x\);
b) \(3cos x + 4sin x = 5\);
c) \(sin x + cos x = 1 + sin x. cosx\);
d) \(\sqrt {1 – \cos x} = \sin x(x \in \left[ {\pi ,3\pi } \right]\);
e) \((cos{x \over 4} – 3\sin x)sinx + (1 + sin{x \over 4} – 3\cos x)cosx\)\( = 0\).
Bài giải:
a) Ta có:
\(\eqalign{
& 2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x – 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x – {\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}({\cos ^2}x – {\sin ^2}x) = {\cos ^2}x – {\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}.cos2x = \cos 2x\cr& \Leftrightarrow \cos 2x(2\sin {x \over 2} – 1) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 0 \hfill \cr
\sin {x \over 2} = {1 \over 2} = \sin {\pi \over 6} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr
\left[ \matrix{
{x \over 2} = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr
{x \over 2} = \pi – {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = {\pi \over 3} + k4\pi \hfill \cr
x = {{5\pi } \over 3} + k4\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb Z) \cr} \)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& 3cos{\rm{ }}x + 4sin{\rm{ }}x = 5 \cr
& \Leftrightarrow {3 \over 5}\cos x + {4 \over 5}\sin x = 1 \cr
& \Leftrightarrow \cos x\cos \varphi + \sin x\sin \varphi = 1\cr&(\text { với }cos\varphi = {3 \over 5};\sin \varphi = {4 \over 5}) \cr
& \Leftrightarrow \cos (x – \varphi ) = 1 \cr
& \Leftrightarrow x – \varphi = k2\pi \,\,\,(k \in\mathbb Z) \cr
& \Leftrightarrow x = \varphi + k2\pi \,\,\,(k \in\mathbb Z)\cr} \)
c) Ta có:
\(sin x + cosx = 1 + sinx. cosx\)
\(⇔ sin x – sin x. cosx + cosx – 1= 0\)
\(⇔ sin x ( 1 – cosx) – (1 – cosx) = 0\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow (1 – \cos x)(\sin x – 1) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\mathop{\rm cosx}\nolimits} = 1 \hfill \cr
sinx = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k2\pi \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb Z) \cr} \)
d) Điều kiện \(\sin x ≥ 0\). Khi đó:
\(\eqalign{
& \sqrt {1 – \cos x} = \sin x \cr
& \Leftrightarrow 1\cos x = {\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 1 – {\sin ^2}x – \cos x = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\cos ^2}x – \cos x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos x(cosx – 1) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos x = 0 \hfill \cr
\cos x = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr
x = k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in\mathbb Z \cr}\)
\(\begin{array}{l}
\pi \le \frac{\pi }{2} + k\pi \le 3\pi \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le k \le \frac{5}{2} \\ \mathop \Rightarrow \limits^{k \in Z} \left[ \begin{array}{l}
k = 1 \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{2}\,\,\left( {ktm\,\,\sin x \ge 0} \right)\\
k = 2\,\,\left( {tm} \right)
\end{array} \right.\\
\pi \le k2\pi \le 3\pi \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le k \le \frac{3}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{k \in Z} k = 1 \Rightarrow x = 2\pi \,\,\left( {tm} \right)
\end{array}\)
e) Phương trình đã cho được viết dưới dạng tương đương:
\(cos\frac{x}{4}sinx+sin\frac{x}{4}cosx-2(sin^2x+cos^2x)+cosx=0\)
\(\Leftrightarrow sin\frac{5x}{4}+cosx=2(*)\)
Vì \(sin\frac{5x}{4}\leq 1\) và \(cosx\leq 1\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\), nên:
\((*)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin\frac{5x}{4}=1\\ cosx=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} cos \frac{x}{4}sinx+sin \frac{x}{4}cosx=1\\ cosx=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin \frac{x}{4}=1\\ cosx=1 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin \frac{x}{4}=1\\ 2sin^2\frac{x}{2}=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin\frac{x}{4}=1\\ sin\frac{x}{2}=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin\frac{x}{4}=1\\ 2sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin\frac{x}{4}=1\\ cos\frac{x}{4}=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \frac{x}{4}=\frac{\pi}{2}+k2\pi\Leftrightarrow x=2\pi+k8\pi (k\in \mathbb{Z})\)
4. Giải bài 4 trang 179 sgk Đại số và Giải tích 11
Trong một bệnh viện có \(40\) bác sĩ ngoại khoa. Hỏi có bao nhiêu cách phân công ca mổ, nếu mỗi ca gồm:
a) Một bác sĩ mổ, một bác sĩ phụ?
b) Một bác sĩ mổ và bốn bác sĩ phụ:
Bài giải:
a) Số cách chọn \(2\) trong \(40\) bác sĩ để làm bác sĩ mổ và bác sĩ phụ là số chỉnh hợp chập \(2\) của \(40\) (bác sĩ)
Vậy số cách phân công ca mổ là: \(A_{40}^2 = 1560\)
b) Chọn \(1\) trong \(40\) bác sĩ để mổ có \(40\) cách chọn.
Chọn \(4\) trong \(39\) bác sĩ còn lại để phụ mổ có \(C_{39}^4\) cách chọn.
Vậy số cách phân công ca mổ là: \(40. C_{39}^4= 3290040\).
5. Giải bài 5 trang 179 sgk Đại số và Giải tích 11
Tìm số hạng không chứa \(a\) trong khai triển nhị thức \({\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + {a^2}} \right)^{10}}\).
Bài giải:
Ta có:
\({\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + {a^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {\frac{1}{{{a^3}}}} \right)}^{n – k}}{{\left( {{a^2}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{a^{5k – 30}}} \)
Số hạng không chứa \(a\) ứng với \(k\) thỏa mãn: \(5k – 30 =0 ⇔ 5k = 30 ⇔ k = 6\)
Vậy số hạng không chứa \(a\) là \(C_{10}^6=210\).
6. Giải bài 6 trang 179 sgk Đại số và Giải tích 11
Chọn ngẫu nhiên ba học sinh từ một tổ gồm sáu nam và bốn nữ. Tính xác suất sao cho:
a) Cả ba học sinh đều là nam;
b) Có ít nhất một nam.
Bài giải:
Không gian mẫu gồm các tổ hợp chập \(3\) của \(10\) học sinh. Vậy \(n(\Omega ) = C_{10}^3 = 120\)
a) Gọi \(A\) là biến cố cả ba học sinh đều là nam được chọn
Số cách chọn \(3\) trong \(6\) nam là tổ hợp chập \(3\) của \(6\) (nam)
Ta có: \(n(A) = C_6^3 = 20\)
Vậy: \(P(A) = {{n(A)} \over {n(\Omega )}} = {{20} \over {120}} = {1 \over 6}\)
b) Gọi \(B\) là biến cố có ít nhất một nam được chọn
Ta có: \(\overline B\) là biến cố không có nam (nghĩa là có \(3\) nữ)
Số cách chọn \(3\) trong 4 nữ là : \(n( \overline B) = C_4^3 = 4\)
Suy ra:
\(\eqalign{
& P(\overline B) = {4 \over {120}} = {1 \over {30}} \cr
& \Rightarrow P(B) = 1 – {1 \over {30}} = {{29} \over {30}} \cr} \)
7. Giải bài 7 trang 179 sgk Đại số và Giải tích 11
Một tiểu đội có \(10\) người được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc, trong đó có anh \(A\) và anh \(B\). Tính xác suất sao cho:
a) \(A\) và \(B\) đứng liền nhau;
b) Trong hai người có một người đứng ở vị trí số 1 và người kia đứng ở vị trí cuối cùng.
Bài giải:
Không gian mẫu của các hoán vị của \(10\) người.
Suy ra: \(n(\Omega ) = 10!\)
a) Gọi \(E\) là biến cố “\(A\) và \(B\) đứng liền nhau”
Vì \(A\) và \(B\) đứng liền nhau nên ta xem \(A\) và \(B\) như một phần tử \(α\)
Số cách sắp xếp thành hàng dọc \(α\) và \(8\) người còn lại là \(9!\) (cách)
Mỗi hoán vị \(A\) và \(B\) cho nhau trong cùng một vị trí xếp hàng ta có thêm \(2!\) cách xếp khác nhau.
Suy ra: \(n(E) = 9!.2!\)
Vậy: \(P(E) = {{n(E)} \over {n(\Omega )}} = {{9!2!} \over {10!}} = {1 \over 5}\)
b) Gọi \(F\) là biến cố: “Trong hai người có một người đứng ở vị trí số \(1\) và người kia đứng ở vị trí cuối cùng”.
Số cách xếp \(A\) và \(B\) vào vị trí số \(1\) và vị trí cuối là \(2\) (cách).
Số cách xếp người còn lại vào vị trí cuối cùng là 1 cách.
Số cách xếp\( 8\) người còn lại vào \(8\) vị trí còn lại là \(8!\) (cách)
Suy ra: \(n(F) = 2.8!\)
Vậy \(P(F) = {{n(F)} \over {n(\Omega )}} = {{2.8!} \over {10!}} = {1 \over {45}}\)
8. Giải bài 8 trang 180 sgk Đại số và Giải tích 11
Tìm cấp số cộng tăng, biết rằng tổng ba số hạng đầu của nó bằng \(27\) và tổng các bình phương của chúng bằng \(275\).
Bài giải:
Xét cấp số cộng \(u_1, u_2, u_3,…\) có công sai \(d > 0\)
Theo giả thiết ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27 \hfill \cr
{u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2 = 275 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1} + ({u_1} + d) + ({u_1} + 2d) = 27 \hfill \cr
{u_1}^2 + {({u_1} + d)^2} + {({u_1} + 2d)^2} = 275 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3{u_1} + 3d = 27 \hfill \cr
3{u_1}^2 + 6{u_1}d + 5{d^2} = 275 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1} = 9 – d\,\,\,(1) \hfill \cr
3{u_1}^2 + 6{u_1}d + 5{d^2} = 275\,\,\,(2) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Thay \(u_1\) ở (1) vào (2) ta được:
\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,3{\left( {9 – d} \right)^2} + 6d\left( {9 – d} \right) + 5{d^2} = 275\\
\Leftrightarrow 243 – 54d + 3{d^2} + 54d – 6{d^2} + 5{d^2} = 275\\
\Leftrightarrow 2{d^2} = 32 \Leftrightarrow d = \pm 4
\end{array}\)
Vì \(d > 0\) nên ta chỉ chọn \(d = 4, u_1= 5\)
Vậy cấp số cộng phải tìm là \(5, 9, 13, 17, …\)
9. Giải bài 9 trang 180 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho biết trong một cấp số nhân, hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ hai bằng $12$ và nếu thêm $10$ vào số hạng thứ nhất, thêm $8$ vào số hạng thứ hai, còn giữ nguyên số hạng thứ ba thì ba số mới lập thành một cấp số cộng. Hãy tính tổng của năm số hạng đầu của cấp số nhân đã cho.
Bài giải:
Theo giả thiết ta có:
Cấp số nhân: \(u_1, u_2, u_3,…\)
Cấp số cộng: \(u_1 + 10, u_2 + 8, u_3,…\)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{u_3} – {u_2} = 12 \hfill \cr
{u_2} + 8 = {{({u_1} + 10) + {u_3}} \over 2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}{q^2} – {u_1}q = 12 \hfill \cr
2({u_1}q + 8) = {u_1} + 10 + {u_1}{q^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}({q^2} – q) = 12 \hfill \cr
{u_1}({q^2} – 2q + 1) = 6 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}({q^2} – q) = 12\,\,\,\,(1) \hfill \cr
{u_1}{(q – 1)^2} = 6\,\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.({u_1} \ne 0,q \ne 0,q \ne 1) \cr} \)
Lấy (1) chia cho 2 vế theo vế, ta được:
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{{q^2} – q}}{{{{\left( {q – 1} \right)}^2}}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{q\left( {q – 1} \right)}}{{{{\left( {q – 1} \right)}^2}}} = 2\\
\Leftrightarrow \frac{q}{{q – 1}} = 2 \Leftrightarrow q = 2q – 2 \Leftrightarrow q = 2
\end{array}\)
Với \(q = 2\), thay vào (1) ta có: \(u_1(4 – 2) = 12 ⇔ u_1= 6\)
Lúc đó: \({S_5} = {u_1}{{1 – {q^5}} \over {1 – q}} = 6.{{1 – {2^5}} \over {1 – 2}} = 186\).
10. Giải bài 10 trang 180 sgk Đại số và Giải tích 11
Tính các giới hạn sau:
a) \(\lim {{(n + 1){{(3 – 2n)}^2}} \over {{n^3} + 1}}\)
b) \(\lim ({1 \over {{n^2} + 1}} + {2 \over {{n^2} + 1}} + {3 \over {{n^2} + 1}} + … + {{n – 1} \over {{n^2} + 1}})\)
c) \(\lim {{\sqrt {4n^2 + 1} + n} \over {2n + 1}}\)
d) \(\lim \sqrt n (\sqrt {n – 1} – \sqrt n )\)
Bài giải:
a) Ta có:
\(\eqalign{
& \lim {{(n + 1){{(3 – 2n)}^2}} \over {{n^3} + 1}} = \lim {{(1 + {1 \over n}){{({3 \over n} – 2)}^2}} \over {1 + {1 \over {{n^3}}}}} \cr
& = {{(1 + 0){{(0 – 2)}^2}} \over {1 + 0}} = 4 \cr} \)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& {1 \over {{n^2} + 1}} + {2 \over {{n^2} + 1}} + {3 \over {{n^2} + 1}} + … + {{n – 1} \over {{n^2} + 1}} \cr
& = {{1 + 2 + … + n – 1} \over {{n^2} + 1}} \cr
& = {{{{n(n – 1)} \over 2}} \over {{n^2} + 1}} = {{{n^2} -n} \over {2({n^2} + 1)}} \cr
& \Rightarrow \lim ({1 \over {{n^2} + 1}} + {2 \over {{n^2} + 1}} + {3 \over {{n^2} + 1}} + … + {{n – 1} \over {{n^2} + 1}}) \cr
& = lim{{{n^2} -n} \over {2({n^2} + 1)}} \cr
& = \lim {{{n^2}(1 – {1 \over n} )} \over {2{n^2}(1 + {1 \over {{n^2}}})}} \cr
& = \lim {{1 – {1 \over n} } \over {2(1 + {1 \over {{n^2}}})}} = {1 \over 2} \cr} \)
c) Ta có:
\(\eqalign{
& \lim {{\sqrt {4n^2 + 1} + n} \over {2n + 1}} \cr
& = \lim {{n.\sqrt {4 + {1 \over {{n^2}}}} + n} \over {2n + 1}} \cr
& = \lim {{n.(\sqrt {4 + {1 \over {{n^2}}}} + 1)} \over {n(2 + {1 \over n})}} \cr
& = \lim {{\sqrt {4 + {1 \over {{n^2}}}} + 1} \over {2 + {1 \over n}}} \cr
& = {{2 + 1} \over 2} = {3 \over 2} \cr} \)
d) Ta có:
\(\eqalign{
& \lim \sqrt n (\sqrt {n – 1} – \sqrt n ) \cr
& = \lim {{\sqrt n (\sqrt {n – 1} – \sqrt n )(\sqrt {n – 1} + \sqrt n )} \over {\sqrt {n – 1} + \sqrt n }} \cr
& = \lim {{\sqrt n \left[ {(n – 1) – n} \right]} \over {\sqrt {n – 1} + \sqrt n }} \cr
& = \lim {{ – \sqrt n } \over {\sqrt n \left[ {\sqrt {1 – {1 \over n}} + 1} \right]}} \cr
& = \lim {{ – 1} \over {\sqrt {1 – {1 \over n}} + 1}} = – {1 \over 2} \cr} \)
11. Giải bài 11 trang 180 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho hai dãy số \((u_n)\), \((v_n)\) với \({u_n} = {n \over {{n^2} + 1}}\) và \({v_n} = {{n\cos {\pi \over n}} \over {{n^2} + 1}}\)
a) Tính \(\lim u_n\).
b) Chứng minh rằng \(\lim v_n= 0\).
Bài giải:
a) Ta có:
\(\lim {u_n} = \lim {n \over {{n^2} + 1}} = \lim {{{n^2}({1 \over n})} \over {{n^2}(1 + {1 \over {{n^2}}})}} \)
\(= \lim {{{1 \over n}} \over {1 + {1 \over {{n^2}}}}} = {0 \over 1} = 0\)
b) Ta có:
\(\lim {\pi \over n} = 0 \Rightarrow \lim \cos {\pi \over n} = \cos 0 = 1\)
Vậy \(\lim {v_n} = \lim {n \over {{n^2} + 1}}\lim \cos {\pi \over n} \)
Ta có \(\lim \frac{n}{{{n^2} + 1}} = \lim \frac{{\frac{1}{n}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{0}{1} = 0 \Rightarrow \lim {v_n} = 0.1 = 0\)
12. Giải bài 12 trang 180 sgk Đại số và Giải tích 11
Chứng minh rằng hàm số \(y = \cos x\) không có giới hạn khi \(x \rightarrow + ∞\).
Bài giải:
Hàm số \(f(x) = \cos x\) có tập xác định \(D = \mathbb R\)
Chọn dãy số \((x_n)\) với \( x_n= n2 π\) (\(n\in {\mathbb N}^*\)).
Ta có: \(\lim x_n= \lim (n2 π) = +∞\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \lim f({x_n}) = \lim \cos (n2\pi ) = \lim 1 \) \(= 1\)
Chọn dãy số \((x_n)\) với \({x_n} = {\pi \over 2} + n2\pi (n \in {\mathbb N^*})\)
Ta có:
\(\eqalign{
& \lim {x_n}({\pi \over 2} + n2\pi ) = + \infty \cr
& \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \lim f({x_n}) \cr
& = \lim \left[ {\cos ({\pi \over 2} + n2\pi )} \right] = \lim 0 = 0 \cr} \)
Từ hai kết quả trên, suy ra hàm số \(y = \cos x\) không có giới hạn khi \(x \rightarrow + ∞\)
13. Giải bài 13 trang 180 sgk Đại số và Giải tích 11
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} {{6 – 3x} \over {\sqrt {2{x^2} + 1} }}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x – \sqrt {3x – 2} } \over {{x^2} – 4}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} – 3x + 1} \over {x – 2}}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} (x + {x^2} + … + {x^n} – {n \over {1 – x}});n \in {N^*}\)
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2x – 1} \over {x + 3}}\)
f) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{x + \sqrt {4{x^2} – 1} } \over {2 – 3x}}\)
g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } ( – 2{x^3} + {x^2} – 3x + 1)\)
Bài giải:
a) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} {{6 – 3x} \over {\sqrt {2{x^2} + 1} }} = {{6 – 3( – 2)} \over {\sqrt {2{{( – 2)}^2} + 1} }} = {{12} \over 3} = 4\)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x – \sqrt {3x – 2} } \over {{x^2} – 4}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{(x – \sqrt {x – 2} )(x + \sqrt {3x – 2} )} \over {({x^2} – 4)(x + \sqrt {3x – 2} )}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{{x^2} – 3x + 2} \over {({x^2} – 4)(x + \sqrt {3x – 2} )}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{(x – 2)(x – 1)} \over {(x – 2)(x + 2)(x + \sqrt {3x – 2)} }} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x – 1} \over {(x + 2)(x + \sqrt {3x – 2} )}} \cr
& = {{2 – 1} \over {(2 + 2)(2 + \sqrt {3.2 – 2} )}} = {1 \over {16}} \cr} \)
c) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} ({x^2} – 3x + 1) = 4 – 6 + 1 = – 1\)
\(\left\{ \matrix{
x – 2 > 0 \hfill \cr
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x – 2) = 0 \hfill \cr} \right.\)
Do đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} – 3x + 1} \over {x – 2}} = – \infty \)
d) Ta có:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-} (x + {x^2} + … + {x^n} – {n \over {1 – x}}) = – \infty \cr
& \left\{ \matrix{
1 – x > 0,\forall x < 1 \hfill \cr
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} (1 – x) = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)
+ Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} {n \over {1 – x}} = + \infty \)
+ Do đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} (x + {x^2} + … + {x^n} – {n \over {1 – x}}) = – \infty \)
e)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2x – 1} \over {x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x(2 – {1 \over x})} \over {x(1 + {3 \over x})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2 – {1 \over x}} \over {1 + {3 \over x}}} = 2\)
f) Ta có:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{x + \sqrt {4{x^2} – 1} } \over {2 – 3x}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{x + |x|\sqrt {4 – {1 \over {{x^2}}}} } \over {2 – 3x}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{x – x\sqrt {4 – {1 \over {{x^2}}}} } \over {2 – 3x}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{x(1 – \sqrt {4 – {1 \over {{x^2}}}} )} \over {x({2 \over x} – 3)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{1 – \sqrt {4 – {1 \over {{x^2}}}} } \over {{2 \over x} – 3}} \cr
& = {{1 – \sqrt 4 } \over { – 3}} = {1 \over 3} \cr} \)
g) Ta có:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } ( – 2{x^3} + {x^2} – 3x + 1) \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^3}( – 2 + {1 \over x} – {3 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}}) = + \infty \cr}\)
14. Giải bài 14 trang 181 sgk Đại số và Giải tích 11
Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm: \(\sin x = x – 1\).
Bài giải:
Phương trình \(\sin x = x – 1 \Leftrightarrow \sin x – x + 1 = 0\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sin x – x + 1\), ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
f\left( 0 \right) = 1\\
f\left( \pi \right) = 1 – \pi
\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( \pi \right) = 1 – \pi < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb R\) nên cũng liên tục trên đoạn \([0, π]\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Phương trình \(\sin x = x – 1\) có ít nhất một nghiệm trên khoảng \((0, π)\).
15. Giải bài 15 trang 181 sgk Đại số và Giải tích 11
Phương trình sau có nghiệm hay không trong khoảng \((-1, 3)\):
\(x^4– 3x^3+ x – 1 = 0\)
Bài giải:
Đặt \(f(x) =x^4– 3x^3+ x – 1 \)
Hàm số \(y=f(x) =x^4– 3x^3+ x – 1 \) liên tục trên \(\mathbb R\) nên liên tục trên đoạn \([-1, 0]\)
Ta có:
\(\left\{ \matrix{
f( – 1) = 1 + 3 – 1 – 1 = 2 > 0 \hfill \cr
f(0) = – 1 < 0 \hfill \cr} \right.\) \(\Rightarrow f( – 1)f(0) < 0\)
Hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \(([-1, 0]\) và \(f(-1)f(0) < 0\) nên phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng \((-1, 0)\)
\(⇒\) Phương trình \(x^4– 3x^3+ x – 1 = 0\) có nghiệm trên khoảng \((-1, 3)\)
16. Giải bài 16 trang 181 sgk Đại số và Giải tích 11
Giải các phương trình:
a) \(f’(x) = g(x)\) với \(f(x) = \sin^3 2x\) và \(g(x) = 4\cos2x – 5\sin4x\);
b) \(f’(x) = 0\) với \(f(x) = 20\cos3x + 12\cos5x – 15\cos4x\).
Bài giải:
a) Ta có: \(f(x) = \sin^3 2x\)
\(⇒ f’(x) = 3\sin^2 2x (\sin2x)’ = 6\sin^2 2x \cos2x\)
Do đó:
\(\eqalign{
& f'(x) = g(x)\cr& \Leftrightarrow 6si{n^2}2x\cos 2x = 4\cos 2x – 5\sin 4x \cr
& \Leftrightarrow 6si{n^2}2x\cos 2x = 4\cos 2x – 10\sin 2x\cos 2x \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x(3{\sin ^2}2x + 5\sin 2x – 2) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 0\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr
3{\sin ^2}2x + 5\sin 2x – 2 = 0 \,\,\,\, (2)\hfill \cr} \right. \cr} \)
Giải (1):
\(2x = {\pi \over 2} + k\pi \,\,(k \in \mathbb Z) \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2} (k \in \mathbb Z)\)
Giải (2):
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = – 2\,\,\left( {ktm} \right)\\\sin 2x = \frac{1}{3}\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
\(\eqalign{
& \sin 2x = {1 \over 3} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = \arcsin ({1 \over 3}) + k2\pi \hfill \cr
2x = \pi – \arcsin ({1 \over 3}) + k2\pi \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over 2}\arcsin ({1 \over 3}) + {k\pi } \hfill \cr
x = {\pi \over 2} – {1 \over 2}\arcsin ({1 \over 2}) + {k\pi } \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb Z \cr} \)
Tóm lại, phương trình đã cho có ba nghiệm là:
\(\left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2} \hfill \cr
x = {1 \over 2}\arcsin ({1 \over 3}) + {k\pi } \hfill \cr
x = {\pi \over 2} – {1 \over 2}\arcsin ({1 \over 2}) + {k\pi } \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb Z\)
b) Ta có: \(f’(x) = -60sin 3x – 60 sin 5x + 60 sin4x = 0\)
Do đó:
\(\eqalign{
& f'(x) = 0 \Leftrightarrow – \sin 3x – \sin 5x + \sin 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin 5x + \sin 3x – \sin 4x=0 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin 4x{\mathop{\rm cosx}\nolimits} – sin4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow sin4x(2cosx – 1) = 0 \cr} \)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin 4x = 0 \hfill \cr
{\mathop{\rm cosx}\nolimits} = {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
4x = k\pi \hfill \cr
x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k{\pi \over 4} \hfill \cr
x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in\mathbb Z \cr}\)
17. Giải bài 17 trang 181 sgk Đại số và Giải tích 11
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {1 \over {{{\cos }^2}3x}}\);
b) \(y = {{\cos \sqrt {{x^2} + 1} } \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\);
c) \(y = (2 – {x^2})cosx + 2x.sinx\);
d) \(y = {{\sin x – x.cosx} \over {\cos x + x.\sin x}}\).
Bài giải:
Ta có:
a) \(y’ = – \dfrac{{2\cos 3x.3\left( { – \sin 3x} \right)}}{{{{\cos }^4}3x}} = \dfrac{{6\sin 6x}}{{{{\cos }^4}3x}}\)
b) \(y’=\frac{(-sin\sqrt{x^2+1})(\sqrt{x^2+1})’.(\sqrt{x^2+1})-(\sqrt{x^2+1})’.cos\sqrt{x^2+1}}{x^2+1}\)
\(=\frac{(-x sin\sqrt{x^2+1})-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.cos\sqrt{x^2+1}}{x^2+1}\)
\(=-\frac{x(\sqrt{x^2+1}sin\sqrt{x^2+1}+cos\sqrt{x^2+1})}{(x^2+1)(\sqrt{x^2+1})}\)
c) \(y’=-2x.cosx+(2-x^2)(-sinx)+2sinx+2xcosx=x^2sinx.\)
d) \(y’=\frac{(cosx-cosx+xsinx)(cosx+xsinx)}{(cosx+xsinx)^2}\)
\(=-\frac{(sinx-xcosx)(-sinx+sinx+xcosx)}{(cosx+xsinx)^2}\)
\(=\frac{xsincosx+x^2sin^2x-xsinxcosx+x^2cos^2x}{(cosx +xsinx)^2}\)
\(=\frac{x^2}{(cosx+xsinx)^2}\)
18. Giải bài 18 trang 181 sgk Đại số và Giải tích 11
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) \(y = {1 \over {x + 1}}\);
b) \(y = {1 \over {x(1 – x)}}\);
c) \(y = sin ax\) (\(a\) là hàm số);
d) \(y = sin^2 x\).
Bài giải:
a) Ta có:
\(\eqalign{
& y’ = {{ – {{(x + 1)}’}} \over {{{(x + 1)}^2}}} = {{ – 1} \over {{{(x + 1)}^2}}} \cr
& \Rightarrow y” = {{\left[ {{{(x + 1)}^2}} \right]’} \over {{{(x + 1)}^4}}} = {{2(x + 1)(x + 1)’} \over {{{(x + 1)}^4}}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,= {2 \over {{{(x + 1)}^3}}} \cr} \)
b) Ta có: \(y = {1 \over x} + {1 \over {1 – x}}\)
Do đó:
\(\eqalign{
& y’ = – {1 \over {{x^2}}} – {{(1 – x)’} \over {{{(1 – x)}^2}}} = – {1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{{(1 – x)}^2}}} \cr
& y” = {{({x^2})’} \over {{x^4}}} – {{\left[ {{{(1 – x)}^2}} \right]’} \over {{{(1 – x)}^4}}} \cr
& = {{2x} \over {{x^4}}} + {{2(1 – x)} \over {{{(1 – x)}^4}}} \cr
& = {2 \over {{x^3}}} + {2 \over {{{(1 – x)}^3}}} \cr} \)
c) Ta có:
\(y’ = (ax)’cos ax = a. cos ax\)
\(⇒ y’’ = -a (ax)’sin ax = -a^2sinax\)
d) Ta có:
\(y’ = 2sinx.(sinx)’ = 2sinx.cosx = sin 2x\)
\(⇒ y’’ = (2x)’.cos 2x = 2.cos 2x\)
19. Giải bài 19 trang 181 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho hàm số: \(f(x) = x^3+ bx^2+ cx + d\) (C)
Hãy xác định các số \(a, b, c, d\), biết rằng đồ thị hàm số (C) của hàm số \(y = f(x)\) đi qua các điểm \((-1, -3), (1, -1)\) và \(f'({1 \over 3}) = 0\).
Bài giải:
(C): \(y = f(x) = x^3+ bx^2+ cx + d\) \(⇒ f’(x)= 3x^2+ 2bx +c\)
Đồ thị (C) đi qua hai điểm \(A (-1, -3), B(1, -1)\) nên tọa độ hai điểm thỏa mãn phương trình hàm số ta có hệ:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
– 3 = {( – 1)^3} + b{( – 1)^2} + c( – 1) + d \hfill \cr
– 1 = {1^3} + b{(1)^2} + c.1 + d \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
b – c + d = -2\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr
b + c + d = – 2\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Mặt khác :
\(\eqalign{
& f'({1 \over 3}) = 0 \Rightarrow 3{({1 \over 3})^2} + 2b({1 \over 3}) + c = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2b + 3c = – 1\,\,\,\,\,(3) \cr} \)
Giải hệ phương trình (1), (2) và (3) ta được:
\(\left\{ \matrix{
b = – {1 \over 2} \hfill \cr
c = 0 \hfill \cr
d = – {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
20. Giải bài 20 trang 181 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho các hàm số:
\(f(x) =x^3+ bx^2+ cx + d\) (C)
\( g(x) = x^2– 3x + 1\)
Với các số \(b, c, d\) tìm được ở bài 19, hãy:
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ \(x = -1\)
b) Giải phương trình \(f’\left( {\sin x} \right) = 0\)
c) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f”\left( {\sin 5x} \right) + 1}}{{g’\left( {\sin 3x} \right) + 1}}\)
Bài giải:
Ở bài 19 cho:
\(\left\{ \matrix{
b = – {1 \over 2} \hfill \cr
c = 0 \hfill \cr
d = – {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Suy ra: \(f(x) = {x^3} – {1 \over {2}}{x^2} – {3 \over 2}(C)\)
a) Ta có:
\(\eqalign{
& {x_0} = – 1 \Rightarrow {y_0}={( – 1)^3} – {1 \over 2}{( – 1)^2} – {3 \over 2} = – 3 \cr
& f'(x) = 3{x^2} – x \Rightarrow f'(-1) = 3.(-1)^2 -(- 1) = 4 \cr} \)
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại \(x_0= -1\) là:
\(y + 3 = 4(x + 1) ⇔ y = 4x + 1\)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& f'(\sin x) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3.{\sin ^2}x – \sin x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin x.(3.\sin x – 1) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x = 0 \hfill \cr
\sin x = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr
& \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi\,\, (k \in \mathbb Z) \cr
& \sin x = {1 \over 3} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \arcsin {1 \over 3} + k2\pi \hfill \cr
x = \pi – {\rm{arcsin}}{1 \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right. \,\,(k \in \mathbb Z)\cr}\)
c) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f”(\sin 5x) + 1} \over {g'(\sin 3x) + 3}}\)
Ta có:
\(f’'(x) = 6x – 1 ⇒ f’’ (sin 5x) = 6.sin5x – 1\)
\(g’(x) = 2x – 3 ⇒ g’(sin 3x) = 2.sin 3x – 3\)
Vậy:
\(\eqalign{
& {{f”(\sin 5x) + 1} \over {g'(\sin 3x) + 3}} = {{6.\sin 5x} \over {2.\sin 3x}} = 5.{{\sin 5x} \over {5x}}.{{3x} \over {\sin 3x}} \cr
& \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f”(\sin 5x) + 1} \over {g'(\sin 3x) + 3}} \cr
& = 5.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin 5x} \over {5x}}.\lim {{3x} \over {\sin 3x}} = 5.1.1 = 5 \cr} \)
Bài trước:
Bài tiếp theo:
Xem thêm:
- Các bài toán 11 khác
- Để học tốt môn Vật lí lớp 11
- Để học tốt môn Sinh học lớp 11
- Để học tốt môn Ngữ văn lớp 11
- Để học tốt môn Lịch sử lớp 11
- Để học tốt môn Địa lí lớp 11
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 11
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 11 thí điểm
- Để học tốt môn Tin học lớp 11
- Để học tốt môn GDCD lớp 11
Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 trang 178 179 180 181 sgk Đại số và Giải tích 11!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“